2024-2025学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（B卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=xex，则f′(3)=(

)A.3e3 B.4e3 C.2.已知空间中有两个动点A(1−x,2−x,x)，B(3,4−x,x).则|AB|的最小值为(

)A.2 B.4 C.3 D.63.曲线y=x−1x+1在点(0,−1)处的切线斜率为(

)A.2 B.1 C.12 D.4.已知点A(2,1,1)在平面α内，点B(9,8,5)在平面α外，且平面α的一个法向量为a=(1,1,1)，则点B到平面α的距离为(

)A.63 B.62 C.5.在空间直角坐标系O−xyz中，OA=(−1,2,1)，OB=(1,1,2)，OP=(2,1,1)，点Q在直线OP上运动，则QA⋅A.−32 B.−23 C.6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占80%，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占60%，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为(

)A.22.5% B.30% C.40% D.75%7.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA.24 B.C.62 8.在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC内一点，且9PM=8PA+tPBA.12 B.1 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则(

)A.小王和小张都中奖的概率为0.08

B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46

C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.9210.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f′(x)的图象如图，则以下结论正确的有(

)A.函数f(x)在区间(2,4)上单调递减 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减

C.当x=−12时，函数f′(x)有极大值 D.当x=−2时，函数11.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=12m，DA=12m，CB=12m.又测得AB的长为10m，CD的长为105m，则A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为−13

B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为−718

C.直线CD与水库底面所成角的正弦值为5515

三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知向量a=(1,2,5)，b=(2,x,−1)，且a⋅b=213.已知函数f(x)=2x2+lnx−ax在区间(0,2]上单调递增，则实数a14.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.曲线y=e2x−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax2−2x−lnx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求a；

(2)16.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=BD=AA1=2．

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2x3−ax2+b．

(1)当a=3时，求f(x)的极值；

(2)若a>0，求f(x)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AB，PC⊥CD，BC//AD，∠BAD=2π3，PA=AB=BC=12AD，PD=3PM．

(1)证明：CD⊥PA．

(2)证明：PB//平面MAC．19.(本小题17分)

帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+⋯+bnxn且满足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．

注：f″(x)=[f′(x)]′，f′″(x)=[f″(x)]′，f(4)(x)=[f′″(x)]′，f(5)(x)=[f(4)(x)]′，…．

已知函数f(x)=ln(x+1)答案解析1.【答案】B

【解析】解：函数f(x)=xex，

则f′(x)=(x)′ex+x(ex)′=(1+x)ex，

故2.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，AB=(3,4−x,x)−(1−x,2−x,x)=(2+x,2,0)，

所以|AB|=(2+x)2+4≥2，当且仅当x=−2时取等号．

3.【答案】A

【解析】解：因为y=x−1x+1，所以y′=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2，

所以当x=04.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，点B到平面α的距离为|AB⋅α||α|=1835.【答案】C

【解析】解：由于空间直角坐标系O−xyz中，OA=(−1,2,1)，OB=(1,1,2)，OP=(2,1,1)，点Q在直线OP上运动，

故点Q、O、P三点共线，所以OQ=(2t,t,t)，

所以QA=(−1−2t,2−t,1−t)，QB=(1−2t,1−t,2−t)，

故QA⋅QB=6t2−6t+3=6(t−12)2+326.【答案】D

【解析】解：记事件A=“抽到的学生喜欢科幻小说”，B=“抽到的学生喜欢推理小说”，

则P(A)=80%=0.80，P(AB)=60%=0.60，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.600.80=0.75=75%．

故选：D．

记事件A=“抽到的学生喜欢科幻小说”，7.【答案】A

【解析】解：取BC的中点F，连接AF，由题意得AF⊥BC且AF⊥AD，

BF=1,AF=3，以A为坐标原点，AF,AD,AA1为正交基底，建立如图所求空间直角坐标系，

可得A(0,0,0)，B(3,−1,0),B1(32,−12,1),C(3,1,0)，

因为BB1=(−32,12,1),AC8.【答案】B

【解析】解：根据题意可知，在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC内一点，

根据空间向量线性运算法则可知，9PM=8PA+tPB+5MC=8PA+tPB+5(PC−PM)，

所以14PM=8PA+tPB+5PC，即PM9.【答案】ACD

【解析】解：A：由题意知：小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08，故A正确；

B：小王和小张都没有中奖的概率为(1−0.2)×(1−0.4)=0.48，故B错误；

C：小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1−0.2)+(1−0.4)×0.2=0.44，故C正确；

D：小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1−0.08=0.92，故D正确．

故选：ACD．

根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解．

本题考查了互斥事件的概率公式的应用，属于基础题．10.【答案】ACD

【解析】解：由函数f′(x)的图象可知，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在区间(2,4)上单调递减，故A正确；

当x∈(1,2)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，

当x∈(2,3)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(2,3)上单调递减，故B错误；

当x∈(−3,−12)时，f′(x)单调递增，当x∈(−12,3)时，f′(x)单调递减，

所以函数f′(x)在x=−12处有极大值，故C正确；

f′(−2)=0.当x∈(−3,−2)时，f′(x)<0.所以函数f(x)在区间(−3,−2)上单调递减，

当x∈(−2,−1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(−2,−1)上单调递增，

所以函数f(x)在x=−2处有极小值，故D正确．11.【答案】BC

【解析】解：如图，作BE//AD且BE=AD，连接DE，又AD⊥AB，则ABED是矩形，

BE⊥AB，又BC⊥AB，

所以∠CBE是所求二面角的平面角．

因为DE/​/AB，AB⊥BC，则DE⊥BC，又DE⊥BE，BC∩BE=B，BC，BE⊂平面BCE，

所以DE⊥平面BCE，而CE⊂平面BCE，

所以DE⊥CE，

因为DE=AB=10，所以CE=DC2−DE2=(105)2−102=20，

BE=AD=12，BC=12，

所以cos∠CBE=BC2+BE2−EC22⋅BC⋅BE=−718，故A错误，B正确，

因为△CBE为等腰三角形，

所以面积为S△CBE=12CE⋅BC2−(12CE12.【答案】52【解析】解：因为向量a=(1,2,5)，b=(2,x,−1)，

则a⋅b=2+2x−5=2，

解得x=52．

13.【答案】(−∞,4]

【解析】解：因为函数f(x)=2x2+lnx−ax在区间(0,2]上单调递增，

所以f′(x)=4x+1x−a⩾0在(0,2]上恒成立，即a⩽1x+4x在(0,2]上恒成立，

因为函数y=1x+4x⩾21x⋅4x=4,x∈(0,2],

当且仅当1x=4x，即x=12时，等号成立，

所以a⩽4，即实数a14.【答案】2

4【解析】解：因为y=e2x−x，所以y′=2e2x−1，y″=4e2x，

所以曲线y=e2x−x在点(0,f(0))处的曲率为K=|f″(0)|(1+(f′(0))2)32=4(1+12)32=422=2；

由y=lnx，可得x>0，且y′=1x,y″=−1x2，

故K=|−1x2|(1+(1x)2)32=15.【答案】a=32；

单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)，极小值−【解析】解：(1)f′(x)=2ax−2−1x，

因为函数f(x)=ax2−2x−lnx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，

则f′(1)=2a−3=0，解得a=32．

(2)将a=32代入得f(x)=32x2−2x−lnx，定义域为(0,+∞)．

求导得f′(x)=3x−2−1，令f′(x)=3x−2−1x=0⟹3x2−2x−1=0，解得x=1(舍去负根)．

当x∈(0,1)时，16.【答案】解：(1)连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，

由AB=AD=BD=2，知△ABD为等边三角形，

因为O为BD的中点，所以AC⊥BD，且AO=3，OB=OD=1，

又AO=OC，A1O1=O1C1，所以OO1//AA1，

因为AA1⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，D1(0,−1,2)，B1(0,1,2)，

(1)OA=(3,0,0)，OD1=(0,−1,2)，BD1=(0,−2,2)，

设平面ACD1的法向量为m【解析】(1)先说明OA，OB，OO1两两垂直，再以O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角即可；

(2)利用向量法求点到平面的距离即可．17.【答案】极大值f

=b，极小值f

=b−1；

0<a<3时，最小值为f(a3)=−a327+b；【解析】解：(1)当a=3时，函数f(x)=2x3−3x2+b的定义域为R，且导函数f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，

因此当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<0或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

因此函数f(x)在x=0处取得极大值f(0)=b，在x=1处取得极小值f(1)=b−1．

(2)根据题意，导函数f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，

令f′(x)=0，解得x=0或x=a3．

由于a>0，因此当x<0或x>a3时，导函数f′(x)>0；

当0<x<a3时，导函数f′(x)<0，f(x)单调递减．

因此当0<a3<1即0<a<3时，f(x)在(0,a3)上单调递减，在(a3,1)上单调递增，

那么函数f(x)在区间[−2,−1]，[0,1]的最小值为f(a3)=−a327+b．

当a3≥1即a≥3时，函数f(x)在[−2,−1]，[0,1]上单调递减，

那么函数f(x)在区间[−2,−1]18.【答案】证明见解析；

证明见解析；

77【解析】(1)证明：由BC//AD,∠BAD=2π3，

得∠ABC=π3，又AB=BC，

则△ABC是正三角形，

即∠CAD=π3，

在△ACD中，AD=2AC，CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcosπ3=3AC2，

即AC2+CD2=AD2，于是AC⊥CD，

又PC⊥CD，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，

则CD⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，

所以CD⊥PA．

(2)证明：连接BD∩AC=N，连接MN，由BC/​/AD，

得BNDN=BCAD=12，

由=12AD,PD=3PM，

得PMDM=12=BNDN，

于是MN/​/PB，而MN⊂平面MAC，PB⊄平