2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z1−i=−2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

)A.8 B.7 C.5 D.33.已知向量a=(1,−1)，b=(2,m)，若a⊥(a+b)，则向量A.(−255,−4554.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①n//m，n⊂α⇒m//α；②若m，n为异面直线，n⊂α，n//β，m⊂β，m//α⇒α//β；③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；④m//α，n⊂α⇒m//n.其中正确命题的个数有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.下列说法正确的是(

)A.数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5

B.若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a=7

C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

D.若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则−2x1+3，−2x26.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12A.62

B.233

7.在△ABC中，点M，N在边BC上，AM为边BC上中线，AN为∠A平分线，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面积等于A.25 B.235 C.8.如图所示，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D是棱BC上的动点，EA.当D为BC中点时，A，A1，E，D四点共面

B.当D为BC中点时，直线AC1与DE所成角为60°

C.三棱锥D−A1B1C1的体积为定值1

D.9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4且ccosC=2a−bcosBA.C=2π3 B.△ABC的外接圆半径为433

C.若a=2b，则△ABC的面积为8310.设A，B易两个随机事件，且P(A)=12,P(B)=1A.若A，B是互斥事件，则P(AB)=16

B.若B⊆A，则P(A∪B)=56

C.若A，B是相互独立事件，则P(A∪B)=23

D.若11.已知O为坐标原点，点P1(−sinα,−cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(A.|OP1|=|OP2|=|OP3|=1 B.|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，其中i是虚数单位，则a=______13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a−b|≤1”的概率为______．14.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，点P在底面的投影O为△ABC的外心，若AB=4，BC=3，PO=5，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC..

(1)求A；

(2)16.(本小题15分)

今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日.某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养.该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]并作出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中x的值；

(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(3)已知学生成绩落在[70,80)的平均数是77，方差是5；落在[80,90)的平均数是84，方差是5.求这两组数据的总方差．

附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x1−,s117.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3．

(1)求证：PA⊥平面PCD；

(2)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值．18.(本小题17分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinC−ccosB=c．

(1)BD是边AC上的中线，BD=2，且a2+c2=10，求AC的长度．

(2)若△ABC19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面MAC；

(2)求二面角M−AC−D的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，请说明理由．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：复数z满足z1−i=−2+i，

则z=(1−i)(−2+i)=−1+3i，

故z−=−1−3i，

故复数z的共轭复数在复平面内对应的点(−1,−3)位于第三象限．

故选：C．2.【答案】D

【解析】解：设圆台较小底面半径为r，

则另一底面半径为3r．

由S=π(r+3r)⋅7=84π，解得r=3．

故选：D．

设圆台较小底面半径为r，由圆台的侧面积公式可计算出结果．3.【答案】C

【解析】解：因为a⊥(a+b)，所以a⋅(a+b)=(1,−1)⋅(3,m−1)=3−m+1=0，

解得m=4，即b=(2,4)，

所以向量b在a上的投影向量为a⋅b|a4.【答案】B

【解析】解：对于①，由题意m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，n/​/m，n⊂α，可得m/​/α或m⊂α，故①错误；

对于②，因为n⊂α，n/​/β，记n⊂γ，γ∩β=l，

则l/​/n，因为n⊂α，l⊄α，

所以l/​/α，假设m，l不相交，则m/​/l，

则m/​/n，这与m，n为异面直线，故m，l相交，

又m⊂β，m/​/α，

所以α/​/β，故②正确；

对于③，由题意α/​/β，m⊂α，n⊂β，可得m/​/n或m，n异面，故③错误；

对于④，由题意m/​/α，n⊂α，可得m/​/n或m，n异面，故④错误．

所以正确命题的个数有1个．

故选：B．

根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断即可．

本题考查了线、面位置关系以及线、面平行的判定，属于中档题．5.【答案】D

【解析】解：对于A，数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，

5×0.6=3，

∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是12(5+6)=5.5，故A错误；

对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，

∴16(4+6+7+8+9+a)=7，

解得a=8，故B错误；

对于C，用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；

对于D，若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，

则−2x1+3，−2x2+3，−2x3+3，…，−2x10+3的标准差是6.【答案】A

【解析】解：∵△ABC的面积为3，

∴12|AB||AC|sin∠BAC=12|AB||AC|sinπ3=34|AB||AC|=3，

∴|AB||AC|=4，

∴AB⋅AC=|AB||AC|cos∠BAC=4cosπ3=2，

∵AD=27.【答案】D

【解析】解：∵AM为边BC上的中线，∴2AM=AB+AC，

若∠A=π3，

即4|AM|2=|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC，即4×214=c2+b2+2cb×12，

即c2+b2+bc=(b+c)2−bc=21，∴(b+c)2=21+bc．

因为S△ABC=8.【答案】B

【解析】解：作出图形如下：

对A选项，根据题意易得四边形CDEC1为平行四边形，所以CC1//DE，

因为CC1/​/AA1，所以AA1//DE，所以A，A1，E，D四点共面，所以A选项正确；

对B选项，由选项A可知当D为BC中点时，CC1//DE，所以∠AC1C为直线AC1与DE所成角，

在△ACC1中，∠ACC1=90°,AC=2,CC1=3，所以tan∠AC1C=ACCC1=23≠3，

所以∠AC1C≠60°，所以直线AC1与DE所成角不为60°，所以B选项错误；

对C选项，因为BC/​/B1C1，BC⊄平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以BC‖平面A1B1C9.【答案】BC

【解析】解：A：由题意可得ccosB=2acosC−bcosC，

所以sinCcosB=2sinAcosC−sinBcosC，

可得sin(C+B)=sinA=2sinAcosC，

因为sinA≠0，

可得cosC=12，易得C=π3，A错误；

B：由正弦定理可得2R=csinC=833，则△ABC的外接圆半径为433，B正确；

C：若a=2b，由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，代入c=4，a=2b，cosC=12，

可得16=(2b)2+b2−2⋅2b⋅b⋅12=3b2，解得b=433，可得a=833，

可得三角形面积S=12absinC=110.【答案】CD

【解析】解：若A，B是互斥事件，不可能同时发生，P(AB)=0，故A错误；

若B⊆A，则A∪B=A，则P(A∪B)=P(A)=12，故B错误；

若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=12×13=16，

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=12+13−16=23，故C正确；

由A=(AB)∪(AB−)，且事件AB,AB−互斥，则P(A)=P(AB)+P(AB−)，

若P(AB−)=11.【答案】ACD

【解析】解：选项A，已知O(0,0)，P1(−sinα,−cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(sin(α+β),cos(α+β))，

所以OP1=(−sinα,−cosα)，OP2=(sinβ,cosβ)，OP3=(sin(α+β),cos(α+β))，

则|OP1|=(−sinα)2+(−cosα)2=1，|OP2|=sin2β+cos2β=1，

|OP3|=sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，

所以|OP1|=|OP2|=|OP3|，故A正确．

选项B，由P1P2=1(sinβ+sinα,cosβ+cosα)，

可得|P1P2|2=(sinβ+sinα)2+(cosβ+cosα)2

=sin2β+sin2α+2sinβsinα+cos12.【答案】23【解析】解：依题意，z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2−3a)+(2a+3)i为纯虚数，

所以2−3a=02a+3≠0，解得a=23．

故答案为：23．

根据z(2+3i)为纯虚数列方程来求得13.【答案】49【解析】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，

基本事件总数n=6×6=36，

事件“|a−b|≤1”包含的基本事件(a,b)有15个，分别为：

(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，

则事件“|a−b|≤1”的概率为P=1636=49．

故答案为：49．

基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出事件“|a−b|≤1”包含的基本事件(a,b)有14.【答案】62516【解析】解：如图，

因为AB=4，BC=3，AB⊥BC，所以AC=32+42=5，

所以Rt△ABC的外心为斜边AC的中点，且△ABC的外接圆的半径r=12AC=52，

因为PO⊥平面ABC，所以三棱锥P−ABC外接球的球心在PO上，

设球心为G，外接球的半径为R，连接AG，则PG=GA=R，

所以(5−R)2+(52)2=R2，解得R=258，

所以三棱锥P−ABC的外接球的表面积S=4πR2=4π×(2515.【答案】解：(1)∵sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

∴由正弦定理可得：a2=b2+c2+bc．

∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，

∵A∈(0,π)【解析】(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A=16.【答案】0.015；

76.25，75；

17．

【解析】(1)根据频率分布直方图，有10(x+0.01+0.04+2x+0.005)=1，

解得x=0.015；

(2)因为0.15+0.1=0.25<0.5，0.15+0.1+0.4=0.65>0.5，

所以中位数在[70,80)内，

可得中位数为70+10×0.50−0.250.40=76.25，

学生成绩的平均数为0.15×55+0.10×65+0.40×75+0.30×85+0.05×95=75；

(3)这两组数据的平均数为0.400.40+0.30×77+0.300.40+0.30×84=80，

这两组数据的总方差为

0.400.30+0.40×[5+(77−80)217.【答案】证明过程请见解答；

63【解析】(1)证明：取PC的中点N，连接DN，

因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC，

又平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，

所以DN⊥平面PAC，

因为PA⊂平面PAC，所以DN⊥PA，

又PA⊥CD，DN∩CD=D，DN，CD⊂面PCD，

所以PA⊥平面PCD．

(2)解：连接AN，

由(1)得DN⊥平面PAC，

所以∠NAD即为直线AD与平面PAC所成的角，

因为△PCD是等边三角形，且CD=2，N是PC的中点，

所以DN=3，

在Rt△AND中，AN=AD2−DN2=6，

所以cos∠NAD=ANAD=63，

即直线AD与平面PAC所成角的余弦值为63．

(1)18.【答案】解：(1)因为3bsinC−ccosB=c，由正弦定理得：3sinBsinC−sinCcosB=sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinB−cosB=1，即sin(B−π6)=12，

由B∈(0,π)，

所以B−π6=π6，

解得B=π3；

因为D为BC的中点，BD=2，且a2+c2=10，

则2BD=BA+BC，

两边平方可得4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC=c2+a2+2cacosB，

即4×4=10+ac，【解析】(1)由正弦定理及两角差的正弦公式可得sin(B−π6)=12，再由角B的范围，可得角B的大小；再由BD为中线，由向量的运算性质可得ac的值，再由余弦定理可得AC的值；

(2)由正弦定理可得19.【