十年高考数学真题分类：5 3 复数 十年高考

5.3复数

考点1复数的概念

1.(2023新课标Ⅱ,1,5分,易)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A(1+3i)(3-i)=6+8i,对应的点(6,8)位于第一象限,故选A.

2.(2023全国乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.D.5

答案C|2+i2+2i3|=5|2-1-2i|=|1-2i|=,故选C.

5

3.(2023北京,2,4分,易)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数

=()3

A�.1+i

C.-1+3iB.1−3i

答案3Di由题知复D.数−z1=−-1+3i,则i.

4.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+a3i)i=3+�i(=i为−虚1数−单位3),则a=()

A.-1B.1C.-3D.3

答案C解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.

解析由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.

方法总结设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是

�=�,

5.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则�=�.()

A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3

答案B∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.

6.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

答案B由i·z=3-4i可知,z==-4-3i,故|z|==5.故选B.

3−4i(3−4i)·(−i)22

i=i(−i)(−4)+(−3)

7.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+=()

A.-2B.-1C.1D.2�

答案D由题意知1-z==-i,所以z=1+i,则=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.

1

i

8.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其�中a,b为实数�,则()

A.a=1,b=-1B.a=1,b=1

C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

答案A由题意知(a+b)+2ai=2i,

所以解得故选A.

�+�=0,�=1,

9.(20222�全=国2,乙理,2,5�分=)−已1知,z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则()

A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2�

C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2

答案A由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以

���

a+b+1+(2a-2)i=0,所以解得故选A.

�+�+1=0,�=1,

10.(2021全国乙理,1,5分2�)−设22=(z+0,)+3(z-)�=4=+−6i,2则,z=()

A.1-2iB.1+2iC.1+�i�D.1-i

答案C设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.

故选C.���

11.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则=()

A.1+2iB.-1+2i�

C.1-2iD.-1-2i

答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素

养.

∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴=-1-2i,故选D.

解题关键正确理解共轭复�数的概念是求解的关键.

12.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选

C.

13.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()

A.B.C.D.2

12

2

答案2C本题2考查复数的运算及复数的模.

∵(1+i)z=2i,∴z====1+i.

2i2i(1−i)2(1+i)

1+i(1+i)(1−i)2

∴|z|==.

22

1+12

一题多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即·|z|=2,∴|z|=.

22

1+12

14.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)

答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.

A.i(1+i)2=i×2i=-2;

B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;

C.(1+i)2=2i;

D.i(1+i)=-1+i,故选C.

15.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()

A.1B.C.D.2

答案B∵x,y2∈R,(1+i)x3=1+yi,∴x+xi=1+yi,

∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.

�=1,22

1+12

评析�=本1,题考查复数相等的条件,属容易题.

16.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,

∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.

解后反思将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.

评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.

17.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=()

A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i�

答案Cz=3-2i,所以=3+2i,故选C.

�

18.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则=()

�

|�|

A.1B.-1C.+iD.-i

4343

5555

答案D由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.

22�43

3+4�

|�|55

19.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()

2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限1−iD.第四象限

答案B∵==-1+i,∴复数在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.

2i2i(1+i)2i

1−i21−i

20.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=()

1+�

A.1B.C.D.21−�

23

答案A由已知=i,可得z====i,∴|z|=|i|=1,故选A.

2

1+�i−1(i−1)−2i

21.(2015湖北理,11−,�5分)i为虚数i+单1位(i+,i16)0(7i的−1共)轭−复2数为()

A.iB.-iC.1D.-1····

答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,

∴i607的共轭复数为i.

22.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

答案A由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.

23.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.

24.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=+i,则|z|=()

1

1+i

A.B.C.D.2

123

222

答案Bz=+i=+i=+i,因此|z|===,故选B.

22

11−i111112

+

25.(2013课标1+Ⅰi理,22,5分2)若2复数z满足(3-42i)z=|42+3i|,则2z2的虚部为()

A.-4B.-C.4D.

44

55

答案D∵|4+3i|==5,∴z===+i,虚部为,故选D.

2255(3+4i)344

4+3

3−4i25555

26.(2013课标Ⅱ文,2,5分)=()

2

1+i

A.2B.2C.D.1

22

答案C==|1-i|=.选C.

22(1−i)

2

27.(2016课1标+iⅡ,1,52分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是

()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+∞)D.(-∞,-3)

答案A由已知可得⇒⇒-3<m<1.故选A.

�+3>0,�>−3,

方法总结复数的实部、�虚−部1分<别0是其�在<复1平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对

应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.

28.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()

A.1+2iB.1-2i�

C.-1+2iD.-1-2i

答案B设z=a+bi(a、b∈R),则2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.

29.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i�)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.

答案2

解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.

∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,

∴a-2=0,解得a=2.

解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.

30.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.

答案

解析本1题0考查复数的运算.

∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,

∴|z|==.

22

3+(−1)10

31.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.

答案5

解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.

32.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.

答案-1

解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.

33.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.

答案-2

解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,

∴解得a=-2.

1−2�≠0,

34.2(2+01�5=重0庆,理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=.

答案33

解析复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.

22

�+�3

考点2复数的运算

1.(2024全国甲理,1,5分,易)若z=5+i,则i(+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2z

A

1

∵=5-i,∴i(+z)=i(5-i+5+i)=10i,故选A.

2.(2024Ⅱ,1,5,)z=-1-i,|z|=()

z新课z标分易已知则

A.0B.1C.D.2

2

C

1

∵z=-1-i,∴|z|==,故选C.

22

3.(2024北京,2,4(分-1,)易+)若(复−数1z)满足2=-1-i,则z=()

z

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i�

C

2

z=i(-1-i)=1-i,故选C.

4.(2024新课标Ⅰ,2,5分,易)若=1+i,则z=()

z

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+iz-1

C

2

·

依题意知z=(z-1)(1+i)=z(1+i)-1-i,则z===1-i.故选C.

·

1+�(1+�)(-�)

��(-�)

5.(2023全国甲理,2,5分,易)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1,故选C.

2�=22,

1−�=0,

6.(2023新课标Ⅰ,2,5分,易)已知z=,则z-=()

1−i

A.-iB.iC.0D.12+2i�

答案,∴,∴,故选

Az==2==-i=iz-=-iA.

1−i(1−i)−2i11

2(1+i)2(1+i)(1−i)42�2�

7.(2023全国乙理,1,5分,易)设z=,则=()

2+i

25

A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+1+ii+i�

答案Bz==-(2i-1)=1-2i,则=1+2i,故选B.

2+i2+i(2+i)i

252

1+i+i=1−1+i=i�

(全国甲文,,分,易)()

8.2023253=

5(1+i)

A.-1B.1C.1-iD.1+(2i+i)(2−i)

答案故选

C3===1-i.C.

5(1+i)5(1−i)5(1−i)

2

(2+i)(2−i)4−i5

9.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2i�D.4+2i

答案C∵z=2-i,∴=2+i,

∴z(+i)=(2-i)(2+i+i)�=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.

10.(2�022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

答案D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.

11.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3|=()

�

A.4

答案5D∵z=1B+.i4,∴2iz=i-1,3=C3.(21-i5)=3-3i,D.22

∴iz+3=2-2i,∴|iz+3�.故选D.

12.(20�21全国甲理,3�,|5=分2)已2知(1-i)2z=3+2i,则z=()

A.-1-i

33

C.-2iB.−1-+i2

33

2+iD.−2

答案B解法一:由题意得z=i.

3+2i3+2i(3+2i)·i−2+3i3

2

(1−i)=−2i=(−2i)·i=2=−1+2

解法二:设z=a+bi(a,b∈R).

由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,

∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,

∴a=-1,b=,∴z=-1+i.故选B.

33

13.(2022全2国甲理,12,5分)若z=-1+i,则=()

�

3��−1

A.-1+i

1313

3iB.−1−3iC.−3+3iD.−3−3

答案C因为z=-1+i,所以i,故选C.

�−1+3i−1+3i13

3��−1=(−1+3i)(−1−3i)−1=1+3−1=−3+3

14.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

答案C解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;

解法二(待定系数法):利用方程思想求解.

解析解法一:由题意得z==3-4i,故选C.

4+3i(4+3i)i4i−3

2

i=i=−1

解法二:由题意,设z=a+bi(a,b∈R),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C.

易错警示学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错.

15.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)·z=2,则z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

答案D解法一:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以解得a=b=1,所以

�+�=2,

z=1+i.故选D.�−�=0,

解法二:因为(1-i)·z=2,所以z==1+i,故选D.

22(1+i)

1−i=(1−i)(1+i)

16.(2020新高考Ⅰ,2,5分)=()

2−i

1+2i

A.1B.-1C.iD.-i

答案D=-i.故选D.

2−i(2−i)(1−2i)−5i

1+2i=(1+2i)(1−2i)=5

17.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=,则|z|=()

3−i

A.2B.C.1+D2.i1

答案C本题3考查复数的四2则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.

∵z==

3−i(3−i)(1−2i)

1+2i(1+2i)(1−2i)

===-i,

2

3−7i+2i1−7i17

2

1−(2i)555

∴|z|==,故选C.

22

17

+−22

易错警示5易将i误5算为1,导致计算出错.

18.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·=()

A.B.C.3D.5�

答案3D本题主5要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运

算.

∵z=2+i,∴=2-i,∴z·=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.

19.(2018课�标Ⅱ文,1,�5分)i(2+3i)=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

答案D本题主要考查复数的四则运算.

i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.

20.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

答案D本题考查复数的运算.

(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.

21.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()

1

A.第一象限B.第二象限1−i

C.第三象限D.第四象限

答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.

∵==+i,∴其共轭复数为-i,又-i在复平面内对应的点在第四象限,故选D.

11+i11111111

,−

221.−(i20(17−课i)(标1+Ⅱi)文2,2,5分)(1+i)(2+i)2=(2)2222

A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i

答案B本题考查复数的基本运算.

(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.

23.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

答案A本题考查复数的运算.

由zi=1+i得z==1-i,

1+i

所以z2=(1-i)2=-2ii,故选A.

24.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则=()

4i

A.1B.-1C.iD.-i��−1

答案C∵z=(1+2i)(1-2i)=5,∴==i,故选C.

4i4i

�

��−14

25.(2016北京文,2,5分)复数=()

1+2i

A.iB.1+iC.-i2−iD.1-i

答案A====i,故选A.

2

1+2i(1+2i)(2+i)2+i+4i+2i5i

2

26.(2015课2标−iⅡ理(2−,2i),(52+分i)若a为4−实i数,且5(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()

A.-1B.0C.1D.2

答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,

∴解得a=0.

4�2=0,

27.�(2−0145课=−标4Ⅰ,文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

答案C由已知得z=+1=2-i,故选C.

1+i

i

28.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且=3+i,则a=()

2+�i

A.-4B.-3C.3D.41+i

答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.

29.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()

A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i

答案C(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.

30.(2015湖南文,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()

2

(1−i)

A.1+iB.1-iC.-1+i�D.-1-i

答案Dz====-i(1-i)=-1-i.故选D.

2

(1−i)−2i−2i(1−i)

1+i1+i(1+i)(1−i)

31.(2014课标Ⅰ理,2,5分)=()

3

(1+i)

2

A.1+iB.1-iC.-(11−+ii)D.-1-i

答案D=·(1+i)=·(1+i)=-1-i,故选D.

322

(1+i)(1+i)1+i+2i

222

(1−i)(1−i)1+i−2i

32.(2014课标Ⅱ文,2,5分)=()

1+