拓扑期末考试题及答案

拓扑期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.设\(X=\{a,b,c\}\)，\(\tau=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}\)是\(X\)上的拓扑，则点\(b\)的邻域系\(N(b)\)为（）A.\(\{\{a,b\},X\}\)B.\(\{\{b\},\{a,b\},X\}\)C.\(\{U\in\tau|b\inU\}\)D.以上都不对2.下列关于拓扑空间中开集的性质，错误的是（）A.任意多个开集的并集是开集B.有限个开集的交集是开集C.空集和全集是开集D.任意多个开集的交集是开集3.设\(X\)是拓扑空间，\(A\subseteqX\)，则\(A\)的内部\(A^{\circ}\)是（）A.包含于\(A\)的最大开集B.包含\(A\)的最小开集C.包含于\(A\)的最大闭集D.包含\(A\)的最小闭集4.若\(X\)是离散拓扑空间，\(A\)是\(X\)的任意非空子集，则\(A\)的边界\(\partialA\)是（）A.\(A\)B.\(\varnothing\)C.\(XA\)D.\(X\)5.设\(f:X\rightarrowY\)是拓扑空间\(X\)到\(Y\)的映射，若对于\(Y\)中的任意开集\(V\)，\(f^{-1}(V)\)是\(X\)中的开集，则称\(f\)是（）A.连续映射B.同胚映射C.开映射D.闭映射二、填空题（每题3分，共15分）1.设\(X=\{1,2,3\}\)，\(\tau=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\}\)，则集合\(A=\{2,3\}\)的闭包\(\overline{A}=\)______。2.拓扑空间\(X\)中，若点\(x\)的任意两个邻域\(U\)和\(V\)，都有\(U\capV\neq\varnothing\)，则称\(x\)为______点。3.设\(X\)是拓扑空间，\(A\subseteqX\)，\(x\inX\)，若\(x\)的任意邻域\(U\)都包含\(A\{x\}\)中的点，则称\(x\)是\(A\)的______点。4.若拓扑空间\(X\)中存在一个可数的基，则称\(X\)满足______公理。5.设\(X\)和\(Y\)是拓扑空间，\(f:X\rightarrowY\)是一一对应且\(f\)和\(f^{-1}\)都是连续映射，则称\(f\)是______。三、判断题（每题3分，共15分）1.拓扑空间中，集合的内部和闭包一定是不相交的。（）2.若\(f:X\rightarrowY\)是连续映射，\(A\)是\(X\)中的闭集，则\(f(A)\)是\(Y\)中的闭集。（）3.离散拓扑空间中的任意子集既是开集又是闭集。（）4.平庸拓扑空间中，除了空集和全集外，没有其他的开集。（）5.若\(A\)是拓扑空间\(X\)中的稠密子集，则\(\overline{A}=X\)。（）四、简答题（每题10分，共30分）1.简述拓扑空间的定义，并给出一个具体的拓扑空间的例子。2.解释拓扑空间中集合的聚点、内点和边界点的概念，并说明它们之间的关系。3.说明连续映射的等价定义（至少给出两种）。五、证明题（每题12.5分，共25分）1.证明：在拓扑空间\(X\)中，对于任意集合\(A\subseteqX\)，有\(\overline{A}=A\cupA'\)，其中\(A'\)是\(A\)的导集。2.证明：若\(f:X\rightarrowY\)是连续映射，\(X\)是紧致空间，则\(f(X)\)是\(Y\)中的紧致子集。答案一、选择题1.C。点\(b\)的邻域系是包含\(b\)的所有开集构成的集合，即\(\{U\in\tau|b\inU\}\)。2.D。任意多个开集的交集不一定是开集，有限个开集的交集才是开集。3.A。集合\(A\)的内部是包含于\(A\)的最大开集。4.B。在离散拓扑空间中，任意子集都是开集也是闭集，所以非空子集\(A\)的边界\(\partialA=\varnothing\)。5.A。根据连续映射的定义，对于\(Y\)中的任意开集\(V\)，\(f^{-1}(V)\)是\(X\)中的开集，则\(f\)是连续映射。二、填空题1.\(\{2,3\}\)。因为\(XA=\{1\}\)是开集，所以\(A\)是闭集，闭集的闭包是其本身。2.聚点。这是聚点的一个等价描述。3.聚点。这是聚点的定义。4.第二可数。满足第二可数公理的拓扑空间存在一个可数的基。5.同胚映射。同胚映射要求一一对应且\(f\)和\(f^{-1}\)都连续。三、判断题1.错误。例如在离散拓扑空间中，集合\(A\)的内部和闭包可能相等。2.错误。连续映射不一定把闭集映成闭集，例如常值映射。3.正确。离散拓扑空间中，每个单点集都是开集，任意子集都是若干单点集的并集，所以任意子集既是开集又是闭集。4.正确。平庸拓扑空间的定义就是\(\tau=\{\varnothing,X\}\)。5.正确。稠密子集的定义就是其闭包等于全集。四、简答题1.拓扑空间的定义：设\(X\)是一个非空集合，\(\tau\)是\(X\)的一个子集族，如果满足：（1）\(\varnothing\in\tau\)，\(X\in\tau\)；（2）任意多个\(\tau\)中元素的并集仍属于\(\tau\)；（3）有限个\(\tau\)中元素的交集仍属于\(\tau\)，则称\(\tau\)是\(X\)上的一个拓扑，称偶对\((X,\tau)\)为一个拓扑空间。例子：设\(X=\{a,b\}\)，\(\tau=\{\varnothing,\{a\},X\}\)，则\((X,\tau)\)是一个拓扑空间。2.聚点：设\(X\)是拓扑空间，\(A\subseteqX\)，\(x\inX\)，若\(x\)的任意邻域\(U\)都包含\(A\{x\}\)中的点，则称\(x\)是\(A\)的聚点。内点：设\(X\)是拓扑空间，\(A\subseteqX\)，\(x\inA\)，若存在\(x\)的一个邻域\(U\subseteqA\)，则称\(x\)是\(A\)的内点。边界点：设\(X\)是拓扑空间，\(A\subseteqX\)，\(x\inX\)，若\(x\)的任意邻域\(U\)都既包含\(A\)中的点，又包含\(XA\)中的点，则称\(x\)是\(A\)的边界点。关系：内点一定属于集合\(A\)，聚点不一定属于\(A\)，边界点可能属于\(A\)也可能不属于\(A\)。内点一定不是边界点，边界点如果不属于\(A\)则是聚点。3.连续映射的等价定义：定义1：对于\(Y\)中的任意开集\(V\)，\(f^{-1}(V)\)是\(X\)中的开集。定义2：对于\(Y\)中的任意闭集\(F\)，\(f^{-1}(F)\)是\(X\)中的闭集。定义3：对于\(X\)中的任意点\(x\)和\(f(x)\)在\(Y\)中的任意邻域\(V\)，存在\(x\)在\(X\)中的邻域\(U\)，使得\(f(U)\subseteqV\)。五、证明题1.证明：先证\(\overline{A}\subseteqA\cupA'\)。设\(x\in\overline{A}\)，若\(x\inA\)，则\(x\inA\cupA'\)；若\(x\notinA\)，因为\(x\in\overline{A}\)，所以\(x\)的任意邻域\(U\)与\(A\)的交集非空，又\(x\notinA\)，所以\(U\cap(A\{x\})\neq\varnothing\)，即\(x\inA'\)，从而\(x\inA\cupA'\)。再证\(A\cupA'\subseteq\overline{A}\)。显然\(A\subseteq\overline{A}\)，对于\(x\inA'\)，\(x\)的任意邻域\(U\)与\(A\{x\}\)相交，所以\(U\)与\(A\)相交，即\(x\in\overline{A}\)，所以\(A\cupA'\subseteq\overline{A}\)。综上，\(\overline{A}=A\cupA'\)。2.证明：设\(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\inI}\)是\(f(X)\)的一个开覆盖，即\(f(X)\subseteq\bigcup_{\alpha\inI}V_{\alpha}\)。则\(X\subseteqf^{-1}(\bigcup_{\alpha\inI}V_{\alpha})=\bigcup_{\alpha\inI}f^{-1}(V_{\alpha})\)。因为\(f\)是连续映射，所以\(f^{-1}(V_{\alpha})\)是\(X\)中的开集，\(\{f^{-1}(V_{\alpha})\}_{\alpha\inI}\)是\(X\)的一个开覆盖。又因为\(X\)是紧致空间，所以存在有限个