柳州市联考高三数学试卷

柳州市联考高三数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则a的取值范围是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

2.函数f(x)=2^x-1与g(x)=log_2(x+1)的图像关于（）

A.x轴对称

B.y轴对称

C.原点对称

D.直线y=x对称

3.已知向量a=(1,k)，b=(-2,3)，若a⊥b，则k的值等于（）

A.-6

B.6

C.-3

D.3

4.在等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=10，则a_7的值为（）

A.15

B.20

C.25

D.30

5.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）

A.15π

B.20π

C.30π

D.36π

6.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.已知点A(1,2)，B(3,0)，则向量AB的模长等于（）

A.√2

B.2√2

C.√10

D.2√10

8.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

9.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，则顶点A到底面BCD的距离为（）

A.V/S

B.2V/S

C.V*2S

D.S/V

10.已知直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)

D.(-√3,√3)

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则下列结论正确的是（）

A.f(-1)>f(1)

B.f(2)>f(-2)

C.f(0)是f(x)的最小值

D.f(-x)=f(x)对所有x成立

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2，则下列结论正确的是（）

A.△ABC是直角三角形

B.cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

C.sinA=bc/(a^2+b^2)

D.tanB=c/(b-a)

3.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:mx+ny+p=0，则l1与l2平行的充要条件是（）

A.a/m=b/n

B.a/m=b/n且c≠pn/m

C.an=bm

D.c/p=an/bm

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则下列结论正确的是（）

A.f(-1)>f(1)

B.f(0)=0

C.f(-x)=-f(x)对所有x成立

D.f(x)在(-∞,0)上单调递增

5.已知样本数据：2,4,6,8,10，则下列结论正确的是（）

A.样本平均数为6

B.样本方差为10

C.样本中位数为6

D.样本极差为8

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极小值点为________。

2.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，则该数列的通项公式a_n=________。

3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆C的圆心坐标为________，半径长为________。

4.执行以下算法语句：

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i^2

i=i+1

WEND

则S的值为________。

5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最小值，且周期为π，则ω=________，φ=________（φ∈[-π,π]）。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，C=60°，求边c的长度及△ABC的面积。

3.已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，求该数列的前n项和S_n及第m项a_m。

4.已知函数f(x)=e^x-1，求函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。

5.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的圆心坐标、半径长以及圆C与直线l:3x-y+5=0的位置关系（相离、相切、相交）。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：A={x|x>2或x<1}，B={x|x≠0}。要使A∪B=A，则B⊆A，即ax=1无解或只有x=1解。若x=1在B中，则a=1，此时B={1}⊆A，符合；若ax=1无解，则a=0，此时B=∅⊆A，符合。故a=0或a=1，即a∈(-1,1)。

2.D

解析：f(x)=2^x-1的图像是指数函数y=2^x向下平移1个单位得到的。g(x)=log_2(x+1)的图像是y=log_2(x)向左平移1个单位得到的。指数函数y=a^x（a>1）的图像与对数函数y=log_a(x)（a>1）的图像关于直线y=x对称。因此，f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称。

3.B

解析：向量a=(1,k)，b=(-2,3)，a⊥b⇔a·b=0⇔1*(-2)+k*3=0⇔-2+3k=0⇔3k=2⇔k=2/3。此处题目选项有误，正确答案应为2/3。若按题目选项，则无正确选项。

4.C

解析：由等差数列性质，a_4=a_1+3d。已知a_1=5，a_4=10，代入得10=5+3d⇔3d=5⇔d=5/3。则a_7=a_1+6d=5+6*(5/3)=5+10=15。

5.A

解析：圆锥侧面积S=πrl，其中r是底面半径，l是母线长。已知r=3，l=5，代入得S=π*3*5=15π。

6.A

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。已知T=π⇔2π/|ω|=π⇔|ω|=2。由于周期是π，ω应为正负2，但题目未指定正负，通常取正值，ω=2。最小正周期为π。

7.C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模长|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

8.D

解析：解绝对值不等式|2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-3+1<2x<3+1⇔-2<2x<4⇔-1<x<2。解集为(-1,2)。

9.A

解析：三棱锥A-BCD的体积V=(1/3)×底面积S×高h。顶点A到底面BCD的距离h=V/(S/3)=3V/S。

10.B

解析：直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2=1相交于两点，则直线l到圆心O(0,0)的距离d<1。直线l到原点O的距离d=|kx+1-0|/√(k^2+1)=|k|/√(k^2+1)。要使d<1⇔|k|/√(k^2+1)<1⇔|k|<√(k^2+1)⇔k^2<k^2+1⇔0<1，此不等式恒成立。因此，只要直线l不与圆相切或相离，即k≠±√3，即可。故k的取值范围是(-∞,-√3)∪(-√3,√3)∪(√3,+∞)，即(-1,1)。

二、多项选择题答案及解析

1.A,B,C

解析：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)对所有x成立，即A、D正确。在(0,+∞)上单调递增⇔x1<x2⇒f(x1)<f(x2)。取x1=1,x2=-1，则-1<1⇒f(-1)<f(1)，即A错误。取x1=2,x2=-2，则-2<2⇒f(-2)<f(2)，即B正确。f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)在(0,+∞)上取值范围是(ε,+∞)对任意ε>0成立。取x=1，f(1)>ε对任意ε>0成立，即f(1)可以取到任意大的正数。取x=-1，f(-1)=f(1)，所以f(-1)也可以取到任意大的正数。因此，f(-1)不一定小于f(1)。但f(0)是f(x)在(0,+∞)上的最小值的一个上界，f(0)≥f(x)对x∈(0,+∞)成立。由于f(x)在(0,+∞)上可以取任意大的值，f(0)不一定是f(x)的最小值。C错误。

2.A,B,C

解析：a^2=b^2+c^2是勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，A正确。在直角△ABC中，角A=90°，cosA=0。根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)⇔0=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，即b^2+c^2-a^2=0⇔a^2=b^2+c^2。这与题设条件一致，故B正确。在直角△ABC中，sinA=对边/斜边=BC/AC。由勾股定理，AC=√(a^2+b^2)=√(b^2+c^2+b^2)=√(2b^2+c^2)。sinA=bc/(a^2+b^2)=bc/(b^2+c^2+b^2)=bc/(2b^2+c^2)。C正确。tanB=对边/邻边=AC/BC=√(b^2+c^2)/b。由题设a^2=b^2+c^2⇔AC^2=AB^2+BC^2⇔AC^2=AB^2+BC^2⇔AC^2=AB^2+BC^2。这与题设条件一致，故D正确。

3.A,B

解析：直线l1:ax+by+c=0的斜率k1=-a/b（若b≠0），直线l2:mx+ny+p=0的斜率k2=-m/n（若n≠0）。l1与l2平行⇔k1=k2⇔-a/b=-m/n⇔an=bm。这是充要条件。但若b=0且n=0，则l1为垂直于x轴的直线x=-c/a，l2为垂直于x轴的直线x=-p/m，此时l1∥l2⇔-c/a=-p/m⇔an=bm。若b≠0且n=0，则l1斜率k1=-a/b，l2垂直于x轴，l1不平行于l2。若b=0且n≠0，则l1垂直于x轴，l2斜率k2=-m/n，l1不平行于l2。因此，an=bm是l1∥l2的充要条件。C错误。若l1与l2平行，则c/p=an/bm⇔c/p=bm/bm=1。即c/p=1是l1∥l2的必要条件，但不是充分条件。例如l1:x+y=1，l2:2x+2y=3，l1∥l2但1/3≠1。D错误。故正确选项为A和B。

4.B,C,D

解析：f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)对所有x成立，即C正确。奇函数图像关于原点对称，故f(0)=-f(0)⇔2f(0)=0⇔f(0)=0，即B正确。f(x)在(0,+∞)上单调递减⇔x1<x2,x1,x2>0⇒f(x1)>f(x2)。取任意x>0，令x1=x,x2=-x（此时-x<0），则0<x<0⇒f(x)>f(-x)。由奇函数性质，f(-x)=-f(x)，所以f(x)>-f(x)⇔2f(x)>0⇔f(x)>0。这矛盾，因为若f(x)>0，则f(-x)=-f(x)<0，但f(x)>f(-x)，即f(x)>0。矛盾。因此，f(x)在(0,+∞)上不可能单调递减。D错误。由奇函数性质，f(-1)=-f(1)，即A错误。故正确选项为B和C。

5.A,C,D

解析：样本平均数=(2+4+6+8+10)/5=30/5=6，故A正确。样本方差s^2=[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8。注意：方差公式也可为s^2=(Σx_i^2-nμ^2)/n，此处Σx_i^2=2^2+4^2+6^2+8^2+10^2=4+16+36+64+100=220，n=5，μ=6，nμ^2=5*6^2=180，s^2=(220-180)/5=40/5=8。故B错误。样本中位数是按从小到大排序后中间位置的数，此处数据已排序为2,4,6,8,10，中间位置是第3个数，即中位数为6，故C正确。样本极差=最大值-最小值=10-2=8，故D正确。故正确选项为A,C,D。

三、填空题答案及解析

1.x=1

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0⇔3x^2-6x+2=0⇔x^2-2x+2/3=0⇔(x-1)^2=1/3⇔x-1=±√(1/3)⇔x=1±√(1/3)。驻点为x=1±√(1/3)。f''(x)=6x-6。f''(1)=6*1-6=0。需要进一步判断。取x=1+ε（ε>0很小），f''(1+ε)=6(1+ε)-6=6ε>0，故x=1+√(1/3)是极小值点。取x=1-ε（ε>0很小），f''(1-ε)=6(1-ε)-6=-6ε<0，故x=1-√(1/3)是极大值点。极小值点为x=1+√(1/3)。

2.a_n=2^(n-1)

解析：a_1=2，a_3=16。由等比数列性质，a_3=a_1*q^2⇔16=2*q^2⇔q^2=8⇔q=±√8=±2√2。通项公式a_n=a_1*q^(n-1)=2*(±2√2)^(n-1)。例如，若q=2√2，则a_2=2*(2√2)=4√2，a_3=2*(2√2)^2=2*8=16，符合。若q=-2√2，则a_2=2*(-2√2)=-4√2，a_3=2*(-2√2)^2=2*8=16，符合。通项公式为a_n=2^(n-1)*(-2√2)^(n-1)=2^(n-1)*(-1)^(n-1)*(2√2)^(n-1)=2^(n-1)*(-1)^(n-1)*2^(n-1/2)*2^(n-1/2)=2^(3n-3/2)*(-1)^(n-1)。更简洁的形式是a_n=2^(n-1)*(-2√2)^(n-1)。

3.(1,-2),3

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9。标准方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。其中圆心坐标为(h,k)，半径长为r。对比得圆心坐标为(1,-2)，半径长为√9=3。

4.55

解析：执行算法语句：

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i^2

i=i+1

WEND

计算过程：

i=1,S=0+1^2=1,i=2

i=2,S=1+2^2=5,i=3

i=3,S=5+3^2=14,i=4

i=4,S=14+4^2=30,i=5

i=5,S=30+5^2=55,i=6

i=6,S=55+6^2=81,i=7

i=7,S=81+7^2=130,i=8

i=8,S=130+8^2=206,i=9

i=9,S=206+9^2=295,i=10

i=10,S=295+10^2=395,i=11

WHILE条件i<=10不再满足，循环结束。S的值为395。

注意：题目中给出的S=55是计算过程中的一个中间值，不是最终结果。

5.ω=2,φ=-π/6

解析：f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最小值。sin函数的最小值为-1。故sin(ωπ/4+φ)=-1。周期为π⇔2π/|ω|=π⇔|ω|=2⇔ω=2或ω=-2。若ω=2，则2*(π/4)+φ=2kπ+3π/2⇔π/2+φ=2kπ+3π/2⇔φ=2kπ+π⇔φ=π（若k=0）。若ω=-2，则-2*(π/4)+φ=2kπ+3π/2⇔-π/2+φ=2kπ+3π/2⇔φ=2kπ+2π⇔φ=2π（若k=0）。φ需在[-π,π]内。φ=π时，ω=2，符合。φ=2π时，ω=-2，不符合[-π,π]范围。故ω=2，φ=π。但π不在[-π,π]内。需要调整。sin(ωπ/4+φ)=-1⇔ωπ/4+φ=(2k+1)π+3π/2⇔φ=(2k+1)π+3π/2-ωπ/4。若ω=2，φ=(2k+1)π+3π/2-π/2=(2k+1)π+π=2kπ+2π。k=0时，φ=2π。k=-1时，φ=-2π+2π=0。k=1时，φ=2π+2π=4π。都不在[-π,π]内。若ω=-2，φ=(2k+1)π+3π/2+π/2=(2k+1)π+2π。k=0时，φ=2π。k=-1时，φ=-2π+2π=0。k=1时，φ=2π+2π=4π。都不在[-π,π]内。看起来没有满足条件的解。可能题目有误或需要更通用的解。考虑ω=2，φ=-π/6。sin(2*(π/4)-π/6)=sin(π/2-π/6)=sin(π/3)=√3/2≠-1。错误。考虑ω=2，φ=-7π/6。sin(2*(π/4)-7π/6)=sin(π/2-7π/6)=sin(-π/3)=-√3/2=-1。周期为π⇔2π/|2|=π⇔|ω|=2。符合。φ=-7π/6在[-π,π]内。故ω=2，φ=-7π/6。检查：sin(2x-7π/6)在x=π/4处，2*(π/4)-7π/6=π/2-7π/6=-π/3。sin(-π/3)=-√3/2。最小值。符合。φ=-7π/6。

四、计算题答案及解析

1.最大值f(4)=33，最小值f(-1)=-11

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x+1。求导f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0⇔3x^2-6x+2=0⇔x^2-2x+2/3=0⇔(x-1)^2=1/3⇔x-1=±√(1/3)⇔x=1±√(1/3)。驻点为x=1±√(1/3)。f''(x)=6x-6。f''(1)=0。需要进一步判断。取x=1+ε（ε>0很小），f''(1+ε)=6(1+ε)-6=6ε>0，故x=1+√(1/3)是极小值点。取x=1-ε（ε>0很小），f''(1-ε)=6(1-ε)-6=-6ε<0，故x=1-√(1/3)是极大值点。需要计算端点和驻点处的函数值。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2*(-1)+1=-1-3-2+1=-5-2=-7。f(1)=1^3-3*1^2+2*1+1=1-3+2+1=1。f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))^3-3*(1+√(1/3))^2+2*(1+√(1/3))+1。计算较复杂，但可以表示为(1+√(1/3))^3-3*(1+√(1/3))^2+3*(1+√(1/3))+1=(1+√(1/3))^3-3*(1+√(1/3))^2+4*(1+√(1/3))。f(1-√(1/3))类似。端点x=-1,x=4。f(-1)=-11。f(4)=4^3-3*4^2+2*4+1=64-48+8+1=15+8+1=23+1=24。驻点x=1±√(1/3)处的值更复杂，但f(1)=1。比较f(-1)=-11,f(1)=1,f(4)=33。最大值为33，最小值为-11。

2.c=√19,S=7√3/4

解析：由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2ab*cosC⇔c^2=5^2+7^2-2*5*7*cos60°⇔c^2=25+49-70*(1/2)⇔c^2=74-35⇔c^2=39⇔c=√39。△ABC的面积S=(1/2)ab*sinC=(1/2)*5*7*sin60°=(1/2)*35*(√3/2)=35√3/4。也可以用公式S=(1/2)ac*sinB=(1/2)*5*√39*sinB，需要求出B。由正弦定理，a/sinA=b/sinB⇔5/sinA=7/sinB⇔sinB=(7/5)sinA。由勾股定理，a^2+b^2=c^2+2ab*cosA⇔25+49=c^2+70*cosA⇔74=39+70*cosA⇔70*cosA=35⇔cosA=1/2⇔A=60°。sinA=sin60°=√3/2。sinB=(7/5)*(√3/2)=7√3/10。S=(1/2)*5*√39*(7√3/10)=35√39√3/20=35√117/20=35*3√13/20=105√13/20。看起来与之前矛盾。可能是计算错误。重新计算面积。A=60°。S=(1/2)*5*7*sin60°=(1/2)*35*(√3/2)=35√3/4。c=√39。S=7√3/4。

3.S_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d),a_m=a_1+(m-1)d

解析：等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3。前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*2+(n-1)*3)=n/2*(4+3n-3)=n/2*(3n+1)=3n^2/2+n/2=(3n^2+n)/2。第m项a_m=a_1+(m-1)d=2+(m-1)*3=2+3m-3=3m-1。

4.f^(-1)(x)=ln(x+1),x>-1

解析：y=e^x-1⇔x=ln(y+1)。交换x,y得到反函数y=ln(x+1)。定义域为x+1>0⇔x>-1。值域为y=e^x-1，当x取遍R时，e^x取遍(0,+∞)，e^x-1取遍(-1,+∞)。反函数定义域为原函数值域(-1,+∞)，即x>-1。

5.圆心(2,-3),半径√10,直线与圆相交

解析：圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0⇔(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9⇔(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心为(2,-3)，半径为r=√16=4。直线l:3x-y+5=0⇔y=3x+5。直线到圆心(2,-3)的距离d=|3*2-(-3)+5|/√(3^2+(-1)^2)=|6+3+5|/√10=14/√10=7√10/5。d=7√10/5<4。因为直线到圆心的距离小于半径，所以直线与圆相交。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

**一、选择题**主要考察了集合、函数性质、向量、数列、三角函数、解析几何等基础概念和计算。题目覆盖了基础概念的定义、性质、运算和应用，考察了学生对基本概念的掌握程度和计算能力。例如，集合的运算、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、反函数、向量平行与垂直、等差等比数列的通项与求和、三角函数的图像与性质、直线与圆的位置关系等。

**二、多项选择题**考察了更综合的概念和性质，需要学生有更深入的理解和判断能力。例如，奇函数的性质、勾股定理及其逆定理、直线平行的充要条件、算法的执行过程、样本统计量的计算等。这些题目往往需要学生结合多个知识点进行分析和推理。

**三、填空题**考察了学生对重要概念和公式记忆的准确性，以及基本的计算能力。例如，函数的极值点、等比数列的通项公式、圆的标准方程、算法的循环执行、三角函数的周期与相位等。这些题目通常是教材中的重点公式或概念的直接应用。

**四、计算题**考察了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力，要求学生掌握详细的计算步骤和方法。例如，求函数的极值、解三角形、求数列的前n项和与通项、求反函数