2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.252.已知向量a=(2,m),b=(m,3)，若a⋅bA.−2 B.0 C.1 3.不等式(x−2)(1−2x)≥0的解集为(

)A.{x|x>12} B.{x|12≤x≤2}

C.4.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图象，则g(x)=(

)A.−3cos2x B.3cos2x C.−3sin(2x+π4)5.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V=(

)A.29π B.31π C.87π D.93π7.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从盒中不放回的依次取出两个球，A表示事件“第一次取出的是红球”；B表示事件“取出的两球同色”，C表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是(

)A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.P(A∪B)=56 8.古希腊数学家泰特托斯(Tℎeaetetus，公元前417—公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数2,3,A.26+3315B.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从甲袋中摸出一个红球的概率为14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是(

)A.2个球都是红球的概率为18 B.2个球不都是红球的概率为38

C.至少有1个红球的概率为58 D.2个球中恰有10.已知甲、乙两组数据分别为8，9，11，10，12，和a，8，9，10，15，若甲、乙两组数据的平均数相同，则(

)A.甲组数据的中位数为10 B.乙组数据的第75百分位数为9.5

C.甲、乙两组数据的极差相同 D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a=2，c=1，则下列结论正确的是(

)A.b>2 B.sinA=2sinC

C.若B=60°，则△ABC为直角三角形 D.若B=150°，则△ABC面积为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，13.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为______．14.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12．

(1)求φ的值；

(2)设g(x)=f(x)+f(x−16.(本小题15分)

为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间[40,100]，其频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值；

(2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；

(3)现用分层抽样的方法从区间[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在[80,90)的概率．17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为A1B、AC的中点．

(1)证明：MN//平面BC18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=PD=2，DC=4，E，F分别为棱CD，PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PBD；

(2)求点D到平面PBC的距离．19.(本小题17分)

已知△ABC的面积为S，三边分别为a，b，c，且AB⋅AC=233S．

(1)求cosA；

(2)若b=2，c=3，求三角形ABC外接圆半径．

参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.B

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.AD

11.BCD

12.12π

13.39

14.215.f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12，

(1)由已知得f(0)=cosφ=12，结合0≤φ<π，

所以φ=π3；

(2)由(1)知：f(x)=cos(2x+π3)，所以f(x−π6)=cos2x，

所以g(x)=

f(x)+f(x−π6)=cos2xcosπ3−sin2xsinπ3+cos2x

=32cos2x−32sin2x=3[cos2xcosπ616.(1)由题意可得10(0.004×2+0.20×2+m+0.40)=1，解得m=0.012；

(2)平均数为45×0.004×10+55×0.020×10+65×0.040×10+75×0.020×10+85×0.012×10+95×0.004×10=67.8，

故该校高一学生的平均体能测试成绩为67.8；

(3)[40,50)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.04，0.12，0.04，故之比为1：3：1，

所以从[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5个人，

所以需要从[40,50)，[80,90)，[90,100]分别抽取的人数为1，3，1，

设[40,50)的1个人为A，[80,90)的3个人为a，b，c，[90,100]的1一个人为B，

因此样本空间为Ω={(Aa),(Ab),(Ac),(AB),(ab),(ac),(aB),(bc),(bB),(cB)}，共有10个，

则2人体能测试成绩在[80,90)的样本点有{(ab),(ac),(bc)}共有3个，

故2人体能测试成绩在[80,90)的概率为31017.(1)证明：

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，分别取BC，BB1的中点E，F，连接EF，EN，FM，

因为M、N分别为A1B、AC的中点，所以MF//A1B1，

且MF=12A1B1，NE//AB且NE=12AB，

又因为AB//A1B1且AB=A1B1，

所以MF//NE且MF=NE，

即四边形MNEF是平行四边形，故MN//EF，

因为MN⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，

所以MN//平面BCC1B1．

(2)连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，

因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC118.(1)证明：如图，连接BE，

因点E为DC的中点，且AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=2，DC=4，

所以DE=AB，易知四边形ABED是正方形，所以AE⊥BD，

因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥PD，

又因为BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，

所以AE⊥平面PBD．

(2)在Rt△PCD中，PC=PD2+DC2=22+42=25，