第1讲　开普勒定律与万有引力定律

第1讲开普勒定律与万有引力定律考点一开普勒定律及应用【理清·知识结构】【知识梳理】1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是①，太阳处在椭圆的一个②上。

2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内③相等。

3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的④的比都相等，即a3T2=k(k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关【考教衔接】地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆(如图)。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的倍。(结果用根式表示)

【突破·考点题型】角度1开普勒行星运动定律及理解开普勒定律描述方面图示理解第一定律(轨道定律)行星运动的轨道不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道虽然不同，但有一个共同的焦点第二定律(面积定律)行星运动的线速度变化行星靠近太阳运动时速度增大，在近日点速度最大；行星远离太阳运动时速度减小，在远日点速度最小第三定律(周期定律)行星运动轨道与其公转周期的关系a3T2=k对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是()A.开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结出了开普勒行星运动定律B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是圆，太阳处于圆心位置C.根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小D.根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它的公转周期成正比(多选)如图所示，月球绕地球沿椭圆轨道运动，P为近地点，Q为远地点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑地球和月球之间的相互作用，则月球在从P经过M、Q到N的运动过程中()A.月球与地球的连线在任意相等的时间内扫过的面积相等B.月球在Q点的线速度大于在P点的线速度C.从P到M所用时间小于14TD.从P到Q阶段，速率逐渐变大角度2开普勒行星运动定律的应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。2.开普勒第三定律a3T2=k中的k=GM4π2((多选)如图1所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。如图2所示，人造卫星和月球都绕着地球旋转，其运行轨道也是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知()A.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，a3T2=kB.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，a3T2=kC.月球绕地球运行一周的时间比人造卫星的长D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的短(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时()A.周期约为144hB.近月点的速度大于远月点的速度C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度考点二万有引力定律及应用【理清·知识结构】【知识梳理】1.万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都会相互吸引，引力的方向在它们的①上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积成②，与它们之间的距离r的二次方成③。

(2)表达式：F=Gm1m2r2，其中G为引力常量，G=6.67×10-11N·m2/kg2(3)适用条件a.两个⑤之间的相互作用。

b.对质量分布均匀的球体，r为⑥。

c.一个质量分布均匀的球体和球外一个质点，r为⑦。

2.万有引力定律在天体上的应用(1)基本特征：把天体运动看成⑧运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。

(2)应用万有引力定律分析天体运动的方法：GMmr2=ma=mv2r=mrω2=mr2π【考教衔接】月—地检验的目的是检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力。已知苹果自由落体加速度a苹=g=9.8m/s2，月球中心到地球中心的距离r=60R=3.8×108m(R是地球半径)，月球公转周期T=27.3d≈2.36×106s。(1)月—地检验的思路是什么?(2)月球的向心加速度与苹果自由落体加速度之比为多少?【突破·考点题型】角度1万有引力的计算2024年5月8日10时，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，“嫦娥六号”探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。已知地球的半径约为月球半径的4倍，地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，不考虑地球和月球的自转。当“嫦娥六号”探测器在奔月过程中离地心和月心的距离相等时，受到地球和月球的万有引力之比约为()A.1∶1 B.24∶1C.96∶1 D.576∶1(2023·河北高考)我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比，与月地距离的三次方成反比，方向如图1所示。随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天两次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的920。每月两次大潮(引潮力最大)和两次小潮(引潮力最小)是太阳与月球引潮力共同作用的结果。结合图2，下列说法正确的是() 图1 图2A.月球在位置1时会出现大潮B.月球在位置2时会出现大潮C.涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚D.月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力角度2填补法求解万有引力如图所示，质量分布均匀的实心球质量为M，半径为R，现在将它的左侧挖去一个半径r=R2的球体，则挖去后它对与球体表面距离为R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为()A.225 B.2325 C.23100 角度3重力与万有引力的关系图示关系(1)在赤道上：GMmR2=mg+mω(2)在两极上：GMmR2(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F注：越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为GMmR2=mg(GM=gR2被称为“我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北两个半球，OE连线与赤道平面的夹角为θ。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为kg(0<k<1)，则E位置的向心加速度为()A.(1-k)g B.(1-k)gcosθC.(1-k)gsinθ D.kgsinθ假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力的合力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1-dR B.1+C.R-dR2 考点三天体运动的四类模型【突破·考点题型】角度1公转模型天体运行参量的比较1.人造卫星的运行规律：无论是自然天体(如地球、月球)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星等)都可以看作质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。2.万有引力提供向心力GMmr2结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。(越高越慢)考向1天体运行参量分析2024年5月20日，我国使用运载火箭成功将“北京三号”卫星送入预定轨道，用于提供高时空分辨率遥感卫星数据。若卫星在距地面500km的轨道上绕地球稳定运行，则该卫星的()A.运行周期小于地球的自转周期B.线速度小于地球同步卫星的线速度C.角速度等于地球同步卫星的角速度D.加速度小于地球同步卫星的加速度考向2天体运行参量的计算(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()A.木卫一轨道半径为n16B.木卫二轨道半径为n2C.周期T与T0之比为nD.木星质量与地球质量之比为T02角度2自转模型(多选)已知一质量为m的物体静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN，已知地球是质量均匀的球体，半径为R，地球表面的重力加速度为g，则()A.地球的自转周期T=2πmRB.地球的自转周期T=πmRC.地球同步卫星的轨道半径为R3D.地球同步卫星的轨道半径为2R3角度3星表模型黄金代换在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t落回原处；若在某星球表面以相同的速度竖直上抛一小球，则需经4t时间落回原处。不计空气阻力，忽略星球和地球自转。已知该星球半径与地球半径之比为1∶4，则()A.该星球密度与地球密度之比为1∶1B.该星球质量与地球质量之比为64∶1C.该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为4∶1D.该星球的“第一宇宙速度”与地球的第一宇宙速度之比为1∶1角度4双星与多星考向1双星模型模型特点两星彼此间的万有引力提供向心力，即Gm1m2LGm1m2L(1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即m1m(4)两星的运动周期T=2πL(5)两星的总质量m=m1+m2=4现有由两颗中子星A、B组成的双星系统，如图所示，A、B均绕O点做匀速圆周运动。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，下列说法正确的是()A.A的线速度一定大于B的线速度B.A的质量一定小于B的质量C.若L一定，则M越大，T越小D.若M一定，则L越大，T越小考向2多星模型类型三星模型四星模型结构图运动情境质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上质量相等的三星位于一正三角形的三个顶点上，都绕三角形的中心做匀速圆周运动质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点上，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动向心力每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供运动量每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做匀速圆周运动，如图1所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图2所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法正确的是()A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmLB.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πLC.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2LD.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的向心加速度大小为3【强化·学科思维】天体质量和密度的计算1.模型与关系式一个模型两组等式空中绕行：GMmr2=man=mv2r=mω地面：mg=GMmR2或gR2.方法与结论计算量方法已知量利用公式表达式备注(中心)天体质量的计算利用运行天体r、TGMmr2M=4只能得到中心天体的质量r、vGMmr2M=rv、TGMmr2GMmr2M=v利用天体表面重力加速度g、Rmg=GMmM=g(中心)天体密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2M=ρ·43πRρ=3当r=R时ρ=3利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg=GMmM=ρ·43πRρ=3g考向1利用环绕法估算中心天体质量或密度(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A.k3T1T22 C.1k3T1T22易错提醒计算中心天体的质量、密度时要注意三点：1.天体半径和卫星的轨道半径。通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径，卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径，卫星的轨道半径大于等于天体的半径。2.自转周期和公转周期。自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。3.若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体自身半径R，则天体密度ρ=3π考向2由重力加速度法估算中心天体质量与密度(多选)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的星球表面上。该航天员从高h=L处以初速度v0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离为5L，已知该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是()A.该星球表面的重力加速度为2B.该星球表面的重力加速度为vC.该星球的质量为vD.该星球的密度为3练创新试题·知命题导向1.(多选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的16，月球半径约为地球半径的14。下列说法正确的是()A.月球的质量约为地球质量的1B.月球的质量约为地球质量的1C.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速率的6D.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速率的62.2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始采取措施，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km。则下列说法正确的是()A.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行，它与月球的连线在相等时间内扫过的面积相等B.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行的周期之比约为12∶1C.“鹊桥二号”由捕获轨道进入冻结轨道需要加速D.在捕获轨道上，“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，引力势能减小3.(多选)如图所示，1、2轨道分别是某卫星在变轨前后的轨道。已知轨道1半径是地球半径的m倍，轨道2为静止卫星轨道，且轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，下列说法正确的是()A.卫星在轨道1与轨道2运行周期之比为n3B.卫星在轨道2与P点的速度之比为n∶1C.卫星在轨道1与轨道2的向心加速度之比为nD.卫星在轨道1与P点的速度之比为n4.(多选)“火星合日”现象，就是当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，该现象曾导致中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为T1，地球公转周期为T2，“祝融号”在火星赤道表面附近的轨道做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是()A.火星的第一宇宙速度大小为2πB.太阳的质量为4C.火星的公转周期T1小于地球公转周期T2D.相邻两次“火星合日”的时间间隔为T

参考答案考点一知识梳理①椭圆②焦点③扫过的面积④公转周期的二次方考教衔接53解析哈雷彗星和地球均绕太阳(中心天体)运动，哈雷彗星的周期T=(2061-1986)年=75年，地球的周期T0=1年，根据开普勒第三定律可知a3T2=r3T02，故例1C例2AC解析由开普勒第二定律可知，月球与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，A项正确；根据开普勒第二定律可知，月球从P到Q的过程中，月球与地球的距离变大，线速度逐渐减小，B、D两项错误；公转周期为T0，月球从P到Q的过程中所用的时间为0.5T0，由于月球从P经M到Q的过程中，速率逐渐变小，从P到M与从M到Q的路程相等，所以月球从P到M所用的时间小于T04，例3AC解析对同一中心天体，其所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即k值相同。对不同中心天体的所有行星，其轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值不相等，即k值不相同，A项正确，B项错误。对同一中心天体，由a3T2=k可知半长轴大的运行周期长，C项正确例4B解析“鹊桥二号”在冻结轨道运行和在捕获轨道运行的中心天体均是月球，根据开普勒第三定律得T12R13=T22R23，整理得T2=T1R23R13=288h，A项错误；根据开普勒第二定律得，“鹊桥二号”在近月点的速度大于在远月点的速度，B项正确；“鹊桥二号”在近月点从捕获轨道到冻结轨道要进行近月制动，故在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C项错误；“鹊桥二号”考点二知识梳理①连线②正比③反比④卡文迪什扭秤⑤质点⑥两球心的距离⑦质点到球心的距离⑧匀速圆周考教衔接解答(1)①假设地球与月球间、太阳与行星间的作用力是同一种力，满足F=Gm月②月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月=Fm月=G③假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果自由落体加速度a苹=Fm苹=G④a月a苹=R2r2，由于r≈60R(2)a月=2πT2r≈2.7×10-3m/s2，则a月a苹≈2.8×10例5C解析由GMmR2=mg，得M地M月=g地g月×R地2R月2=961，例6A解析太阳、月球、地球三者在同一条直线上时，太阳和月球的引潮力叠加在一起，潮汐现象最明显，称为大潮，月地连线与日地连线互相垂直，太阳引潮力就会削弱月球的引潮力，形成小潮，月球在题图2中位置1时会出现大潮，A项正确，B项错误。每一昼夜海水有两次潮涨潮落，人们把每次在白天出现的海水上涨叫作“潮”，把夜晚出现的海水上涨叫作“汐”，合称潮汐，C项错误。月球运动到如图所示的位置3时，月球引潮力和太阳引潮力的合力等于月球引潮力减太阳引潮力，小于月球引潮力，D项错误。例7B解析实心球质量M=ρV=ρ·43πR3，挖去部分的半径是实心球半径的一半，则质量M'=ρV'=ρ·43π·R23=M8，完整实心球对质点的万有引力F=GMm(2R)2=GMm4R2，挖去部分对质点的万有引力F'=GM'm52R2=GMm50例8B解析在D点，根据向心力公式可得mg-kmg=mRω2，对E处的物体，根据向心力公式可得ma=mω2Rcosθ，联立解得a=(1-k)gcosθ，B项正确，A、C、D三项错误。例9A解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度大小为g，地球质量为M，地球表面的质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，有mg=GMmR2，又M=ρ·43πR3，得g=43πρGR；设矿井底部的重力加速度大小为g'，图中阴影部分球体的半径r=R-d，则g'=43πρG(R-d)，联立解得g'g考点三例10A解析“北京三号”卫星离地高度比同步卫星低，则“北京三号”卫星做圆周运动的半径比同步卫星的小，由开普勒第三定律知，“北京三号”卫星运行的周期小于同步卫星的周期，而同步卫星的周期与地球自转周期相同，故“北京三号”卫星运行周期小于地球的自转周期，由ω=2πT知，“北京三号”卫星运行的角速度大于地球同步卫星的角速度，A项正确，C项错误；由GMmr2=mv2r知，卫星的线速度v=GMr，可见“北京三号”卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度，B项错误；由GMmr2=ma知，卫星的加速度a=GMr例11D解析由题意可知木卫三的轨道半径r3=nr，由GmMr2=m2πT2r可得r=3GMT24π2，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径r1=nr316，木卫二轨道半径r2=nr34，A、B两项错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，C项错误；根据万有引力提供向心力，分别有Gm1M木(nr)2例12AC解析在北极有FN1=GMmR2，在赤道有GMmR2-FN2=mR4π2T2，根据题意，有FN1-FN2=ΔN，联立解得T=2πmRΔN，A项正确，B项错误；由万有引力提供同步卫星的向心力有GMm'r2=m'4π2rT2，可得r3=例13A解析设该星球表面重力加速度为g星，地球表面重力加速度为g地。小球在地球和在该星球表面做竖直上抛运动的总时间分别为t=2v0g地和t'=2v0g星，则g地=2v0t，g星=2v0t'，因初速度相同，t'∶t=4∶1，因此，该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比g星∶g地=1∶4，C项错误。根据万有引力等于重力，有GMmR2=mg，得M=gR2G，该星球和地球表面的重力加速度之比为1∶4，半径之比为1∶4，所以该星球和地球的质量之比M星∶M地=1∶64，B项错误。根据密度公式ρ=MV=M43πR3，结合M=gR2G，得ρ=3g4πGR，ρ与g成正比，与R成反比，可知该星球密度与地球密度之比例14C解析因为双星的角速度相等，且rA<rB，由v=rω得vA<vB，即A的线速度一定小于B的线速度，A项错误。由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由万有引力提供向心力有GmAmBL2=mAω2rA和GmAmBL2=mBω2rB，联立可得mArA=mBrB，因为rA<rB，所以mA>mB，即A的质量一定大于B的质量，B项错误。再结合rA+rB=L，mA+mB=M，T=2πω，联立可得T=2πL3GM，由此式可知，若L一定，则M越大，T越