今年甘肃高考数学试卷

今年甘肃高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是（）

A.折线

B.直线

C.圆

D.双曲线

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},则a的值为（）

A.1

B.-1

C.1或-1

D.0

3.“x>1”是“x^2>x”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知等差数列{a_n}中,a_1=2,a_4=6,则该数列的通项公式为（）

A.a_n=2n

B.a_n=n+1

C.a_n=3n-1

D.a_n=4n-2

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知直线l:y=kx+b与圆C:x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）

A.k∈R

B.k∈(-1,1)

C.k∈[-1,1]

D.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)

8.已知函数f(x)=e^x-x,则f(x)在区间(-∞,0)上（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cosC的值为（）

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.0

10.已知点P(x,y)在圆x^2+y^2=4上运动，则点P到直线x+y=2的距离的最大值为（）

A.2

B.√2

C.4

D.2√2

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=|x|

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，则该数列的公比q和首项a_1分别为（）

A.q=3,a_1=2

B.q=-3,a_1=-2

C.q=3,a_1=-2

D.q=-3,a_1=2

3.下列命题中，正确的有（）

A.若x^2=1，则x=1

B.若x^2>1，则x>1

C.若a>b，则a^2>b^2

D.若a>b，则√a>√b（a,b>0）

4.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点有（）

A.x=-2

B.x=-1

C.x=1

D.x=2

5.在直角坐标系中，下列说法正确的有（）

A.过点(1,1)且与直线y=x垂直的直线方程为x+y=2

B.圆x^2+y^2=1关于原点对称

C.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r相切的条件是k^2r=b^2+r^2

D.点P(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=2^x-1，则f(log_23)的值为_______。

2.在等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为_______。

3.若α是第二象限角，且sinα=-3/5，则cosα的值为_______。

4.不等式|x-1|<2的解集为_______。

5.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的长度为_______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-8=0。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

4.计算：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

5.已知直线l1:y=2x+1和直线l2:y=-x+3，求这两条直线的交点坐标。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）

1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.B

9.B

10.D

解答过程：

1.f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段讨论：

当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x

当-1≤x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2

当x<-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x

图像是两段直线在(-1,2)和(1,2)处连接，故为直线。

2.A∩B={1}，即满足x^2-3x+2=0且ax=1的x值为1。

由x^2-3x+2=0得x=1或x=2。

若x=1，代入ax=1得a*1=1，即a=1。

若x=2，代入ax=1得a*2=1，即a=1/2。

但A∩B={1}，说明x=1是唯一解，所以a不能为1/2。

故a=1。

3.“x>1”⇒“x^2>x”因为x>1时，x^2=x*x>x*1=x。

反之，“x^2>x”⇒“x>1”因为x^2>x等价于x(x-1)>0，解得x<0或x>1。

所以“x>1”是“x^2>x”的充分不必要条件。

4.a_4=a_1+3d=6。

a_1=2。

代入得2+3d=6，解得d=4/3。

a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*(4/3)=2+4n/3-4/3=4n/3-2/3。

化简得a_n=(4/3)n-2/3。

验证选项：A.a_n=2n。n=1,a_1=2;n=4,a_4=8≠6。错误。

B.a_n=n+1。n=1,a_1=2;n=4,a_4=5≠6。错误。

C.a_n=3n-1。n=1,a_1=2;n=4,a_4=11≠6。错误。

D.a_n=4n-2。n=1,a_1=4*1-2=2;n=4,a_4=4*4-2=14≠6。错误。

重新计算通项：a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*(4/3)=(4n/3)-(4/3)+2=(4n/3)+(6/3)-(4/3)=(4n+2)/3=2n-2/3。选项有误，应为(4n-2)/3。若按选项格式，最接近的是D结构，但计算错误。按给定选项，均不符合。假设题目或选项有印刷错误，若必须选，D是最接近结构。

*修正思路*：检查题目数据或期望答案。若题目数据a_4=6无误，则通项应为(4n-2)/3。选项均错。可能是出题错误。若必须从选项选，D(4n-2)形式最接近，但计算结果不符。此题按标准答案选D存在明显问题。若理解为考察等差数列基本公式应用，a_n=a_1+(n-1)d，d=a_4-a_1=4。a_n=2+4(n-1)=4n-2。选项D形式正确。若必须严格按结果选，(4n-2)/3=2n-2/3。选项无对应。此处按D形式最可能意图。

5.f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*(sin(x)cos(π/4)+cos(x)sin(π/4))=√2*sin(x+π/4)。

最小正周期T满足f(x+T)=f(x)，即√2*sin((x+T)+π/4)=√2*sin(x+π/4)。

sin函数周期为2π，故2π是函数的周期。

T=2π。

6.两个六面骰子，总共有6*6=36种等可能的结果。

点数之和为7的组合有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)。共6种。

概率=6/36=1/6。

7.圆心(0,0)，半径r=1。

直线y=kx+b与圆相交，代入得x^2+(kx+b)^2=1。

x^2+k^2x^2+2bkx+b^2=1。

(1+k^2)x^2+2bkx+(b^2-1)=0。

此为关于x的一元二次方程，有实数解需判别式Δ≥0。

Δ=(2bk)^2-4(1+k^2)(b^2-1)=4b^2k^2-4(b^2-1)(1+k^2)。

Δ=4b^2k^2-4(b^2+b^2k^2-1-k^2)=4b^2k^2-4b^2-4b^2k^2+4+4k^2=4(1-b^2+k^2)。

需要4(1-b^2+k^2)≥0，即1-b^2+k^2≥0。

k^2-b^2≥-1。

k^2≥b^2-1。

因为k^2≥0，所以b^2-1≤k^2。

即|k|≥|b|/√2。

选项A:k∈R。所有实数k都满足，因为|k|总是存在的。

选项B:k∈(-1,1)。k=1时，b^2-1≤1⇒b^2≤2⇒|b|≤√2。满足。

k=-1时，1≤b^2-1⇒b^2≥2⇒|b|≥√2。不满足。

所以k∈(-1,1)不总是成立。

选项C:k∈[-1,1]。同上，k=1和k=-1时不满足。

选项D:k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。k>1时，b^2-1≤k^2总成立。

k<-1时，b^2-1≤k^2总成立。

所以k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)满足。

最小的k范围是k∈R。

但题目问的是“相交”，即Δ>0。

Δ=4(1-b^2+k^2)>0⇒1-b^2+k^2>0⇒k^2>b^2-1。

这与k^2≥b^2-1是不同的。k^2>b^2-1意味着|k|>|b|/√2。

这比k^2≥b^2-1更严格，即k范围更小。

如果题目是相交，则k范围比R小。

如果题目是相切，则k^2=b^2-1，即|k|=|b|/√2。

题目没有明确是相交还是相切，通常选择题会考察最基本的情况或包含所有可能性的范围。

如果理解为相交（包含相切），则k范围是k^2≥b^2-1，即|k|≥|b|/√2。

这与k∈R不完全匹配。

如果理解为相切，则|k|=|b|/√2。

选项B是k=1时b≤√2，k=-1时b≥√2。不满足。

选项D是k>1或k<-1。不满足。

选项C是k=1或k=-1。不满足。

选项A是k属于所有实数。这包含所有可能的k值（对于任意b）。

可能题目本意是考察相交，但选项设置有问题，或者考察k^2≥b^2-1这个范围，但选项没有直接给出。

如果必须选一个最接近“包含所有可能k”的，且选项都不满足严格相交条件，选项A是唯一一个范围最广的。

假设题目是考察相交，选项设置有误，选择A。

*修正思路*：题目要求“相交”，即Δ>0。k^2>b^2-1。即|k|>|b|/√2。选项中只有A满足包含所有可能。B,C,D都不满足|k|>|b|/√2这个条件（例如k=0时，|k|=0<|b|/√2）。所以选A。

8.f(x)=e^x-x。

f'(x)=e^x-1。

令f'(x)=0，得e^x-1=0⇒e^x=1⇒x=0。

当x∈(-∞,0)时，e^x∈(0,1)，所以f'(x)=e^x-1<0。

因此，f(x)在区间(-∞,0)上单调递减。

9.a^2+b^2=c^2是勾股定理，说明△ABC是直角三角形，且∠C为直角。

直角三角形中，sinC=对边/斜边=a/c。

cosC=邻边/斜边=b/c。

题目问cosC，但没有指明是哪个邻边。

如果cosC=b/c，则选项D。

如果cosC=a/c，则选项C。

如果cosC=a/b，则选项D（因为a/c=b/c时a=b，但a^2+b^2=c^2意味着a=b=c，不可能）。

题目未明确邻边，若默认指与角C相对的边为斜边c，那么cosC=b/c。

所以cosC=4/5。

检查选项：A.1/2。B.1。C.-1/2。D.0。

4/5不在选项中。题目或选项有误。

假设题目意图是考察勾股定理的应用，cosC=b/c。

题目数据a=3,b=4,c=5，cosC=4/5。

选项中无4/5。若必须选，可能出题者想考察cosC的定义，即邻边比斜边。

但选项均为特殊值，可能题目数据或选项印刷错误。

若按cosC=b/c=4/5，选项无对应。

若按cosC=a/c=3/5，选项无对应。

若按cosC=1，则需a=b=c，不可能。

若按cosC=0，则需邻边为0，不可能。

若按cosC=1/2，则需b=1/2c，即4=1/2*5，不成立。

若按cosC=-1/2，则需b=-1/2c，即4=-1/2*5，不成立。

**此题存在严重问题，无法根据给定答案选出正确选项。**

假设答案为D（0），则需cosC=0，即b=0，与b=4矛盾。

假设答案为C（-1/2），则需b=-10/2=-5，与b=4矛盾。

假设答案为B（1），则需a=b=c，与a=3,b=4矛盾。

假设答案为A（1/2），则需b=5/2，与b=4矛盾。

**结论：题目本身或答案设置有误。**无法给出标准答案。

**强制选择：**如果必须选一个，可能题目想考察cosC=b/c=4/5，但选项无对应。或者考察cosC=1（直角三角形），但需a=b=c。或者考察cosC=0（直角三角形），但需邻边为0。选项D(0)最不违反常识（cosC≠0），但与题设矛盾。如果非选一个，选D。

10.点P(x,y)在圆x^2+y^2=4上运动，即P的坐标满足x^2+y^2=4。

直线x+y=2的法向量为(1,1)。

点P到直线x+y=2的距离d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。

A=1,B=1,C=-2。

d=|x+y-2|/√(1^2+1^2)=|x+y-2|/√2。

因为x^2+y^2=4，所以y=±√(4-x^2)。

d=|x+±√(4-x^2)-2|/√2。

令g(x)=x+√(4-x^2)-2和h(x)=x-√(4-x^2)-2。

g'(x)=1-x/√(4-x^2)。令g'(x)=0⇒1=x/√(4-x^2)⇒√(4-x^2)=x⇒4-x^2=x^2⇒2x^2=4⇒x^2=2⇒x=±√2。

h'(x)=1+x/√(4-x^2)。令h'(x)=0⇒1=-x/√(4-x^2)⇒-√(4-x^2)=x⇒4-x^2=x^2⇒2x^2=4⇒x^2=2⇒x=±√2。

当x=√2时，y=√(4-2)=√2。点(√2,√2)。

当x=-√2时，y=-√(4-2)=-√2。点(-√2,-√2)。

d(√2,√2)=|√2+√2-2|/√2=|2√2-2|/√2=|2(√2-1)|/√2=2√2-2=√2(√2-1)=2-√2。

d(-√2,-√2)=|-√2-√2-2|/√2=|-2√2-2|/√2=|-2(√2+1)|/√2=2(√2+1)=√2(√2+1)=2+√2。

最大值为max(2+√2,2-√2)=2+√2。

最小值为min(2+√2,2-√2)=2-√2。

题目问“最大值”，所以是2+√2。

选项A.2。B.√2。C.4。D.2√2。

2+√2≈2+1.414=3.414。

2<3.414。不选A。

√2≈1.414。不选B。

4>3.414。不选C。

2√2≈2*1.414=2.828。不选D。

选项均不正确。题目或选项有误。

**假设答案为D(2√2)**：若最大值是2√2，则d(x,y)=2√2。

|x+y-2|/√2=2√2⇒|x+y-2|=4。

x+y-2=4或x+y-2=-4。

x+y=6或x+y=-2。

检查是否可能：若x+y=6，代入x^2+y^2=4，(x+y)^2=36⇒x^2+y^2+2xy=36⇒4+2xy=36⇒2xy=32⇒xy=16。

检查是否有实数解：x^2+y^2=4，xy=16。设x,y为方程t^2-(x+y)t+xy=0的根。

t^2-6t+16=0。Δ=36-64=-28<0。无实数解。

若x+y=-2，代入x^2+y^2=4，(x+y)^2=4⇒x^2+y^2+2xy=4⇒4+2xy=4⇒2xy=0⇒xy=0。

检查是否有实数解：x^2+y^2=4，xy=0。设x,y为方程t^2-(x+y)t+xy=0的根。

t^2+2t+0=0⇒t(t+2)=0。根为t=0或t=-2。

若t=0，则x=0,y=-2。点(0,-2)。检查：x+y=0-2=-2。满足。点(0,-2)在圆上x^2+y^2=0^2+(-2)^2=4。点(0,-2)到直线x+y=2的距离d=|0-2-2|/√2=|-4|/√2=4/√2=2√2。

若t=-2，则x=-2,y=0。点(-2,0)。检查：x+y=-2+0=-2。满足。点(-2,0)在圆上(-2)^2+0^2=4。点(-2,0)到直线x+y=2的距离d=|-2+0-2|/√2=|-4|/√2=4/√2=2√2。

所以存在点使得距离为2√2。因此最大值为2√2是可能的。

**强制选择：**如果必须选一个，D(2√2)是唯一可能正确的选项，尽管题目问的是“最大值”，但计算出的最大值是2+√2。选项D是2√2，可能是出题者笔误，将最大值2+√2写成了2√2。或者题目本意就是考察这种情况，即存在点使得距离为2√2，而2√2本身是可能的极值。

**结论：**最大值是2+√2。选项D(2√2)可能是出题错误，但2√2本身是可能的距离值。

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.A,B

2.A,B

3.D

4.B,C

5.A,B,D

解答过程：

1.奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x^3。f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。是奇函数。

B.f(x)=sin(x)。f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。是奇函数。

C.f(x)=x^2+1。f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1≠-(x^2+1)=-f(x)。不是奇函数。

D.f(x)=|x|。f(-x)=|-x|=|x|≠-|x|=-f(x)。不是奇函数。

答案：A,B。

2.a_4=a_1*q^3=54。a_2=a_1*q=6。

a_1*q^3/(a_1*q)=54/6⇒q^2=9⇒q=3或q=-3。

若q=3，a_1*3=6⇒a_1=2。

若q=-3，a_1*(-3)=6⇒a_1=-2。

情况1：a_1=2,q=3。a_n=2*3^(n-1)。

情况2：a_1=-2,q=-3。a_n=-2*(-3)^(n-1)=-2*(-1)^(n-1)*3^(n-1)。

两种情况都符合a_2=6,a_4=54。

答案：A,B。

3.A.若x^2=1，则x=±1。不一定是x=1。错误。

B.若x^2>1，则|x|>1，所以x>1或x<-1。不一定是x>1。错误。

C.若a>b，则a^2>b^2仅在a,b均为正数时成立。例如a=2,b=-1，则a>b但a^2=4,b^2=1，a^2>b^2。错误。

D.若a>b且a,b>0，则√a>√b。因为平方函数y=x^2在(0,+∞)上单调递增。正确。

答案：D。

4.f(x)=x^3-3x^2+2。

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

f''(x)=6x-6。

f''(0)=6*0-6=-6<0，故x=0是极大值点。

f''(2)=6*2-6=6>0，故x=2是极小值点。

极值点为x=0和x=2。

答案：B,C。

5.A.过点(1,1)且与直线y=x垂直的直线斜率为-1。方程为y-1=-1(x-1)⇒y=-x+2。即x+y=2。正确。

B.圆x^2+y^2=1的圆心为(0,0)，半径为1。它关于原点对称。正确。

C.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。

距离=|k*0+(-1)*b+0|/√(k^2+(-1)^2)=|b|/√(k^2+1)。

条件为|b|/√(k^2+1)=r。

化简得b^2=r^2(k^2+1)。

题目给出的条件是k^2r=b^2+r^2。即k^2r=b^2+r^2。

代入b^2=r^2(k^2+1)到k^2r=b^2+r^2中：

k^2r=r^2(k^2+1)+r^2=r^2k^2+r^2+r^2=r^2k^2+2r^2。

r^2k^2+2r^2=k^2r。

移项得r^2k^2-k^2r+2r^2=0。

r^2(k^2-k)+2r^2=0。

r^2(k^2-k+2)=0。

因为r^2≥0，且k^2-k+2=(k-1/2)^2+7/4>0对所有实数k成立。

所以r^2(k^2-k+2)=0⇒r^2=0⇒r=0。

这意味着圆退化为一点，与题目r为半径矛盾。

因此，题目给出的条件k^2r=b^2+r^2不等于相切条件b^2=r^2(k^2+1)。

题目条件是错误的。

D.点P(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离公式为|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。这是标准公式。正确。

答案：A,B,D。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.3

2.1

3.-4/5

4.(-1,3)

5.√10

解答过程：

1.f(log_23)=2^(log_23)-1=3-1=2。

2.a_5=a_1+4d=10。a_10=a_1+9d=25。

a_10-a_5=(a_1+9d)-(a_1+4d)=5d。

25-10=5d⇒15=5d⇒d=3。

3.sinα=-3/5。α为第二象限角，cosα<0。

cos^2α=1-sin^2α=1-(-3/5)^2=1-9/25=16/25。

cosα=-√(16/25)=-4/5。

4.|x-1|<2⇒-2<x-1<2。

加1得：-1<x<3。

解集为(-1,3)。

5.AB=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-8=0。

2^(x+1)=8。

2^(x+1)=2^3。

x+1=3。

x=2。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

因为a^2+b^2=c^2(3^2+4^2=9+16=25=5^2)，所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角。

在直角三角形中，sinB=对边/斜边=a/c=3/5。

3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

需要比较f(x)在驻点x=0,x=2以及区间端点x=-1,x=3处的函数值。

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。

f(0)=0^3-3(0)^2+2=2。

f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。

比较得：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。

最大值为2，最小值为-2。

4.计算：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

这是一个“0/0”型极限，可以使用洛必达法则。

lim(x→0)(sinx-x)/x^3=lim(x→0)(cosx-1)/3x^2。

当x→0时，分子cosx-1→0，分母3x^2→0，仍是“0/0”型。

再次使用洛必达法则：

lim(x→0)(cosx-1)/3x^2=