专题二解三角形的最值与范围问题原卷版

专题二：解三角形的最值与范围问题一.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（3）a∶b∶c＝sin_A∶sinB∶sinC；（4）asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA二.三角形常用面积公式（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高).（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).三.三角形中的三角函数关系（1）sin(A＋B)＝sinC；（2）cos(A＋B)＝－cosC；（5）在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.四.三角形中的最值范围问题处理方法1.利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件.2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边.五.边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考向一：与三角形边长相关的最值与范围问题【典例解读】故选：C.【题后反思】式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，利用正余弦定理得到所求边的表达式，再根据题中条件得到三角函数关系式，利用三角函数的性质求最值和范围.【再练一个】（陕西西安2024模拟预测）考向二：三角形内角的三角函数值的最值与范围问题【典例解读】故答案为：.【题后反思】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、角度、面积有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.【再练一个】（河南周口2024高一联考）考向三：与三角形中的特殊线相关最值范围问题A.B.C.2D.【典例解读】故选：D.【题后反思】利用函数性质解决最值问题，关键在于设出唯一变量，找出函数关系以及自变量的取值范围，利用函数的单调性、对称性求解.【再练一个】（陕西西安2024高一期中）考向四：与三角形的面积有关的最值范围问题【典例解读】【详解】连接，故选：A.【题后反思】三角形常用面积公式（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高).（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).【再练一个】（辽宁省名校联盟2025高三5月联合考试）考向五：与三角形周长有关的最值范围问题【典例解读】【题后反思】三角形的周长等于三边之和.三角形的周长的最值或范围问题一是转化内角的三角函数，利用三角函数的性质求解；二是转化为两边或一边的代数式，用函数的性质或不等式求解.【再练一个】（湖北省鄂南高级中学等三校联考2025高三4月模拟）考向六：复杂边角关系式的最值和范围问题【典例解读】故选：C.【题后反思】复杂边角关系问题要理清边角之间的关系，通过边化角、角化边等手段将变量统一，再利用基本不等式、三角函数、二次函数等求解.【再练一个】（内