十年高考数学真题分类：7 2　空间点 线 面的位置关系

7.2空间点、线、面的位置关系

考点1点、线、面的位置关系

1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()

A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行

B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行

C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线

······

D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

······

答案D若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行

于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,

在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由

线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.

2(2021全国乙理,5,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为

()

A.

ππππ

2B.3C.4D.6

答案D解题指导:利用平移法,连接BC1,则BC1∥AD1,得∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与PB

所成的角.

解析如图所示,连接BC1,C1P,易知四边形ABC1D1是平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其补角)就

是异面直线AD1与BP所成的角,设正方体的棱长为a,则BC1=a,C1P=a,连接AC、BD,设AC交BD于

2

22

点O,连接OP,则OP⊥平面ABCD,∵OB平面ABCD,∴OP⊥OB,∴PB=a.在C1BP

2

226

⊂�+2�=2△

中,∠,∴∠,即直线与所成的角为故选

cosPBC1=222PBC1=PBAD1.D.

��+��1−��13ππ

2��·��1=266

方法总结:用几何法求异面直线所成角的具体步骤:

3.(2016课标Ⅰ,理11,文11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α

∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()

A.B.C.D.

3231

答案2A如图2,延长B1A1至3A2,使A2A1=3B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥

A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.

∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.

于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m,n所成的角为60°,其正弦值为.选A.

3

2

4.(2014大纲全国理,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

1231

答案4B在平4面α内过点4C作CE∥A2B,则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角(或其补角),不妨取CE=1,过

点E作EO⊥β于点O.

在平面β内过点O作OH⊥CD于点H,连接EH,则EH⊥CD.

因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l,又因为EO⊥β,所以CO⊥l.

所以∠ECO为二面角α-l-β的平面角,即∠ECO=60°.

因为∠ACD=135°,CD⊥l,所以∠OCH=45°.

在Rt△ECO中,CO=CEcos∠ECO=1×cos60°=.

1

2

在Rt△COH中,CH=COcos∠OCH=cos45°=.

12

24

Rt△ECH,cos∠ECH===.

在中2

𝐶42

所以异面直线AB与CD所成𝐶角的1余4弦值为.选B.

2

5.(2014大纲全国文,4,5分)已知正四面体4ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为

()

A.B.C.D.

1313

答案6B如图6,取AD的中3点F,连接3EF、CF.

因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EFBD,故∠CEF或其补角是异面直线CE、BD所成的角.

1

2

设正四面体ABCD的棱长为a,易知CE=CF=a,EF=a.在△CEF中,由余弦定理可得cos∠

31

22

222

CEF=313=.故选B.

2a+2a−2a3

316

2×2a×2a

6.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()

A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥m

C.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m

答案A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m

可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与

β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.

7.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则

下列命题正确的是()

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

答案D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面

直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.

解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2

都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.

8.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

答案B若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,

故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.

9.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一

定正确的是()

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

答案D由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,

若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,

若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.

评析本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.

10.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()

A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α

B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α

C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α

D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α

答案C对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,

故选C.

11.(2013课标Ⅱ理,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,

则()

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

答案D若α∥β,则m∥n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,α与β相交.将已知条件转化到正方体

中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.

导师点睛对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.

12.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()

A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n

B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n

C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β

D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

答案D若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,故A错;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,也可能

异面,故B错;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,

又知n∥β,故α⊥β,所以D项正确.

13.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不．正．确．的是

()

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案D∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.

又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.

其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.

设AC与DB交于O点,连接SO.

则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,

又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.

由排除法可知选D.

评析本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.

14.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()

A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n

答案C∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.

15.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径

5

的球面与侧面BCC1B1的交线长为.

答案

2π

2

解析易知四边形A1B1C1D1为菱形,∠B1A1D1=60°,连接B1D1,则B1C1D1为正三角形,

△

取B1C1的中点O,连接D1O,易得D1O⊥B1C1,

∴D1O⊥平面BCC1B1,

取BB1的中点E,CC1的中点F,连接D1E,D1F,OE,OF,EF,易知D1E=D1F=,

5

易知以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线为以O为圆心,OE为半径的,

5��

∵B1E=B1O=1,∴OE=,

同理OF=,易知EF=2,

∴∠EOF=920°,

∴的长=×(2π×)=.

12π

��422

解题关键利用题设条件证明D1O⊥平面BCC1B1,从而说明球面与侧面BCC1B1的交线是以O为圆心,OE

为半径的是解题的关键.

��

16.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

答案②③④

解析若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能平行或相交,故①错误;②显然成立;若α∥β,m⊂α,则m与β无公共

点,因而m∥β,故③正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.

17.(2015浙江,13,5分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则

异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.

答案

7

解析连8接DN,取DN的中点H,连接HM,由N、M、H均为中点,知|cos∠HMC|即为所求.因为

AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N为AD,BC的中点,所以CM⊥AD,AN⊥BC,所以

CM==2,AN==2,MH=AN=,HC==,则cos∠

2222122

��−M�2��−N�2