结构稳定理论（第2版）课件 第3、4章 轴心受压杆件的整体稳定、杆件的扭转和梁的弯扭屈曲

结构稳定理论授课教师|XXX授课内容23.1引言3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.3格构式轴心受压杆件的稳定第3章轴心受压杆件的整体稳定3.1引言3无缺陷轴心受压杆件的整体失稳形式：弯曲失稳：杆件某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力

双轴对称截面绕对称轴、单轴对称截面绕非对称轴的失稳扭转失稳：抗扭刚度较差杆件绕纵轴的扭转变形迅速增大而丧失承载力

十字形截面、Z型截面弯扭失稳：截面形心与剪心不重合，杆件发生弯曲的同时伴有扭转

单轴对称截面绕对称轴的失稳，无对称轴截面

3.1引言4弯曲失稳扭转失稳弯扭失稳整体失稳的形式主要取决于：截面的形状、几何尺寸、杆件长度和杆端的连接条件等因素3.2轴心受压杆件的弯曲失稳53.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载任意杆端边界条件轴心受压杆件

采用静力法：在中性平衡状态下，取隔离体，在x截面处建立弯矩平衡方程为：引入符号对式（3.1）求导两次消除非齐次项得：(3.1)(3.2)式(3.2)适用于各种杆端支承条件的理想轴心压杆，故称之为轴心压杆稳定问题的普遍微分方程。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳63.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载式(3.2)通解为:通解包含了4个任意积分常数，可由压杆两端支承条件确定，例如：(3.3)和简支端：和固定端：和自由端：根据压杆两端的四个边界条件，代入通解可得到四个线性齐次方程式：(3.2)3.2轴心受压杆件的弯曲失稳73.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载系数A~D不同时为零（非零解）的条件：

=0为稳定特征方程或简称稳定方程，得到一个只包含参数α的超越方程式，有无数个根，取最小根α。由α2=F/EI，即可求出临界荷载Fcr。将最小根α代入通解，确定了杆件的挠曲曲线。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳83.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载【例3.1】以一端固定一端铰接的轴心压杆来说明稳定准则的应用。边界条件：下端（固定）：和当

时，上端（简支）：和当

时，将以上边界条件代入通解，可得到四个线性齐次方程式：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳93.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载系数A~D不同时为零（非零解）的条件是：展开上式，得到关于α

的超越方程：此超越方程的最小根为：临界力（荷载）为：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳103.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载临界应力为：杆件的长细比杆件的计算长度计算长度系数杆件挠曲曲线上两反弯点的间距。计算长度几何意义：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳113.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载轴心受压构件的计算长度3.2轴心受压杆件的弯曲失稳123.2.2弹塑性弯曲失稳欧拉（Euler）公式的使用范围：适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例极限，即此时，长细比但是，当长细比时，，材料进入非线性阶段稳定问题变得复杂考虑双重非线性3.2轴心受压杆件的弯曲失稳133.2.2弹塑性弯曲失稳

1889年恩格塞尔（Engesser），用应力～应变曲线的切线模量代替欧拉(Euler)公式中的弹性模量E：相应的切线模量临界应力为：即为切线模量理论。与欧拉公式应用方面的区别为：

采用欧拉(Euler)公式可直接由长细比λ

求得临界应力σcr，但切线模量公式则不能，因为切线模量Et与临界应力σcr互为函数。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳143.2.2弹塑性弯曲失稳如何应用第二步：由σ~ε

曲线得到σ~Et曲线。如图（b）第三步：先给定一个σcra，由σ~Et曲线得到Et，由切线模量公式求出长细比λ，得到σcr~

λ

曲线。第一步：通过短柱试验先测得钢材的平均关系曲线σ~ε，如图（a）柱子曲线切线模量理论经典弹塑性屈曲理论除切线模量理论外，还有和3.2轴心受压杆件的弯曲失稳153.2.2弹塑性弯曲失稳Engesser双模量理论Karman双模量理论Shanley理论：切线模量应力是轴心受压杆件弹塑性屈曲应力的下限，双模量应力是其上限，切线模量理论更有实用价值。事实证明：双模量理论计算结果比试验值偏高，而切线模量理论计算结果却与试验值更为接近。引入，得到：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳163.2.3初弯曲(初挠度)的影响设杆件初弯曲形状为半波正弦曲线：微弯状态下的平衡方程为：有初弯曲的轴心受压杆件3.2轴心受压杆件的弯曲失稳173.2.3初弯曲(初挠度)的影响微分方程通解为：代入边界条件：得到附加挠度：总挠度：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳183.2.3初弯曲(初挠度)的影响挠度放大系数可以看出：

1.一开始加载，杆件就出现弯曲；

2.当荷载F接近欧拉荷载FE时，挠度增加很快，最后趋于无穷大；

3.初弯曲越大，中点挠度越大，挠度与初弯曲值a成正比

4.杆件的初弯曲会降低轴心受压杆件的承载力。

5.考虑材料非线性的影响，出现上图虚线所示的极值点失稳现象。有初弯曲轴心受压杆件的荷载-总挠度曲线跨中挠度:3.2轴心受压杆件的弯曲失稳193.2.4初偏心的影响微弯状态下的平衡方程为：引入，得到：方程的解：由边界条件：有初偏心的轴心受压杆件3.2轴心受压杆件的弯曲失稳203.2.4初偏心的影响方程的解为：跨中挠度：令，由，，得到3.2轴心受压杆件的弯曲失稳213.2.4初偏心的影响初偏心距为e

的杆件可以等效成初弯曲为

的杆件来研究。有初偏心受压杆件的荷载-挠度曲线由此可见：1.初偏心的影响与初弯曲的影响相似，可以只考虑其中一个缺陷来模拟两种缺陷。2.无论是初弯曲或初偏心受压杆件，当荷载F接近欧拉荷载FE时，中点挠度趋于无穷。3.考虑材料非线性的影响，出现极值点失稳现象，稳定承载力低。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳223.2.5残余应力的影响概念：钢结构杆件制作时，由于钢材热轧、板边火焰切割、杆件焊接和校正调直等加工制造过程中不均匀的加热和冷却会产生残余应力。特点：1.截面的残余应力为一种自相平衡的应力。2.对结构静力强度影响不大，但对结构的刚度和压杆

的稳定性能有不利影响。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳233.2.5残余应力的影响残余应力分布应力变化应力～应变曲线

残余应力的存在，降低了杆件的比例极限

fp=fy-σr，超过比例极限之后，应力应变曲线呈现非线性。残余应力对短柱应力～应变曲线的影响3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.5残余应力的影响残余应力对杆件稳定承载力的影响

若杆件进入弹塑性阶段，截面出现部分塑性区和部分弹性区。已屈服的塑性区，弹性模量E=0，不能继续有效地承载。弹性阶段:采用欧拉(Euler)公式计算其临界力。弹塑性阶段:按弹性区截面的有效截面惯性矩Ie来计算其临界力，即相应临界应力为:3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.5残余应力的影响残余应力对杆件稳定承载力的影响换算切线模量

Ie/I取决于杆件截面形状尺寸、残余应力的分布和大小，以及杆件屈曲时的弯曲方向。总结：

考虑残余应力影响时，弹塑性屈曲的临界应力为弹性欧拉(Euler)临界应力乘以小于1的折减系数Ie/I。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳263.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定以一端固定、一端弹性水平支承的压杆为例：微弯状态下的平衡方程为：一端固定、一端弹性水平支承压杆引入，得到通解：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定代入边界条件：得到该压杆的临界荷载：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定一端自由、一端弹性转动支承压杆微弯状态下的平衡方程为：边界条件：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定一端铰支、一端弹性转动支承压杆微弯状态下的平衡方程为：边界条件：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳303.2.7变截面轴心压杆的稳定分上下部建立平衡方程：一级台阶悬臂轴心压杆通解为：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳313.2.7变截面轴心压杆的稳定代入边界条件及连续性条件：令可得：当给定l1/l2,I2/I1

各比值时，即可求得临界荷载。3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.1剪切变形对临界力的影响右图所示压杆，小变形下，根据叠加原理，有：引入变形曲率、附加转角，得到:剪切变形对轴心受压杆件临界力的影响引入M=Fy得到:3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.1剪切变形对临界力的影响令得到:解得临界荷载:边界条件:对于实腹式轴心受压杆件，k/GA很小，在计算其稳定性时，可以忽略剪切变形的影响。3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.2缀条式轴心受压杆件的临界荷载双肢缀条式轴心受压杆件格构缀条柱计算长度系数为式中：——整个杆件对虚轴的长细比——两斜缀条横截面面积之和——两横缀条横截面面积之和3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.2缀条式轴心受压杆件的临界荷载

横缀条对临界荷载的影响小于斜缀条，长度计算系数简化为：通常取倾角为45°，则换算长细比为：总结：剪切变形使得临界荷载降低3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.3缀板式轴心受压杆件的临界荷载双肢缀条式轴心受压杆件格构缀柱计算长度系数为式中：——整个杆件对虚轴的长细比——单个分肢节间段的长细比——缀板惯性矩3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.3缀板式轴心受压杆件的临界荷载一般情况下，缀板刚度大，如在常用范围时，可近似取1，则：总结：格构式轴心受压杆件临界荷载的计算与实腹式相同。

感谢倾听THANKYOUFORYOURLISTENING结构稳定理论授课教师|XXX授课内容404.1引言4.2自由扭转4.3约束扭转4.4梁的弯扭屈曲4.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载第4章

杆件的扭转与梁的弯扭屈曲4.1引

言

受弯构件通常称为梁，在土木工程中应用很广泛，例如房屋建筑中的楼盖梁、工作平台、吊车梁、屋面檩条和墙架横梁，以及桥梁、水工闸门、起重机、海上采油平台中的梁等。受弯构件在荷载作用下的工作大体经历两个阶段：

（1）仅平面弯曲变形

（2）同时出现侧向弯曲和扭转梁的弯扭屈曲首先介绍薄壁杆件的扭转理论。414.2自由扭转截面的剪切中心钢构件的截面(如工字形、槽形)，其组成板件较薄(宽厚比一般大于10)，属薄壁构件，薄壁截面剪应力的计算宜用剪力流理论。

剪力流理论

(1)

分布：剪应力沿板件厚度均匀分布(2)

方向：与各板件平行

工字形截面槽形截面当外荷载引起的截面剪力通过某一确定点时，构件仅发生弯曲而不引起扭转，则该点称为剪力中心（弯曲中心）。424.2自由扭转腹板中竖向剪应力的合力必然等于外剪力翼缘中剪应力的合力H形成偶力V—计算截面一个主轴方向的剪力；S—计算翼缘剪应力时为计算处以外，计算腹板剪应力时则为计算处以上毛截面对中和轴的面积矩；Ix—毛截面惯性矩；t—计算剪应力处的板件厚度。434.2自由扭转剪切中心特点：其位置取决于截面的形状与尺寸，与荷载无关。构件的横向荷载通过剪心时，不发生扭转变形。双轴对称截面：剪心

S与形心

C

重合。单轴对称截面：剪心

S在对称轴上，但不与形心重合。（对于两块狭长矩形板组成的截面，剪心

S在两块板厚度中线上的交点）(1)杆件受扭时，绕着剪心S发生扭转变形(2)

杆件发生弯曲时，剪力不通过截面剪心，弯曲时将伴随扭转444.2自由扭转翘曲非圆形截面的杆件扭转时，截面除绕杆件轴线转动外，截面上各点还会发生不同的轴向位移而使截面出现凹凸，不像圆截面杆件那样扭转后还保持平面。(a)无翘曲，截面保持平面(b)有翘曲，截面不保持平面荷载作用线未通过剪切中心产生的扭转有两种形式：自由扭转和约束扭转。454.2自由扭转自由扭转

横截面上各点的轴向位移不受任何约束，截面可以自由翘曲，又叫做圣维南扭转。（1）截面翘曲相同、没有正应力。截面将发生翘曲，但不同横截面上相应点的轴向位移相同，即每个纵向纤维的长度保持不变，也就是说各个横截面的翘曲变形完全相同。因此，自由扭转时，每个纵向纤维不产生轴向应变，杆件横截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。（2）自由扭转时，杆件的所有纵向纤维不发生弯曲而保持直线，因此杆件不发生弯曲变形。464.2自由扭转工字钢的自由扭转

在扭转过程中，翼缘和腹板上所有纵向纤维均保持直线，扭角为

φ

：对杆件轴线坐标

z

求导数，可得扭率为：自由扭转时的扭矩

Mst与扭率

φ’之间的关系为:G为材料的剪切弹性模量；It为截面的自由扭转惯性矩或扭转常数自由扭转微分方程474.2自由扭转

开口薄壁杆件自由扭转时，截面上的剪应力方向与中心线平行，且沿薄壁厚度

ti

线性分布，在中心线上剪应力为零，截面周边边缘处为最大，剪应力的合成必定是与外扭矩相等的一个扭矩，从而在截面内形成闭合循环的剪力流：自由扭转的截面应力只有剪应力，无翘曲正应力或484.3约束扭转定义

由于杆件的荷载分布情况或约束条件可能使扭转时的翘曲受到约束，即横截面的轴向位移受到约束，这种扭转称为约束扭转。特点（一）沿杆件轴线各个截面的翘曲不相同，杆件的纵向纤维将发生拉伸或压缩变形，各纤维的正应力

σω也不同，发生弯曲变形，因此约束扭转又叫做弯曲扭转。（二）截面上产生翘曲正应力的同时，必然产生与之平衡的剪应力，称为翘曲剪应力。494.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转截面上翘曲剪应力的合力组成的力矩称为翘曲扭矩Mω，由自由扭转产生的剪应力的合力组成自由扭转扭矩Mst

；在约束扭转中，自由扭转扭矩Mst和翘曲扭矩Mω共同与外加扭矩相平衡。自由端有集中扭矩Mz扭角为φ翘曲受到一定限制，上下翼缘将发生相反方向的侧向弯曲504.3约束扭转

约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转自由扭矩Mst翘曲扭矩Mω由于扭角φ很小，故：翼缘的弯曲曲率为：I1为一个翼缘对

y轴的惯性矩，I1=Iy/2514.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转上翼缘向左弯曲，下翼缘向右弯曲，方向相反。因此，翘曲产生的剪力Vf必然大小相等方向相反，这两个剪力形成的力矩就是翘曲力矩

Mω。弯曲产生的剪力Vf为：524.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程翘曲力矩Mω为：Iω为截面的翘曲扭转常数（或称为扇性惯性矩）;EIω为翘曲刚度得约束扭转的平衡微分方程为：534.3约束扭转

约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力总扭矩Mz自由扭转扭矩Mst翘曲扭矩Mω剪应力剪应力τω和正应力σω约束扭转引起的A点的翘曲正应力为：ω=bh/4为扇形坐标544.3约束扭转约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力

翼缘上翘曲产生的剪力为Vf，最大翘曲剪应力发生在

B点，其值为：；Sω为扇形静距554.4梁的弯扭屈曲梁的失稳类型

在最大刚度平面内承受弯曲作用的理想弹性梁，在侧向没有足够的支撑，且侧向刚度很弱，当弯矩达到某一限值

时，梁会突然产生侧向弯曲变形和扭转角，这种现象称为梁的弯扭失稳或弯扭屈曲，属于第一类稳定问题。

但是实际梁在弯曲平面内和平面外都存在几何缺陷或荷载初始偏心，梁一受弯就会产生侧扭变形，实际梁的失稳属于第二类稳定问题，即极值点失稳。而极值点失稳问题极其复杂。梁的弯扭失稳564.4梁的弯扭屈曲理想纯弯简支梁侧扭屈曲临界弯矩计算

假设材料是各向同性的完全弹性体，不考虑梁的初始缺陷和残余应力。

忽略梁在屈曲前的弯曲变形对侧向弯扭的影响。

梁的简支是指梁的两端面可以绕形心主轴

x

轴或

y

轴自由转动，但不能绕z轴扭转。

当达到临界状态时，在梁发生微小侧向弯曲和扭转变形位置建立梁的平衡微分方程。理想简支支座574.4梁的弯扭屈曲双轴对称截面简支梁的弯扭屈曲

工字形截面的弯扭屈曲平衡微分方程为：(1)(2)(3)

对双轴对称截面，截面的形心o与剪力中心s重合，沿坐标轴x、y方向的位移分别为u、v,且位移沿坐标轴正向为正。截面的扭转角为φ,右手螺旋方向旋转为正。584.4梁的弯扭屈曲

式(2)与式(3)都具有两个相同的未知数u和φ，将式(3)对z微分一次，并利用式(2)消去，得到下列只包含扭转角

φ

的侧向弯扭屈曲平衡方程式。令；得：通解为：式中；594.4梁的弯扭屈曲边界条件为：当z=0和z=l时，φ=0（无扭转角）；d2φ/dz2=0（无翘曲）代入A≠0微分方程的解为：代入要使上式在任何z值都成立604.4梁的弯扭屈曲梁整体失稳的临界弯矩为：或写成：

如果梁不是纯弯曲而是受别的荷载作用，如受到集中荷载、均布荷载或两端不等弯矩作用时，梁中弯矩将为z的函数，平衡微分方程也不再是常系数微分方程，则采用能量法和数值分析求解，求解将更复杂。614.4梁的弯扭屈曲临界弯矩通用表达式：

对于纯弯曲梁系数C1=1.00；对于跨中集中荷载作用下的梁C1=1.37；对于在四分点集中荷载作用下的梁C1=1.04；对于均布荷载作用下的梁C1=1.15。梁的整体稳定性的影响因素：三个刚度（抗弯刚度、抗扭刚度、翘曲刚度）梁的跨度l荷载沿梁轴的分布情况荷载沿梁截面高度的作用位置荷载作用位置对梁整体稳定性的影响624.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁

梁的应变能由三部分组成，一部分是侧向弯曲应变能，另两部分分别由自由扭转和翘曲引起。根据材料力学原理，梁的侧向弯曲应变能为：

在梁上沿z向取微段dz，自由扭转时的应变能等于扭矩和扭角变化的乘积的一半，即（1）（2）将

代入（2）得634.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁故整个梁自由扭转的应变能为：

计算翘曲扭矩引起的应变能时，忽略翘曲剪应力所引起的应变能，只考虑翘曲正应力引起的应变能。除此之外，根据普通梁理论，与弯曲应变能比较，假定伴随非均匀弯矩而产生的剪切应变能是可以忽略的，其弯曲应变能就是翘曲引起的应变能，即（3）（4）644.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁

将；；带入（4）式得梁的应变能为弯曲应变能、自由扭转应变能和翘曲应变能之和，即：=（5）（6）65