工程力学（第三版）课件：空间力系

空间力系任务一认识空间力系任务二空间力系的简化和平衡物体的重心（形心）任务三96任务一认识空间力系97学习目标1．了解空间力系的概念及类型。2．掌握力在空间直角坐标系坐标轴上投影的方法。3．掌握交于一点且相互垂直的三力的合成方法。98任务描述如图a所示，在车床上车削工件外圆时，车刀刀尖受工件材料切削阻力作用，用测力计测得径向力Fx=4.5kN，轴向力Fy=6.3kN，圆周力Fz=18kN。试求刀尖所受合力的大小，以及它与工件径向（x轴）、轴向（y轴）和切向（z轴）的夹角。99车削时的空间力系相关知识一、空间力系的类型空间力系是工程实际中常见的一种力系，例如减速器中的输入轴、齿轮的轮齿、许多刀具的受力等都是空间力系作用的实例。按照力在空间的分布情况，可将空间力系分为空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系和空间任意力系。100空间汇交力系101空间平行力系空间力偶系二、力在空间直角坐标系坐标轴上的投影在求解空间力系的平衡问题时，因作图较为困难，故不宜采用几何法，只能用解析法。解析法的基础是计算力在坐标轴上的投影，下面介绍计算力在空间直角坐标系坐标轴上投影的两种方法。1．一次投影法（又称直接投影法）102一次投影法2．二次投影法（又称间接投影法）103二次投影法三、交于一点且互相垂直的三力的合成前面讨论的是已知力的大小和方向，求力在坐标轴上的投影；反之，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy和Fz，该如何计算力F的大小和方向余弦呢？步骤如下：1．利用平行四边形公理求得Fx和Fy的合力Fxy。2．利用平行四边形公理求得Fz与Fxy的合力F，即求出Fx、Fy和Fz三个力的合力F，显然，合力也作用于O点。104交于一点且相互垂直的空间三力的合成如图所示，若以已知的三个分力为棱边作一直角平行六面体，则此六面体的对角线就是三个力的合力。这种合成方法称为力的直角平行六面体法则。105交于一点且相互垂直的空间三力的合成合力F的大小为：合力F的方向余弦为：106任务二空间力系的简化和平衡107学习目标1．掌握力对轴之矩的概念。2．掌握空间力系合力矩定理。3．掌握空间力系的平衡条件和平衡方程。4．掌握空间力系平衡的平面解法。108任务描述任务1：已知作用在空间C点的力F=100N，α=60°，β=30°，其他尺寸如图所示，试求力F对三坐标轴之矩。F对轴之矩109任务2：传动轴AB如图a所示，轴两端以轴承A和B支承，A为向心推力轴承，B为向心轴承，轴上安装有齿轮C和D，其分度圆直径分别为dC=30cm，dD=48cm，且AC=CD=DB=30cm。作用在齿轮上的径向力FCr=150N，FDr=120N，圆周力FCt=160N，FDt=100N。传动轴匀速转动。试求轴承A和B受力的大小。110传动轴受力分析111相关知识一、空间任意力系的简化如图a所示，在物体上作用有空间任意力系F1、F2、…、Fn，仿照前面介绍的平面一般力系的简化方法，将此空间任意力系进行简化。空间任意力系的简化其实和平面一般力系的简化是一样的，可在物体内任取一点O作为简化中心，根据力的平移定理，可将图中各力平移到O点（简化中心），并加上相应的附加力偶，这样就可以得到一个作用于简化中心O点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系，如图b所示。再将作用于简化中心的空间汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，便可以得到一个作用于简化中心O点的主矢FR′和一个主矩MO，如图c所示。112空间任意力系的简化1131．力对轴之矩在平面力系中，物体只能在平面内绕某点转动，用力对点之矩来度量力使物体发生转动的效果，如图a所示。而在空间力系中，物体能绕轴转动，故而用力对轴之矩来度量力使物体转动的效果，如图b所示。114力对轴之矩与力对点之矩的关系下面以如图所示的门绕z轴的转动为例进一步讨论力对轴之矩。在图中，F1、F2与z轴同在该门平面内，显然，都不能使门产生绕z轴转动的效果。故当力与轴在同一平面内（包括力与轴平行或相交）时，力对轴之矩为零。F3与z轴不在同一平面内，有使门绕z轴转动的效果。115力对轴之矩2．空间力系合力矩定理在空间直角坐标系中，求力对任一轴之矩同样可引用合力矩定理。空间力系的合力对于任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和，这就是空间力系对轴之矩的合力矩定理，即：其中，由于Fz平行于z轴，故其对z轴之矩为零。116二、空间力系的平衡空间任意力系向一点简化的结果也得到一个主矢和一个主矩，所以当主矢和主矩都等于零（它们在坐标轴上的投影为零）时，空间力系为平衡力系，即空间任意力系平衡的必要与充分条件：力系的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零，即117不同的是，平面力系的主矩MO是代数量，而空间力系的主矩MO是矢量。在平面力系中，由于各力与矩心都在同一平面内，因而力使物体绕平面内某一点转动只能有顺时针和逆时针两种转动效果。但在空间力系中，各力和同一矩心分别构成不同的平面，这样一来，力使物体绕矩心转动的效果不仅取决于力矩的大小和转向，而且还取决于力和矩心所构成的平面的方位。所以在空间力系中，力对点之矩也要用矢量表示。1181．空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系的平衡条件和平衡方程见表。119空间力系的平衡条件和平衡方程120空间力系的平衡条件和平衡方程2．空间力系平衡的平面解法当空间力系是平衡力系时，其投影到三个相互垂直的坐标平面上而得到的三个平面力系也一定是平衡力系。只要能正确地将空间力系投影到三个坐标平面上，则可将空间力系转化成平面力系，即把较复杂的空间力系平衡问题转化为较简单的平面力系平衡问题来处理，这种转化方法称为空间力系平衡的平面解法，也称投影法。其优点是图形简明，几何关系清楚，故在工程中应用广泛。具体步骤如下：（1）确定研究对象，画出受力图。（2）选取空间直角坐标系坐标轴，利用力的分解使各力或分力分别与三个坐标轴平行。（3）将受力图分别向三个坐标平面投影，画出其平面受力图。（4）分别计算各平面受力图的平衡问题。121任务三物体的重心（形心）122学习目标1．理解重心与形心的概念及计算方法。2．掌握确定重心与形心的方法。123任务描述如图所示的Z形钢截面，可将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个规则图形，面积A1=2cm×1cm=2cm2，其形心坐标是x1=-1cm，y1=4.5cm。Ⅱ和Ⅲ两个图形的面积分别是多少？此Z形钢截面的重心坐标又是多少？124Z形钢截面相关知识一、重心与形心概述1．重心物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。物体的每一微小部分都受地球引力作用，即每个微小体积上都有重力作用。这些重力，可以看成铅垂向下的同向平行力系，其合力就是物体的重力。无论物体如何放置，重力的作用线总是通过固定于物体的空间坐标系中的一个确定点，此点是物体各微小部分重力的合力的作用点，而与物体的放置情况无关，所以称为重心。1252．形心匀质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的质量无关，故匀质物体的重心就是其形心。126车轮的重心与形心二、确定物体重心的方法1．实验法（1）垂吊法如图所示为用垂吊法确定重心，已知匀质等厚度开口圆环的圆心为O点，OA是开口圆环的对称轴，由对称性可知，匀质等厚度开口圆环的重心在对称线OA上。由于开口，O点已不是物体的形心，当然也不是物体的重心。127用垂吊法确定重心垂吊法是将重力为W的物体在任意一点用力F将其吊起，其平衡后的位置如上图所示。物体受F和W二力作用而处于平衡，即F=W，且重力W与F必须共线而反向，故可知重力W的作用点（重心）一定在BC连线上。由对称性可知匀质等厚度开口圆环的重心在对称线OA上，由垂吊法又知其重心在BC连线上，故物体的重心应当在OA与BC两条直线的交点C处。一般来说，任何复杂形状的物体（无论是否为匀质物体），其重心都可用垂吊法来确定。对于任一非匀质物体，可在不同位置垂吊两次（平面）或三次（空间），由重力作用线的交点即可确定物体的重心位置。128（2）称重法对于一些质量大、不便于垂吊的物体，可以用称重法确定其重心位置。129用称重法确定重心2．计算法（1）积分法积分法主要用于求形状简单的匀质物体的重心。计算时，应用重心坐标的积分形式公式求解。通常将积分结果列表于有关工程手册中，以备查用。常见的形状简单的匀质物体重心的位置坐标公式见表。130131形状简单的匀质物体重心的位置坐标公式132形状简单的匀质物体重心的位置坐标公式133形状简单的匀质物体重心的位置坐标公式134形