线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.二阶行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值为（）A.-2B.2C.10D.-102.设矩阵$A$为$3$阶方阵，且$\vertA\vert=2$，则$\vert2A\vert$=（）A.4B.8C.16D.323.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组线性无关的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$D.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$4.设$A$是$n$阶可逆矩阵，$A^$是$A$的伴随矩阵，则（）A.$\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}$B.$\vertA^\vert=\vertA\vert$C.$\vertA^\vert=\vertA\vert^n$D.$\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}$5.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为（）A.1，2B.-1，-2C.1，-2D.-1，26.设$A$为$m\timesn$矩阵，齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是（）A.$A$的列向量组线性相关B.$A$的列向量组线性无关C.$A$的行向量组线性相关D.$A$的行向量组线性无关7.若矩阵$A$与矩阵$B$相似，则（）A.$A$与$B$等价B.$A$与$B$合同C.$\vertA\vert=\vertB\vert$D.$A$与$B$有相同的特征向量8.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2$的矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}$9.设$A$是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.$\vertA\vert=1$B.$A^TA=E$C.$A$可逆D.$A$的行向量组是单位正交向量组10.向量组$\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T$的秩为（）A.1B.2C.3D.0二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列关于矩阵运算正确的是（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$A(B+C)=AB+AC$2.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）A.该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.该向量组中任意一个向量可由其余向量线性表示C.存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$D.该向量组的秩小于$s$3.对于$n$阶方阵$A$，下列说法正确的是（）A.若$\vertA\vert\neq0$，则$A$可逆B.若$A$可逆，则$A$的秩为$n$C.若$A$的秩为$n$，则$A$行等价于单位矩阵$E$D.若$A$可逆，则$Ax=b$有唯一解4.下列属于二次型的是（）A.$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$B.$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2$C.$f(x_1,x_2)=x_1+2x_2$D.$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$5.设$A$是$n$阶矩阵，$\lambda$是$A$的特征值，$\xi$是对应的特征向量，则（）A.$A\xi=\lambda\xi$B.$(A-\lambdaE)\xi=0$C.$\vertA-\lambdaE\vert=0$D.$\lambda$是特征方程$\vertA-\lambdaE\vert=0$的根6.若矩阵$A$与$B$合同，则（）A.$A$与$B$等价B.$A$与$B$有相同的秩C.$A$与$B$有相同的正负惯性指数D.存在可逆矩阵$C$，使得$B=C^TAC$7.以下关于向量组的极大线性无关组说法正确的是（）A.极大线性无关组所含向量个数唯一B.向量组和它的极大线性无关组等价C.极大线性无关组中的向量线性无关D.向量组中任意向量都可由极大线性无关组线性表示8.设$A$为$3$阶矩阵，且已知$\vertA\vert=3$，则（）A.$\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{3}$B.$\vert2A\vert=24$C.$\vertA^\vert=9$D.$\vertA^2\vert=9$9.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则（）A.$A$的行列式的值为-2B.$A$的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$C.$A$的逆矩阵为$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$D.$A$的秩为210.下列向量组中，线性相关的是（）A.$(1,1,1)^T,(1,2,3)^T,(2,3,4)^T$B.$(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$C.$(1,2,3)^T,(2,4,6)^T,(3,6,9)^T$D.$(1,-1,1)^T,(-1,1,-1)^T,(1,-1,1)^T三、判断题（每题2分，共10题）1.若$A$，$B$为同阶方阵，则$(AB)^k=A^kB^k$。（）2.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$也线性相关。（）3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。（）4.若$A$是$n$阶方阵，且$\vertA\vert=0$，则$A$的列向量组线性相关。（）5.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$是正定二次型。（）6.相似矩阵有相同的特征多项式。（）7.若矩阵$A$的秩为$r$，则$A$中存在$r$阶子式不为零。（）8.零向量一定是任何向量组的线性组合。（）9.正交矩阵的行列式的值为1。（）10.若$A$为$n$阶可逆矩阵，则$A$的行向量组和列向量组都线性无关。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩阵。答案：先求行列式$\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2$。伴随矩阵$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。2.求向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,6)^T,\alpha_3=(1,3,5)^T$的秩。答案：构造矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&5\end{pmatrix}$，经初等行变换得$\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，所以向量组的秩为2。3.写出二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$的矩阵。答案：二次型矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&3&2\\0&2&5\end{pmatrix}$。4.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。答案：特征方程$\vertA-\lambdaE\vert=\begin{vmatrix}2-\lambda&0\\0&3-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)=0$，解得特征值$\lambda_1=2$，$\lambda_2=3$。对于$\lambda_1=2$，解$(A-2E)x=0$，得基础解系$\xi_1=(1,0)^T$；对于$\lambda_2=3$，解$(A-3E)x=0$，得基础解系$\xi_2=(0,1)^T$。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论$n$阶方阵$A$可逆的充要条件有哪些。答案：$A$可逆的充要条件有：$\vertA\vert\neq0$；$A$的秩为$n$；$A$行等价于单位矩阵；$Ax=0$只有零解；$A$的列（行）向量组线性无关；存在方阵$B$，使得$AB=BA=E$等。2.谈谈相似矩阵和合同矩阵的联系与区别。答案：联系：都具有反身性、对称性、传递性；相似矩阵和合同矩阵秩都相等。区别：相似是$P^{-1}AP=B$，合同是$C^TAC=B$；相似矩阵有相同特征值，合同矩阵有相同正负惯性指数。3.说明线性方