2024-2025学年四川省眉山市仁寿县校际联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省眉山市仁寿县校际联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=21−i，则z−在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若n个样本1−x1、1−x2、1−x3、…、1−xn的平均数是−5，方差为4，则对于样本1+2x1、1+2A.16、6 B.10、16 C.13、18 D.13、163.已知两条不同的直线m，n，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//α B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

C.若m⊥γ，n⊥γ，则m//n D.若α⊥β，γ⊥β，则α//γ4.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α外，AB⊂α，AC，BC与平面α所成的角分别为45°,30°,AB=6，则点C到平面α的距离为(

)A.6 B.26 C.15.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则下列说法正确的是(

)

①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；

③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；

④EF与GH的交点A.①③ B.①④ C.②③ D.②④6.已知cos(α+π6)+sinα=35A.−725 B.−2325 C.7.斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边BC上，且BDDC=mn，则AD2=mb2+nc2m+n−mna2(m+n)2.已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、bA.2133 B.2738.设函数f(x)的图象与函数y=2cosπx(x∈[−12,32])的图象关于x度后得到函数g(x)的图象，则函数y=1x−1的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为A.8 B.6 C.4 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.若z1，z2∈C，z12+z22=0，则z1=z2=0

B.若z=a+bi(a,b∈R)，则当a=0，b≠0时，z为纯虚数10.下列有关向量的命题正确的是(

)A.若a,b,c均为非零向量，且a⋅b=a⋅c，则b=c

B.已知单位向量a,b,c满足2a+3b+4c=0，则a⋅11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，下列说法正确的是(

)A.在翻折过程中，存在某个位置使得AB⊥CD

B.若AC⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为217

C.当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，二面角D−AC−B的平面角大小为π3

D.当AE⊥EF时，三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，16，20，22，则估计该组数据的总体的上四分位数为______．13.如图，在△ABC中，AN=13NC，P是线段BN上一点，若AP=mAB14.如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P−CEF(A,B,D重合于P点)，则三棱锥P−CEF的外接球与内切球的半径之比是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知四棱锥S−ABCD的底面是菱形，SA⊥平面ABCD．

(1)设平面SBC∩平面SAD=l，求证：l//BC；

(2)求证：SC⊥BD．16.(本小题15分)

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

(Ⅱ)试估计该校学生满意度打分的平均数和75%的分位数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位)；

(Ⅲ)若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40,60)的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40,50)、[50,60)中分别抽取的人数．17.(本小题12分)

如图，在锐角△ABC中，2BD=CD，AE=DE，AB=λAP,AC=μAQ，AB=4，AC=3，S△ABC=33；

(1)用AB,AC表示AD；

(2)若λ=2μ18.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，A1C=AC=2，A1C⊥A1B1，平面AA1C1C⊥平面ABC，点D，E，F分别为棱BC，A1C1，B19.(本小题12分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．

(Ⅰ)设函数g(x)=3sin(x−π)−sin(32π−x)，试求g(x)的伴随向量OM；

(Ⅱ)记向量ON=(1,3)的伴随函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时cosx的值；

(Ⅲ)由(Ⅰ)中函数g(x)的图象(纵坐标不变)参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.18

13.11614.215.证明：(1)∵BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，AD//BC，

∴BC//平面SAD，

又BC⊂平面SBC，平面SAD∩平面SBC=l，

∴l//BC．

(2)∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴SA⊥BD，

∵四棱锥S−ABCD的底面是菱形，

∴AC⊥BD，

∵AC∩SA=A，AC，SA⊂平面SAC，

∴BD⊥平面SAC，

又∵SC⊂平面SAC，

∴SC⊥BD．

16.解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，(0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028)×10=1，

解得a=0.006，

所以该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×(0.28+0.22+0.18)=680(人)；

(Ⅱ)平均数为：x−=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2(分)，

因为0.04+0.06+0.22+0.28=0.6，0.04+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82，

所以75%的分位数位于[80,90)内，设其为m，

则0.6+(m−80)×0.22=0.75，

解得m≈86.82，

即75%的分位数约为86.82分；

(Ⅲ)由频率分布直方图可知，打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，

所以打分在[40,50)和[50,60)内的频率之比为2：3，

所以在打分[40,50)中抽取的人数为25×10=4人，在打分[50,60)17.(1)已知在锐角△ABC中，2BD=CD，

所以BD=12DC，

所以AD−AB=12(AC−AD)，

所以AD=23AB+13AC；

(2)已知AE=DE，AB=λAP,AC=μAQ，

所以AE=12AD，

所以AE=13AB+16AC，

所以AE=λ3AP+μ6AQ，

又P，E，Q三点共线，

所以λ3+μ6=1，

又λ=2μ，

可得λ=125,μ=65，

所以AP=512AB,AQ=56AC，

又AB=4，AC=3，

所以AP=53,AQ=52，

又因为S△ABC=33，

所以12×4×3×sinA=33，

所以sinA=32，

因为△ABC是锐角三角形，

所以A=π3，

在△APQ中，由余弦定理PQ2=AQ2+AP2−2AQ⋅APcos∠BAC可得：PQ2=(53)2+(52)2−2×53×52×12=17536，

所以PQ=576；

(3)由(2)可知λ3+μ6=1，

则1λ+2μ=(1λ+2μ)(λ3+μ6)=13+μ6λ+2λ3μ+13≥23+2μ6λ×2λ3μ=43，

当且仅当μ6λ=2λ3μ，即λ=32,μ=3时取最小值，

当λ=32,μ=3取时，AP=23AB,AQ=13AC，

所以AD⋅PQ=(23AB+13AC)⋅(13AC−23AB)=19AC2−49AB2=19×32−49×42=−559．

18.解：(1)证明：取AC的中点G，连接DG，A1G，如图所示，

∵D是棱BC的中点，G是AC的中点，∴DG//AB，

∵点E，F分别为棱A1C1，B1C1的中点