2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.1−7i3−i=(

)A.1−2i B.−12−52i2.已知θ为第一象限角.若sinθ=35，则cosθ=(

)A.−34 B.34 C.−3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是(

)A.m⊥α，m⊥β⇒α//β B.m⊥n，n⊥α⇒m//α

C.m⊥α，m⊂β⇒α⊥β D.m⊥α，n⊥α⇒m//n4.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三(

)A.5人 B.6人 C.7人 D.8人5.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.32 B.22 C.6.在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=17，则∠A的大小为(

)A.π6 B.π3 C.5π6 D.7.若a、b均是单位向量，且a⋅b=12A.7 B.7 C.6 8.在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=2，BC=2，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积等于(

)A.6π B.8π C.10π D.12π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员8人，经培训后进行考核，所得分数(10分制)分别为7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是(

)A.这组数据的平均数为8 B.这组数据的众数为8

C.这组数据的极差为2 D.这组数据的75%分位数为810.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有(

)A.AC⊥SB

B.AB//平面SCD

C.SA与平面ABCD所成角是∠SAD

D.AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角

11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，则(

)A.该圆台的高为1cm

B.该圆台轴截面面积为33cm2

C.该圆台的侧面积为三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。12.已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，若sinA=45，sinC=1213，a=1，则c=13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PD与平面PAB所成的角的大小为______．14.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______．15.已知向量a=(2,−1)，b=(1,λ)，若(a+2b四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30)20.05合计M1(1)写出表中M、p及图中a的值(不需过程)；

(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)上的人数；

(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.(结果精确到0.01)17.(本小题12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2cosA=2．

(1)求bc；18.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．

(1)求证：EF//平面PCD；

(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(3)若PA=AB，求二面角P−CD−A的大小．

参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.A

8.B

9.ABC

10.ABC

11.BCD

12.151313.π414.3.5

15.−116.解：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，

得10M=0.25，解得M=40，

∴10+24+m+2=40，

解得m=4，p=mM=0.10，

∵a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，

∴a=2440×5=0.12．

(2)∵该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，

∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：240×0.25=60．

(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是15+202=17.5，

∵n=17.解：(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2cosA=2，

根据余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，

所以b2+c2−a2cosA=2bccosAcosA=2bc=2，解得：bc=1；

(2)由正弦定理a18.(1)证明：如图，连接BD，则E是BD的中点，

又因为F是PB的中点，所以EF//PD．

因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以EF//平面PCD．

(2)证明：因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，

又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面PBD，

故平面PBD⊥平面PAC．

(3)因为PA⊥底面