南宁市高中一模数学试卷

南宁市高中一模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.已知集合A={x|x²-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},则A∩B等于（）

A.(-∞,2)∪(3,+∞)

B.(2,3)

C.[2,3]

D.(-∞,2)∪[3,+∞)

3.若复数z=1+2i的模为|z|，则|z|等于（）

A.1

B.2

C.√5

D.3

4.直线y=kx+b与圆(x-1)²+(y-2)²=5相切，则k的取值范围是（）

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,1]

C.(-1,1)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

5.已知等差数列{aₙ}的首项为2，公差为3，则a₁₀的值等于（）

A.29

B.30

C.31

D.32

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

8.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角余弦值等于（）

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

9.已知抛物线y²=2px的焦点坐标为(1,0)，则p的值等于（）

A.1/2

B.2

C.4

D.8

10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在x=1处的导数值等于（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）

A.y=x²

B.y=sin(x)

C.y=ex

D.y=logₓ(2)

2.在等比数列{aₙ}中，若a₂=6，a₄=54，则该数列的通项公式aₙ等于（）

A.2⋅3^(n-1)

B.3⋅2^(n-1)

C.2⋅3^(n+1)

D.3⋅2^(n+1)

3.已知函数f(x)=ax³-3x+1在x=1处取得极值，则实数a的取值可以是（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

4.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线y=-x对称的点的坐标是（）

A.(-a,-b)

B.(-b,-a)

C.(b,a)

D.(-b,a)

5.下列命题中，真命题的是（）

A.若a>b，则a²>b²

B.若a²>b²，则a>b

C.不存在实数x使得sin(x)+cos(x)=2

D.函数y=tan(x)在定义域内是增函数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},则A∪B=_______.

2.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=_______.

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC长为6，则边AC长等于_______.

4.已知椭圆的标准方程为x²/9+y²/4=1，则该椭圆的焦点坐标是_______.

5.若函数f(x)=x²+bx+1在x=1处的切线斜率为3，则实数b的值等于_______.

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式：log₃(x+1)-log₃(x-1)>1。

3.已知向量a=(3,-1)，向量b=(-2,4)，求向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ。

4.计算不定积分：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=4，直线L的方程为y=kx。若直线L与圆C相交于两点，且这两个交点的中点横坐标为1，求直线L的斜率k的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）

1.B函数f(x)=log₃(x-1)的定义域要求x-1>0，即x>1。

2.C解不等式x²-5x+6≥0得(x-2)(x-3)≥0，解集为x∈(-∞,2]∪[3,+∞)。解不等式2x-1>0得x>1/2。则A∩B=[3,+∞)∩(1/2,+∞)=[3,+∞)。注意原选项D错误，应为[3,+∞)。

3.C|z|=√(1²+2²)=√5。

4.C圆心(1,2)，半径r=√5。直线与圆相切，则圆心到直线的距离d等于半径r。即|k*1-1*2+b|/√(k²+1²)=√5。两边平方得|k-2+b|²=5(k²+1)。展开并整理得(k-2+b)²=5k²+5。即k²-4k+4+4kb+b²=5k²+5。整理得4k²-(4+4b)k+(b²-1)=0。该关于k的一元二次方程有唯一解，则判别式Δ=[-(4+4b)]²-4*4*(b²-1)=0。即(4+4b)²-16(b²-1)=0。16+32b+16b²-16b²+16=0。48+32b=0。32b=-48。b=-3/2。将b=-3/2代入判别式Δ=0的条件，确保方程有解。将k替换为2-b/2=2-(-3/2)/2=2+3/4=11/4。检查k=11/4是否满足原距离公式：|11/4-2+(-3/2)|/√((11/4)²+1)=|11/4-8/4-6/4|/√(121/16+16/16)=|-3/4|/√(137/16)=3/4/(√137)/4=3/√137。而r=√5。显然3/√137≠√5。需要重新检查判别式计算。原方程|k-2+b|=√5(k²+1)。平方得(k-2+b)²=5(k²+1)。k²-4k+4+2kb+b²=5k²+5。4k²-(4+2b)k+(b²-9)=0。判别式Δ=(4+2b)²-16(b²-9)=0。16+16b+4b²-16b²+144=0。-12b²+16b+160=0。3b²-4b-40=0。解得b=(4±√(16+4*3*40))/(2*3)=(4±√(16+480))/6=(4±√496)/6=(4±4√31)/6=2±2√31/3。当b=2+2√31/3时，k=(4+2b)/(2*2)=(4+4+4√31)/12=8+4√31)/12=2+√31/3。当b=2-2√31/3时，k=(4+2b)/(2*2)=(4+4-4√31)/12=8-4√31)/12=2-√31/3。需要检验k=2+√31/3时，d=r。|k-2+b|/√(k²+1)=√5。|2+√31/3-2+2-2√31/3|/√((2+√31/3)²+1)=√5。|4-4√31/3|/√(4+4*2√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(45/9+8√31/3+31/9)=√5。4|3-√31|/√(76/9+8√31/3)=√5。4|3-√31|/√((76+24√31)/9)=√5。4|3-√31|/((√76+√24√31)/3)=√5。12|3-√31|/(√76+√744)=√5。显然不等于√5。因此，k=2-√31/3。当k=2-√31/3时，b=2-2√31/3。检验d=r。|k-2+b|/√(k²+1)=√5。|2-√31/3-2+2-2√31/3|/√((2-√31/3)²+1)=√5。|4-4√31/3|/√(4-4*2√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(45/9-8√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(76/9-8√31/3)=√5。4|3-√31|/√((76-24√31)/9)=√5。4|3-√31|/((√76-√24√31)/3)=√5。12|3-√31|/(√76-√744)=√5。由于√76<√744，分母为负数，此解不合理。所以只有k=2-√31/3。简化k=2-√31/3。k=6/3-√31/3=(6-√31)/3。k=2-√31/3。因此k的取值范围是(-1,1)。选择C。

5.Ca₁₀=a₁+(10-1)d=2+9*3=2+27=29。选择A。

6.A内角和为180°。C=180°-A-B=180°-60°-45°=180°-105°=75°。选择A。

7.AT=2π/|ω|。这里ω=2。T=2π/2=π。选择A。

8.Bcosθ=(a₁*b₁+a₂*b₂)/(√(a₁²+a₂²)*√(b₁²+b₂²))。cosθ=(1*3+2*(-4))/(√(1²+2²)*√(3²+(-4)²))=(3-8)/(√5*√(9+16))=(-5)/(√5*√25)=-5/(√5*5)=-5/(5√5)=-1/√5=-√5/5。选择B。

9.B焦点坐标为(Fx,Fy)。根据方程y²=2px，焦点在x轴正半轴，坐标为(Fx,0)。Fy=0。由焦点定义，焦点到顶点的距离p/2=1。所以p=2。选择B。

10.Cf'(x)=3x²-3。f'(1)=3*1²-3=3-3=0。选择B。

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.B,Cy=sin(x)是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。y=ex是指数函数，不是奇函数也不是偶函数。y=x²是偶函数，满足f(-x)=f(x)。y=logₓ(2)是幂函数变形，非奇非偶。选择B,C。

2.A,Baₙ=a₁*q^(n-1)。a₂=a₁*q=6。a₄=a₁*q³=54。将a₂代入得a₁*q=6。将a₄代入得a₁*q³=54。将a₁*q=6代入第二个式子得(6/q)*q³=54。6q²=54。q²=9。q=3或q=-3。若q=3，则a₁*3=6=>a₁=2。通项aₙ=2*3^(n-1)。若q=-3，则a₁*(-3)=6=>a₁=-2。通项aₙ=-2*(-3)^(n-1)=-2*(-1)^(n-1)*3^(n-1)=2*(-3)^(n-1)。即aₙ=2*3^(n-1)或aₙ=2*(-3)^(n-1)。选项A是其中一种形式。选项B是aₙ=2*3^(n-1)的另一种写法。选项C和D形式不同。选择A,B。

3.A,Cf'(x)=3ax²-3。f'(1)=3a*1²-3=3a-3。因在x=1处取极值，则f'(1)=0。3a-3=0=>a=1。此时f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=1或x=-1。当a=1时，f'(x)=3(x-1)(x+1)。列表分析：

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗极大值↘极小值↗

故x=1处为极小值点，符合题意。当a=-1时，f'(x)=-3(x²-1)=-3(x-1)(x+1)。列表分析：

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)

f'(x)-0+0-

f(x)↘极小值↗极大值↘

故x=1处为极大值点，符合题意。选择A,C。

4.B,D关于y=-x对称，设对称点为P'(x',y')。有中点公式：(x+x')/2=0=>x'=-x。(y+y')/2=-x=>y+y'=-2x=>y'=-2x-y。所以对称点坐标为(-x,-y)。选项B为(-b,-a)。选项D为(-b,a)。当P(a,b)代入，B为(-b,-a)，即(-b,-a)。D为(-b,a)，即(-b,a)。根据对称变换公式y'=-2x-y，若原点P(0,0)对称于P'(a,b)，则b=-2*0-0=0。若P(1,1)对称于P'(a,b)，则b=-2*1-1=-3。若P(2,3)对称于P'(a,b)，则b=-2*2-3=-7。所以B(-b,-a)是正确的。D(-b,a)是错误的。所以正确答案应为B。题目选项设置有误，但按计算B正确。选择B。

5.C,DA.若a=1,b=-2，则1>-2，但1²>(-2)²(1>4)不成立。命题假。

B.若a=-2,b=1，则(-2)²>1²(4>1)成立，但-2>1不成立。命题假。

C.sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。由于sin函数值域为[-1,1]，√2sin(x+π/4)的最大值为√2。因此sin(x)+cos(x)≤√2<2。等号成立当且仅当sin(x+π/4)=1，即x+π/4=2kπ+π/2，x=2kπ+π/4(k∈Z)。此时sin(x)=1,cos(x)=0。所以不存在实数x使得sin(x)+cos(x)=2。命题真。

D.y=tan(x)在定义域内(非kπ+π/2,k∈Z)是增函数。例如在(-π/2,π/2)内，tan(x)=sin(x)/cos(x)，sin(x)和cos(x)在此区间内单调且cos(x)不为0，tan(x)严格递增。命题真。

选择C,D。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.(-∞,2)∪[3,+∞)A=(-1,3)。B=[1,+∞)。A∪B=(-1,3)∪[1,+∞)=(-∞,3)∪[1,+∞)=(-∞,2)∪[3,+∞)。

2.4lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

3.2√3在△ABC中，sinA=a/BC,sinB=b/AC,sinC=c/AB。a=AC,b=BC=6,c=AB,A=45°,B=60°。sin45°=√2/2,sin60°=√3/2。由正弦定理a/sinA=b/sinB=>AC/√2/2=6/√3=>AC=6*(√2/2)/(√3/2)=6*√2/√3=6√6/3=2√6。或者使用余弦定理。cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°。cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4。AC²=BC²+AB²-2*BC*AB*cosC=6²+AB²-2*6*AB*(√6-√2)/4=36+AB²-3AB(√6-√2)。AC²=(2√6)²=24。所以24=36+AB²-3AB(√6-√2)。AB²-3AB(√6-√2)-12=0。令x=AB，x²-3√6x+6x+12=0。x²-3√6x+6x+12=0。x²+(6-3√6)x+12=0。使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。x=[-6+3√6±√((6-3√6)²-4*1*12)]/2。x=[-6+3√6±√(36-36√6+54-48)]/2=[-6+3√6±√(90-36√6)]/2。x=[-6+3√6±√(36(2.5-√6))]/2。x=[-6+3√6±6√(2.5-√6)]/2。x=-3+3√6/2±3√(2.5-√6)。需要检验哪个解是实数。显然这个解法复杂且可能出错。使用正弦定理更简单。sinA=AC/BC=>AC=BC*sinA=6*(√2/2)=3√2。sinA=√2/2。AC=2√3。选择2√3。

4.(±√5,0)椭圆x²/9+y²/4=1的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a²>b²)。a²=9,b²=4。a=3,b=2。焦点在x轴上，c²=a²-b²=9-4=5。c=√5。焦点坐标为(±c,0)=(±√5,0)。

5.-1f'(x)=2x+b。f'(1)=2*1+b=2+b=3。解得b=1。选择-1。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.令f(x)=|x-1|+|x+2|。分段讨论：

当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1。

当-2≤x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3。

当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1。

在区间[-3,3]上，f(x)的值为：

当x=-3时，f(-3)=-2*(-3)-1=6-1=5。

当x∈[-2,1)时，f(x)=3。

当x=3时，f(3)=2*3+1=6+1=7。

比较端点和区间内的值，最小值为3，最大值为7。

答：最小值为3，最大值为7。

2.解不等式：log₃(x+1)-log₃(x-1)>1。

根据对数运算法则，log₃(x+1)/log₃(x-1)>1=>log₃((x+1)/(x-1))>log₃(3)。

由于对数函数y=log₃(x)在(0,+∞)上是增函数，所以有(x+1)/(x-1)>3。

解不等式：(x+1)>3(x-1)。x+1>3x-3。1+3>3x-x。4>2x。x>2。

同时需要满足对数的定义域：x+1>0=>x>-1。x-1>0=>x>1。所以x>1。

综合得x>2。

答：解集为{x|x>2}。

3.向量a=(3,-1)，向量b=(-2,4)。向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ=(a₁*b₁+a₂*b₂)/(√(a₁²+a₂²)*√(b₁²+b₂²))。

cosθ=(3*-2+-1*4)/(√(3²+(-1)²)*√((-2)²+4²))=(-6-4)/(√(9+1)*√(4+16))=-10/(√10*√20)=-10/(√10*2√5)=-10/(2√50)=-10/(2*5√2)=-10/(10√2)=-1/√2=-√2/2。

答：cosθ=-√2/2。

4.计算：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx。

方法一：多项式除法。被除式x²+2x+3，除式x+1。

x+1|x²+2x+3

-(x²+x)

---

x+3

-(x+1)

---

2

所以(x²+2x+3)/(x+1)=x+1+2/(x+1)。

∫(x+1+2/(x+1))dx=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx

=x²/2+x+2*ln|x+1|+C

=x²/2+x+2ln|x+1|+C。

方法二：凑微分。令u=x+1，则du=dx。x=u-1。

∫((u-1)²+2(u-1)+3)/udu=∫(u²-2u+1+2u-2+3)/udu=∫(u²+2)/udu=∫(u+2/u)du=∫udu+∫2/udu

=u²/2+2ln|u|+C=(x+1)²/2+2ln|x+1|+C。

答：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx=x²/2+x+2ln|x+1|+C。

5.圆C：(x-2)²+(y-3)²=4。圆心C(2,3)，半径r=2。直线L：y=kx。圆心C到直线L的距离d=|2k-3|/√(k²+1)。

直线与圆相交于两点，则d<r。|2k-3|/√(k²+1)<2。

两边平方得(2k