2024-2025学年甘肃省天水市秦安一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省天水市秦安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=1−i1+i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为(

)A.1 B.i C.−1 D.−i2.在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成(“”为阳爻，“”为阴爻).从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是(

)

A.12 B.38 C.143.已知向量a=(1,0),b=(−1,−3)，若(ka+A.−10 B.−2 C.2 D.104.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四边形ABCD的周长为4+22+235.掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则(

)A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥

C.P(A)=P(B) D.A=B6.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于(

)A.33 B.2393 7.一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(

)A.64π B.56π C.48π D.52π8.已知0<α<π，cosα2=5A.210 B.25 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是(

)A.若a⊥α，b⊥α，则a//b B.若a//α，b//α，则a//b

C.若a⊥α，a⊥β，则α//β D.若b//α，b//β，则α//β10.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是(

)A.目标恰好被命中一次的概率为12+13 B.目标恰好被命中两次的概率为12×1311.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不A.CM与PN是异面直线

B.存在P点使得PN//平面CC1D1D

C.平面PAN⊥平面BDD1B1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某种开关在电路中闭合的概率为p，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为827，则p=______．13.已知单位向量a,b满足a⋅b=0，若向量c=14.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则此球的表面积等于______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E为PD的中点，F为BC的中点．

(1)证明：EF//平面PAB；

(2)求异面直线EF与PC所成角的余弦值．16.(本小题12分)

同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y．

(1)写出这个试验的样本点；

(2)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？

(3)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？17.(本小题12分)

一副三角板如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A−BC−D为直二面角，BC=23．

(1)求证：CD⊥平面ABC；

(2)求点B到平面ACD的距离．18.(本小题12分)

已知f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12．

(1)求φ的值；

(2)设g(x)=f(x)+f(x−19.(本小题12分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，

因此可得复数z的虚部为−1．

故选：2.【答案】B

【解析】解：根据题意，从八卦中随机抽取一卦，有8种情况，

其中抽到恰好含有两个阳爻的情况有3种，

所以要求概率P=38．

故选：B．

根据古典概率的公式计算即可．3.【答案】D

【解析】解：向量a=(1,0),b=(−1,−3)，

则ka+b=(k−1,−3)，

因为(ka+b)⊥b，所以4.【答案】D

【解析】解：如图过D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，

即A′D′=2A′E=12×(4−2)×2=2，即B错误；

还原平面图为下图，

即AB=4=2CD,AD=22，即A错误；

过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23，

故四边形ABCD的周长为：4+2+22+23=6+25.【答案】C

【解析】解：记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”，

因为事件A，B可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，不是对立事件．

因为事件A，B包含的基本事件不一样，所以事件A，B不相等．

因为P(A)=36=12，P(B)=36=12，所以P(A)=P(B)．

故选：C．

根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断6.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为3，

则12bcsinA=3，

即c=4，

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA可得：a2=13，

即a=7.【答案】D

【解析】解：由题意圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，

可得圆台的高为ℎ=52−(5−2)2=4，

∴圆台的体积V=138.【答案】D

【解析】解：因为0<α<π，cosα2=55，

所以0<α2<π2，所以sinα2=1−cos2(α2)=25>22=sinπ9.【答案】AC

【解析】解：若a⊥α，b⊥α，则a/​/b，故A正确；

若a/​/α，b/​/α，则a与b可能平行，也可能相交或异面，故B错误；

若a⊥α，a⊥β，由线面垂直的位置关系得α/​/β，故C正确；

若b/​/α，b/​/β，则α，β可能平行，也可能相交，故D错误，

故选：AC．

根据线线，线面，面面的位置关系逐选项判断即可

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．10.【答案】BD

【解析】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，

在A中，目标恰好被命中一次的概率为P=12×(1−13)+(1−12)×13，故A错误；

在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：

目标恰好被命中两次的概率为12×13，故B正确；

在C中，目标被命中的概率为P=1−(1−12)(1−13)，故11.【答案】BCD

【解析】解：对于A，因为C，N，A共线，又CN，PM交于点A，即P，M，N，C共面，因此CM与PN共面，故选项A不正确；

对于B，当P为A1D1的中点时，PN/​/平面CC1D1D，故选项B正确；

对于C，∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD⋂BB1=B，BD，BB1⊂平面BDD1B1，

∴AN⊥平面BDD1B1，AN⊂平面PAN，

∴平面PAN⊥平面BDD1B1，故选项C正确；

对于D，过P，A，C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q，则AC/​/PQ，且PQ<AC，因此一定是等腰梯形，故选项D正确．

故选：BCD．

利用平面公理得到P，12.【答案】13【解析】解：根据题意，若该电路不通电，则三只开关均未闭合，

则有(1−p)3=827，解得：p=13．

13.【答案】7【解析】解：由题意，|a|=|b|=1，a⋅b=0，

由向量c=7a+2b，

可得a⋅14.【答案】πa【解析】解：设题中正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，使AC、BD位于上、下底面的异面的面对角线处，

如图所示．可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切，

设该正方体的棱长为x，

∵正四面体的棱长为a，∴2x=a，解得x=22a，

可得正方体的内接球直径2r=22a，得r=24a，

因此正方体的内接球表面积S=4πr215.【答案】证明见解析；

155【解析】(1)证明：如图，

取PA中点G，连接EG、BG，

因E为PD中点，G为PA中点，故EG为△PAD中位线，得EG/​/AD且EG=12AD，

又底面ABCD是正方形，F为BC中点，故BF/​/AD且BF=12AD，

所以EG/​/BF且EG=BF，所以四边形EGBF为平行四边形，故EF//BG，

又BG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，故EF/​/平面PAB；

(2)如图，

取CD的中点Q，连接EQ，EQ为△PDC的中位线，所以EQ//PC，EQ=12PC，

故∠QEF(或其补角)为异面直线EF与PC所成角，

在正方形ABCD中，AB=AD=2，PA=2且PA⊥底面ABCD，故△PAC、△PAB为直角三角形，

PC为Rt△PAC的斜边，AC=AB2+AD2=22，

故PC=PA2+AC2=23，所以EQ=3，

G为PA中点，得PG=AG=1,BG=AB2+AG2=22+12=516.【答案】答案见解析；

答案见解析；

答案见解析．

【解析】(1)这个试验的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(2)“x+y=5”包含的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．

(3)“xy=4”包含的样本点有(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x=y”包含的样本点有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

用列举法求解(1)(2)(3)．

本题考查样本空间、样本点的求法，考查样本空间、样本点的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】证明见解析；

6．【解析】(1)证明：由题意可得平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD=BC，又∵在△BCD中，∠BCD=90°，∴BC⊥CD，

又CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABC．

(2)解：如图，记点B到平面ACD的距离为ℎ，取BC的中点为P，连接AP，

∵AB=AC，∴AP⊥BC.同(1)可得AP⊥平面BCD，

由(1)CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC得，CD⊥AC，即△ACD为直角三角形．

又∵△ABC和△BCD是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∠CBD=30°,BC=23，则AB=AC=6，CD=33BC=2,BD=2CD=4，AP=12BC=3．

∴S△BCD=12BC⋅CD=12×23×2=23,S△ACD=12AC⋅CD=12×618.【答案】π3；

值域：[−3,3【解析】f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12，

(1)由已知得f(0)=cosφ=12，结合0≤φ<π，

所以φ=π3；

(2)由(1)知：f(x)=cos(2x+π3)，所以f(x−π6)=cos2x，

所以g(x)=

f(x)+f(x−π6)=cos2xcosπ3−sin2xsinπ3+cos2x

=32cos2x−32sin2x=3[cos2xcosπ6−sin2xsinπ6]

=3cos(2x+π6)，19.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM/​/CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则B(0,−1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

设A(0,0,t)(t>0)，则E(0,13,2t3)，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，则y=−1，z=2t，故n=(3,−1,2t)，

因为二面角E−BC−D的大小为45°，

所以|cos<n,OA>|=|n⋅OA||n||OA|=2t4+4t2=22，

解得t=1，所以OA=1，

又S△OCD=12×1×1×32=34，所以S△BCD=32，

故VA−