2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=|3−i|2−i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面α的一个法向量为m=(−1,2,12)，平面β的一个法向量为n=(x,1,−2)，若α⊥βA.−1 B.1 C.2 D.43.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAsinB=38,ab=3，则△ABC的外接圆的半径为A.4 B.22 C.2 4.已知M为△ABC所在平面内的一点，3AB=2AM,CEA.43AB+12AC B.15.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=2,PC=23,PA,PB,PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为A.18π B.20π C.24π D.28π6.已知四棱锥P−ABCD中，AB=(5,1,−2),AC=(0,2,1),APA.253 B.23 C.7.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形ABC，已知cos∠ACF=1314，则EF=(

)A.6B.8C.10D.128.已知△ABC中，AC=BC=2,AB=2，若点C1，C2，⋯，C2024，C2025依次将线段AC平均分成2026份，设A.10132 B.202722 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m//α，α//β，则m//βB.若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n

C.若m//n，n⊂α，m⊄α，则m//αD.若m⊥α，m⊂β，则α//β10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若a>b，则cosA>cosB

B.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

C.若A=2B，则ab的取值范围为(1,2)

D.若b=4, A=π3，且三角形有两解，则11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AA1=2,∠ACB=2π3，D，E分别为ACA.若M是线段BC上一点，则三棱锥M−A1DE的体积为定值

B.若平面BCM//平面A1DE，则点M的轨迹长度为1+5+7

C.若M是A1C1的中点，则B1M与平面A1DE所成角的正弦值为212.已知i是虚数单位，则i5+i713.已知向量a,b满足a⋅b=4|14.已知三棱锥P−ABC的各个顶点都在表面积为12π的球O的球面上，且球心O为AP的中点，AC=2BC=2,AC⊥BC，若E，F分别为直线BC，PA上的动点，则线段EF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，M为AB的中点．

(1)求证：C1B//平面16.(本小题15分)

已知a,b是平面内两个不共线向量，AB=a−2b,BM=λa+b,MC=−a+3b，且A，M，C三点共线．

(1)求实数λ的值；

17.(本小题15分)

如图，已知长方形ABCD是圆柱的轴截面(经过旋转轴的截面)，点M在底面圆周上(异于C，D两点)，AB=5,BC=3,CM=1，点P是BM上靠近点B的三等分点．

(1)求证：平面BCM⊥平面BDM；

(2)求点A到直线DP18.(本小题17分)

对于一个向量组a1,a2,a3,⋯,an(n∈N且n≥3)，令Sn=a1+a2+a3+⋯+an，如果存在at(t∈{1,2,3,⋯,n})，使得|at|≥|Sn−kat|,k∈Z，则称at是该向量组的“k向量”．

(1)设an=(n,x−n),n∈N∗，若a4是向量组a1,a2,a3,a4的“2向量”，求实数x的取值范围；

(2)若an=(19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为23的菱形，∠BAD=π3，点P在底面的投影O恰为△ABD的重心．

(1)求证：AB⊥PD；

(2)若直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为31313，点M为棱CP上的动点(不包括端点)．

①求四棱锥P−ABCD的体积；

②

参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.A

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.0

13.2

14.215.(1)证明：连接AC1，交A1C于O点，则O为AC1的中点，连接OM，

△ABC1中，OM为中位线，所以OM//C1B.

因为OM⊂平面A1CM，C1B⊄平面A1CM，所以C1B//平面A1CM．

(2)解：由(1)可知OM//BC1，

所以∠A1MO(或其补角)是异面直线A1M与BC116.(1)AM=AB+BM=a−2b+λa+b=(λ+1)a−b，

因为A，M，C三点共线，所以存在μ∈R使得AM=μMC，

即(λ+1)a−b=μ(−a+3b)=−μa+3μb，

因为a, b是平面内两个不共线向量，

所以λ+1=−μ−1=3μ，

解得μ=−13λ=−23；17.证明：(1)由题知BC⊥平面CDM，又DM⊂平面CDM，所以DM⊥BC．

因为M是底面圆周上一点，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，BC，MC⊂平面BCM，所以DM⊥平面BCM．

因为DM⊂平面BDM，所以平面BCM⊥平面BDM．

解：(2)因为DM⊥CM, CD=AB=5, CM=1，所以DM=CD2−CM2=2．

以点M为坐标原点，MC，MD所在直线分别为x轴，y轴，过点M垂直于底面DCM的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则P(23,0,2)，D(0,2,0)，A(0,2,3)，故DA=(0,0,3)，DP=(23,−2,2)，18.(1)由题意可得：|a4|≥|a1+a2+a3−a4|，

a1=(1, x−1), a2=(2, x−2), a3=(3, x−3), a4=(4, x−4)，

则42+(x−4)2≥22+(2x−2)2，

解得：−22≤x≤22；

(2)存在“−1向量”，且“−1向量”为a4, a5, a6，理由如下：

由题意可得|at|=cos2tπ4+sin2tπ4=1，

若存在“−1向量at”，只需使|S9+at|≤1．

因为a1=(22,22),a2=(0,1),a3=(−22,22)，

a4=(−1,0)，a5=(−22,−22)，a6=(0,−1)，

a7=(22,−22)，a8=(1,0),a9=(22,22)，

所以S9=a1+a2+⋯+a9=(19.解：(1)证明：如图，连接OD．

因为PO⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB．

因为四边形ABCD是边长为23的菱形，∠BAD=π3，

所以△ABD为等边三角形．

因为O是△ABD的重心，所以AB⊥OD．

又OD∩OP=O，OD，OP⊂平面OPD，

所以AB⊥平面OPD．

因为PD⊂平面OPD，

所以AB⊥PD．

(2)连接AC交BD于点N．

①因为O为△ABD的重心，所以AO=2, ON=1, OC=3, NB=ND=3．

因为PO⊥底面ABCD，

所以∠PAO为直线AP与平面ABCD所成角，

故sin∠POA=POPA=POPO2+AO2=31313，

解得PO=3，

所以四棱锥P−ABCD的体积VP−ABCD=13S菱形ABCD⋅PO=13×2×34×(23)2×3=63．

②以NB，NC所在直线为x，y轴，过N作平行于OP的直线为z轴，