2024-2025学年云南省文山一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省文山一中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6，则其成功概率为(

)A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.62.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：y=−52x+44，但由于保存不妥，丢失了一个数据(表中用字母m温度x(℃)6810病毒数量y(万个)3022mA.m=19 B.m=20

C.m=21 D.m的值暂时无法确定3.已知曲线f(x)=12x2−2上一点(1,y0)，记A.32 B.−32 C.14.如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域(如区域1与区域4)所涂颜色相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(

)A.60种 B.80种 C.100种 D.125种5.无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标.普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离X(千米)服从正态分布X～N(15,σ2)，记P(X>15−σ)=a，P(15−σ<X<15)=b，当σ变小时，则A.a变大 B.b变小 C.a+b不变 D.a−b变小6.关于二项式(x2−ax)(1+x)6，若展开式中含A.2 B.1 C.3 D.−17.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y=0垂直，则a的值是(

)A.12 B.−12 C.28.现有1位老师，2位女同学，m位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有184种，则m的值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知二项展开式(1−x)2025=aA.a0=1 B.a1+a210.已知随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X～N(3,2)，Y～B(9,13)，则下列选项正确的是A.P(X≤3)=12 B.E(X)=E(Y) C.D(X)=D(Y) 11.已知函数f(x)=x33−x2A.函数f(x)有两个极值点，则b<0

B.当b<0时，函数f(x)在(0,+∞)上有最小值

C.当b=−2时，函数f(x)有一个零点

D.当b>0时，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an2+n(a∈R,n=1,2,3)，则13.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中x∈N∗，且x<16，若有90%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值是______．对工作满意对工作不满意男5x5x女4x6x附：K2=n(ad−bc)P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82814.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与

一次.游戏规则如下：

第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋；

第二步，学生自行选择空格放上2枚白棋；

最终，每当有4枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况．

现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放上白棋，则他获二等奖的方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市统计了2024年4月每一天的空气质量指数(AQI)，将其分为[0,50]、(50,100]、(100,150]、(150,200]的4组，画出频率分布直方图如图所示.若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI>100，称当天空气质量不达标．

(1)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；

(2)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α=0.1月份空气质量合计达标不达标4月6月合计附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63516.(本小题15分)

某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如下表：地区I区Ⅱ区Ⅲ区Ⅳ区V区调研用户(人数)2501002005035满意率0.50.30.70.60.5(某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值)

假设用户是否满意相互独立．

(1)从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率；

(2)用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率.从Ⅰ区所有使用该软件的用户和Ⅱ区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；17.(本小题15分)

设函数f(x)=ex+1−x2−kx．

(1)当k=0时，求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程；

(2)若18.(本小题17分)

某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.场上位置边锋前卫中场出场率0.50.30.2球队胜率0.60.80.7(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+aln(x+1)(a∈R)．

(1)当a=3时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围；

(3)若f(x)在(0,2)上存在唯一零点，求参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.BD

12.4313.14或15

14.4

54

15.(1)(a+0.006+0.01+a)×50=1，解得a=0.002，

因此4月份的空气质量达标的天数为50×(0.002+0.006)×30=12，

因此4月份的空气质量不达标的天数为30−12=18，

因此从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1−C182月份空气质量合计达标不达标4月1218306月82230合计204060零假设H0：空气质量是否达标与月份无关，因此χ2=60(12×22−8×18)220×40×30×30=1.2<x16.解：(1)样本中五个地区的回访用户的总数是：

250+100+200+500+350=1400，

满意的用户人数250×0.5+100×0.3+200×0.7+500×0.6+350×0.5=770，

故从所有的调研用户中随机抽取1人，则这个用户满意的概率为7701400=1120．

(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2．

设事件A为“从I区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，

事件B为“从II区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件．

根据题意，P(A)的估计为0.5，P(B)的估计为0.3．

则P(ξ=0)=P(A−B−)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；

P(ξ=1)=P(ABξ012P0.350.50.15E(ξ)=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8．17.(1)当k=0时，f(x)=ex+1−x2，f′(x)=ex+1−2x，

则f′(−1)=3，f(−1)=0，

所以曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为y=3x+3．

(2)f′(x)=ex+1−2x−k，由题意得，x∈[−1,+∞)，f′(x)≥0恒成立．

令F(x)=f′(x)，则F′(x)=ex+1−2，且F′(x)在[−1,+∞)单调递增，

令F′(x)=0，解得x=ln2−1>−1，

所以当x∈(−1,ln2−1)时，F′(x)<0，故F(x)单调递减；

当x∈(ln2−1,+∞)时，F′(x)>0，故F(x)单调递增；

所以F(x)18.(1)记事件A1=“球员甲出任边锋”，事件A2=“球员甲出任前卫”，事件A3=“球员甲出任中场”，事件B=“球队获胜”，

则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A219.解：(1)当a=3时，f(x)=x2+aln(x+1)=x2+3ln(x+1)，

因为f′(x)=2x+3x+1=2(x+12)2+52x+1>0，x>−1，

所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增．

(2)f(x)的定义域为(−1,+∞)，f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+a1+x，

设g(x)=2x2+2x+a，

则g(x)在(−1,+∞)上仅有一个变号零点，

根据二次函数的性质可得，Δ=4−8a>0g(−1)=−2a+2≤0，

解得a≤0，即a的取值范围为(−∞,0]．

(3)由(2)，知当Δ=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，f(x)在(−1,+∞)上单调递增，

又f(0)=0，所以f(x)在(0,2)上无零点，不符合题意；

当Δ=4−8a>0，即a<12时，g(−12)=a−12<0,g(x)