数学建模方法 课件 第1章 数学建模简介

第1章数学建模简介章节内容§1.1什么是数学模型§1.2数学建模的步骤§1.3初等模型CHAPTER1数学建模简介章节内容CHAPTER1数学建模简介§1.1什么是数学模型§1.2数学建模的步骤§1.3初等模型1.1什么是数学模型1.1什么是数学模型无处不在的应用：数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对象。数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对象。什么是数学建模1.1什么是数学模型1.1什么是数学模型例解

问每个月末应向银行存款多少元？即每月等额应还银行多少元？

1.1什么是数学模型1.1什么是数学模型例解

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章节内容CHAPTER1数学建模简介§1.1什么是数学模型§1.2数学建模的步骤§1.3初等模型1.2数学建模的步骤1.模型准备1.2数学建模的步骤数学模型就是要用数学去解决实际问题，要完成这一过程，必须要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题。因此如果想对某个实际问题进行数学建模，首先需要了解该问题的实际背景，弄清楚对象的特征，掌握有关的数据，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，确切地了解建立数学模型要达到的目的，这一过程称为模型准备。由于人们所掌握的专业知识往往是有限的，而实际问题又是多样和复杂的，如果模型准备充分，则建立的数学模型可能更符合实际背景。1.2数学建模的步骤2.模型假设1.2数学建模的步骤一个实际问题会涉及很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化，导致建模失败。要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，这一过程称为模型假设。在明确建模目的和掌握相关资料的基础上，去除一些次要因素，以主要矛盾为主来对实际问题进行适当的简化或理想化，可以为数学建模带来方便，使问题得到解决。在整个建模过程中，究竟模型假设到何种程度，要根据经验和具体问题决定。模型假设是可以在模型的不断修改中得到逐步完善的。1.2数学建模的步骤3.模型构成1.2数学建模的步骤有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等），这一过程称为模型构成。模型构成是数学建模中关键的步骤。1.2数学建模的步骤4.模型求解与分析1.2数学建模的步骤建模的目的是解释自然现象、寻找规律，从而解决实际问题，故建立了数学模型之后，可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，还要对获得的结果进行数学上的分析。其中有些可以用计算机软件来完成，这一过程称为模型求解与分析。1.2数学建模的步骤5.模型检验1.2数学建模的步骤把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模型的合理性称为模型检验。模型检验对建模的成败是很重要的，如果检验结果不符合实际，应该修改补充假设或改换其他数学方法重新进行模型构成。通常，一个模型要经过多次反复修改才能得到满意结果。6.

模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考，这一过程称为模型应用。1.2数学建模的步骤模型建模的一般步骤如下：1.2数学建模的步骤

章节内容CHAPTER1数学建模简介§1.1什么是数学模型§1.2数学建模的步骤§1.3初等模型1.3初等模型什么是初等模型？1.3初等模型所谓初等模型是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，单一的。下面给出一些初等建模的例子。1.

动物体型问题问题：某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重。问题分析：该问题可以认为是寻找四足动物躯干的长度（不含头尾）和它的体重之间的关系。可以通过类比的方法，比如把四足动物的躯干抽象为圆柱，利用力学的某些结论，建立动物身长与体重的比例关系。鉴于此有下面的假设。1.3初等模型问题：某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重。

图1.3.1四足动物躯干示意图

1.3初等模型问题：某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重。

建立模型：1.3初等模型问题：某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重。

1.3初等模型问题：某师范院校有2000名学生，数学系1000名，中文系600名，外语系400名；若学生会中学生代表有20个席位，则公平又简单的分法应为10，6，4个席位。若外语系有60名学生分别转入数学、中文两系各30人，此时各系的人数为1030，630，340；按比例席位分配应为10.3，6.3和3.4，出现了小数，19个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的外语系，即分别为10，6，4。为方便提案表决，现增加1席共21席，按比例计算数学、中文、外语三系分别占有10.815，6.615，3.570；按上面的分法应分别为11，7，3。这样虽然增加了一个席位，但外语系的席位反而减少一席，可见这种分法是不合理的。请给出一个比较公平的席位分配方案。2.席位分配问题1.3初等模型

1.3初等模型

1.3初等模型

1.3初等模型

1.3初等模型

1.3初等模型问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？

3.椅子放平稳问题1.3初等模型问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？其次，把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个量为零时就是椅脚着地了。椅子处于不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离应该是位置变量的函数，因此椅子能不能放平问题就转化为某个函数求根的问题。很显然上述分析必须是建立在一定条件的基础上才是可行的。图1.3.2椅子位置坐标图模型假设：

（1）椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；

1.3初等模型问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？

1.3初等模型

问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.3初等模型

4.巴拿赫火柴问题1.3初等模型

问题：试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。1.3初等模型

问题：试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。1.3初等模型5.蒲风投针问题

图1.3.3针与平行线的位置示意图1.3初等模型

图1.3.4投针实验样本空间1.3初等模型

1.3初等模型6.广告中的数学问题问题：在现实生活中，广告无所不在。广告中蕴藏着诸多学问,以房产销售广告为例，房产开发商为了提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。虽然买房人的买房行为是随机的，他可能买房，也可能暂时不买，可能买这家开发商的房子，也可能买另一家开发商的房子，但与各开发商的广告投入有一定的关联。一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。表1.3.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力。广告投入0.20.40.50.520.560.650.670.691购买力103401058010670106901072010780108001081010950表1.3.1广告投入与潜在购买力统计（单位：百万元）1.3初等模型问题：请从数学模型的角度为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。

1.3初等模型

问题：请从数学模型的角度为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。1.3初等模型

问题：请从数学模型的角度为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。1.3初等模型

问题：请从数学模型的角度为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。1