第03讲集合的基本运算-

第03讲集合的基本运算知识点一：并集图形语言：并集的性质：【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．知识点二：交集图形语言：理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.交集的性质：知识点三：补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.【思考】全集一定是实数集R吗？全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.（2）补集的概念自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.图形语言：补集的性质(1)交换律A⋃B=B⋃A，A⋂B=B⋂A；(2)结合律A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)，A⋂B(3)分配律A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C)，A⋃B(4)德摩根律∁UA⋃B【特别提醒】(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；知识点四：运算律(1)交换律A⋃B=B⋃A，A⋂B=B⋂A；(2)结合律A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)，A⋂B(3)分配律A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C)，A⋃B(4)德摩根律∁UA⋃B（5）容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：解题方法1.求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．2.集合并集运算应注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．3.求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．4.求集合A∩B的步骤：(1)搞清集合A，B的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；(3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅)5.求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．运用补集思想解题的步骤当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为：第一步：否定已知条件，考虑反面问题；第二步：求解反面问题对应的参数范围；第三步：取反面问题对应的参数范围的补集。6.解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到.交集、并集、补集的基本运算方法1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分；3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。7.韦恩图的应用韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．8.集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．9.、利用交并补求参数范围的解题思路若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若A有参数，则需要讨论A是否为空集；题型1：交集的概念及运算【答案】B2.求下列每对集合的交集：【答案】(1)(2)【分析】根据集合交集的定义即可求解.（3）如图所示，在数轴上表示出集合和集合的范围，

（4）因为既是菱形，又是矩形的是正方形，3.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝．【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．【答案】D【分析】化简集合，结合交集的定义求结论.故选：D．【答案】B【分析】先求集合A再求集合B，最后利用交集的概念求解即可.故选：B6.已知集合A={x|-3<x<0}，B=-3,-2,-1,0，则A∩B=（

A．∅ B．-2,-1 C．-3,-2,-1 D．-3,-2,-1,0【解题思路】根据交集的定义计算可得.【解答过程】因为A={x|-3<所以A∩故选：B.【答案】C【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.故答案为：.9.若集合A=-2,0,2，B=xx2=2xA．-2,0 B．2 C．-2,2 D．0,2【解题思路】首先求解集合B，再求解两个集合的交集.【解答过程】由题意可知A=-2,0,2，B=故选：D.10.设A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2}【解答】解：A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，联立，解得，故A∩B＝{（1，2）}．故选：C．A．2B．3C．4D．5【答案】C可以用文氏图直观地反映A∩B的几种不同情况（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集；（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∩B＝A；（３）表示集合A与B没有公共元素的情况，此时A∩B＝∅．题型2：根据交集结果求集合或参数A．B．C．D．【答案】B【答案】1故答案为：1.3.设集合A={5,a+1}，B={a,b}，若A∩B={2}，则a+b=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据集合相等的定义求解即可.【解答过程】因为集合A={5,a+1}，B所以a+1=2b=2所以a+故选：C.4.已知集合M⊆1,2,3,4，且M∩1,2=1,2，则集合A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法能够写出满足条件的集合M，由此能够求出结果.【解答过程】∵集合M⊆1,2,3,4，且∴满足条件的集合M为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，共有4个，故选：D.【答案】2【分析】根据交集的定义求解即可.所以故答案为：2.A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【分析】根据集合的交集运算和集合中元素的特性列出关于的方程，即可求解.故选：D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用交集的结果求出范围.故选：C【答案】A故选：A9.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（

）A．-1,2 B．2,+∞ C．-1,+∞【解题思路】在数轴上表示出集合A,【解答过程】由已知条件在数轴上表示出集合A,由此可知a>-1，所以a的取值范围是-1,+∞故选:D.【答案】B故选：B.【答案】DA．0 B． C． D．3【答案】ABC【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的.故选：ABC.【分析】（1）首先求集合，再求交集；【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算；题型3：并集的概念及运算【答案】D【分析】根据集合的并集运算，即可得答案.故选：D2.满足条件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（）A．4个 B．8个 C．16个 D．32个【解答】解：∵{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}∴7∈M，且9∈M∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9}故选：B．【答案】C【分析】求出集合，依据并集的定义计算即可.故选：C【答案】C【分析】根据一元二次方程的根化简两个集合，即可由并集的定义求解.故选:C．【答案】C【分析】应用集合的并运算求集合.故选：C【答案】B故选：B【答案】D【分析】求解集合，再利用并集运算即可得解.故选：D.【分析】根据集合的并集定义运算求解即可.【答案】B【答案】A11.设集合A=x-2≤x≤3,B=x-1≤x-2<3A．x-2≤x<5 B．x1≤x≤3 C．x【解题思路】先求出集合B，再由并集的定义求解即可.【解答过程】因为集合A=所以A∪B=故选：A.可以用文氏图直观地反映A∪B的几种不同情况，如图其中阴影部分表示A∪B．（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时A和B都是A∪B的真子集（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∪B＝B（３）表示集合A与B没有公共元素的情况题型4：根据并集结果求集合或参数【答案】D故选：D．2.已知集合A=2,3,4,5,6，B=1,a+2,2a+1，若A∪B=1,2,3,4,5,6，则a=A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据并集的定义结合集合的互异性可求.【解答过程】由B=1,a+2,2a+1，得a+2≠1故A错；又A∪若a=2，则a+2=2+2=4，若a=3，则a+2=3+2=5，若a=4，则a+2=4+2=6，故选：B.3.已知集合A=1,3,A∩B=1,A∪B=0,1,3A．0,3 B．0,1 C．1,3 D．1【解题思路】根据交集、并集运算结果分析求解.【解答过程】因为A=1,3,又因为A=1,3,综上所述：B=0,1故选：B.A．1B．C．8D．【答案】D【解析】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素．A．0 B．1 C． D．0或【答案】D故选：D.【答案】D故选：D.【答案】A故选：A.【答案】ABD【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解.题型5：根据并集结果求集合元素个数A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据并集的概念和运算即可.故选：CA．1 B．7 C．8 D．16【答案】C所以集合的个数是8个.故选：C．A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C故选：C.题型6：补集的概念及运算【答案】A【分析】根据补集定义易得.故选：A.【答案】7【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数.故答案为：73.已知全集U=-2,-1,0,1,2，集合A=-2,-1,0，则∁UA．1,2,3 B．1,2 C．0,2 D．1,2【解题思路】根据补集概念求解出结果.【解答过程】因为U=-2,-1,0,1,2，所以∁U故选：B.【答案】C【答案】A【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据补集、交集的定义计算可得.【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案.8.若全集U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2}，则（A．A⊆B B．B⊆AC．∁UA⊆B【解题思路】根据子集的定义结合补集运算即可判断.【解答过程】因为U=R,所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集，又∁UA={x|故选：D.【答案】B题型7：根据补集结果求集合或参数A．3 B．1 C．4 D．2【答案】C【分析】由补集运算求得集合，再根据子集的概念即得.故选：C.A．B．C．D．【答案】AA．B．C．D．0【答案】AB【答案】所以实数的值为.【答案】【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解.故答案为：【答案】1故答案为：1；.【答案】C【分析】根据全集及补集写出集合A即可.故选：CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.故选：B.题型8：交并补混合运算【分析】由集合的交集，并集，补集的运算求解即可.2.设集合U=1,2,3,4,5，T=1,3,5，S=1,2,4，则S∩A．2 B．1,2 C．2,4 D．1,2,4【解题思路】根据交集与补集的定义求解即可.【解答过程】由题意∁UT=故选：C.【答案】A【答案】B【答案】D故A、B、C错误，D正确.故选：D．6.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（

）【答案】D7.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个.【答案】16【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}，所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6，所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9，集合A、B中没有0，1，10，综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10，10已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∪B＝[0，+∞）．11.设集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，则＝．【解答】解：由|2x﹣1|＜3，得﹣1＜x＜2，故A＝{x|﹣1＜x＜2}，所以当全集U＝R时，＝{x|x≤﹣1或x≥2}．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．12.已知全集U＝R，集合，则＝．【解答】解：不等式化为：，即，x（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞0，则M＝{x|x＜﹣1或x＞0}，所以．13.已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}．（1）求A∩B、A∪C；（2）若全集U＝R，求∩B．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜8}，∴A∩B＝{x|3≤x＜6}，A∪C＝{x|x≤﹣3或x＞﹣2}；（2）∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}，∴＝{x|﹣3＜x＜3}，∴∩B＝{x|2＜x＜3}．【分析】根据交集、补集、并集的定义求解即可.【答案】D【分析】解法一：根据集合的交集和补集运算求解即可；解法二：取特值检验即可.故选：D.【答案】C17.已知集合A={x∣-1<x<2},B={x∣-2<x<1}，则集合∁A∪BA∩B=A．-1,1 B．-2,2 C．-2,-1∪1,2【解题思路】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解．【解答过程】由题意，A∩B=故选：D.18.设集合U=R，集合M=x|x<1，N=x|-1<x<2，则x|x>-1A．∁U(M∪N) B．N∪∁U【解题思路】根据集合的运算法则计算可得.【解答过程】因为M=x|所以M∪N=所以∁UM∪N=∁UM=x|所以N∪∁UM=x|故选：B.【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果.A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【详解】解：由题意得：21.设全集U为自然数集N，记E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示为（）A．E∪F B． C． D．【解答】解：因为E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}＝{x|x＝2•2n，n∈N}，故F⊆E，所以E∪F＝E，不符合题意；∪F≠N，B不符合题意；E＝N，C符合题意；＝，D不符合题意．故选：C．【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解；（2）根据补集和交集的概念，即可求解.【分析】先将集合化简，然后分别计算即可.【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解；（2）由交集、并集、补集运算即可求解；题型9：根据交并补混合运算确定集合或参数1.已知集合P=x∣-2≤x≤10,Q=x∣1-m≤x≤1+m.若Q∩∁UA．m≤3 B．m≥9 C．m≤3或m≥9 D．3≤m≤9【解题思路】由Q∩∁UP=∅，得到Q【解答过程】由Q∩∁分两种情况考虑：①当1-m>1+m，即m②当1-m≤1+m，即m解得：0≤m≤3，综上得：m≤3，则实数m故选：A.2.已知集合A=x3≤x<7，B=xx>m，若∁RA．m<3 B．m>3 C．m<7 D．m>7【解题思路】根据题意，求得∁RA={x|【解答过程】由集合A=x3≤x<7，B因为∁RA∪故选：A.3.已知U=R，集合A=xx2-x-2=0，B=x|mx+1=0，A．-12或1 B．-12或0 C．1或0 D．【解题思路】求出集合A中方程的解确定A，即可求出∁UA，根据B∩∁U【解答过程】由题可知，A={2,-1}，则∁UA因为B=所以当m=0时，B=∅，则当m≠0时，B由B∩∁UA=∅知，-1m综上所述，实数m为0或1或-1故选：D．【答案】C5.已知集合A＝{x||x﹣1|＞2}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（）A． B． C．[0，1] D．【解答】解：集合A＝{x||x﹣1|＞2}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，集合B＝{x|mx+1＜0}，A∪B＝A，∴B⊆A，当m＝0时，B＝∅，满足要求；当m＞0时，B＝{x|x＜﹣}，由B⊆A，得﹣，解得m≤1，∴0＜m≤1；当m＜0时，B＝{x|x＞﹣}，由B⊆A，得﹣≥3，解得m，∴﹣．综上，m的取值范围是[﹣]．故选：B．【答案】1或3或4.综上实数的值为1或3或4.【答案】【分析】（1）根据交集概念求出答案；(1)求集合【分析】（1）由补集的运算，可得答案；（2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，分别建立不等式组，可得答案.(1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值；【答案】(1)9【答案】(1)15.已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求；（2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）解不等式1≤3x≤27可得：0≤x≤3，所以集合A＝[0，3]，又由已知可得＝（﹣∞，1]，所以A＝（﹣∞，3]；（2）因为A∩C＝C，则C⊆A，当C＝∅时，a﹣1＞2a，解得a＜﹣1满足题意，当C≠∅时，只需，解得1，综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣1）．题型10：Veen图的应用1.图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）【答案】A【分析】根据集合的运算即可得到答案.故选：A.

【答案】C【分析】确定阴影部分表示的集合，结合集合的基本运算可得结果.故选：C.【答案】B【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.故选：BA． B．C． D．【答案】B【分析】首先求集合，再根据两个集合的元素，确定集合的包含关系，即可判断选项.故选：B5.（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）【答案】AD【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得.故选：AD.7.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（

）【答案】C8.已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（）A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪【解答】解：取A＝R，则对任意集合B，都有A∪B＝A∪，故A错误；取A＝∅，则对任意集合B，都有A∩B＝A∩，故B错误；取＝B，则∩B＝∪B，故C错误；对于D，若A＝R，B＝∅，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪；若A＝∅，B＝R，则∩B＝R，A∪＝∅，∩B≠A∪；若A＝B，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪；若A∩B＝∅，如图，则∩B＝B，A∪＝，∩B≠A∪；若A∩B≠∅，如图，则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪；若A⊂B，如图，则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪；若A⊃B，如图，则∩B＝∅，A∪＝，∩B≠A∪．综上所述，∩B＝A∪恒不成立．故选：D．9.如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，则B＝．【解答】解：全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，作出韦恩图，则B＝{a，e}．故答案为：{a，e}．10.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分．【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中；故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B），故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）．11.已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是．（用含A、B或、集合语言表示）．【解答】解：由图可得：图中阴影部分表示的集合是：B∩（∁UA）＝B∩．故答案为：B∩．12.设全集为U＝R，集合，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}．（1）求如图阴影部分；（2）已知C＝{x|3x﹣t＜0}，若B∪C＝C，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）因为集合＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}＝{x|﹣3≤x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，又图中阴影部分为∁A（A∩B）＝{x|1＜x≤2}；（2）因为C＝{x|3x﹣t＜0}＝{x|x}，又B∪C＝C，则B⊆C，则，得t＞3，则实数t的范围为（3，+∞）．13.已知全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,N=-1,0,1,M=A．1,2,3 B．2 C．1,2 D．2,3【解题思路】根据题中条件知，图中阴影部分表示集合M∩【解答过程】因为全集U=所以∁UN=故选：D.14.已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8，集合A={x∈N|x<5}，B=

A．0,2,4 B．2,4C．0,4 D．2,4,6【解题思路】先求得集合A={0,1,2,3,4,5}，得到∁UB【解答过程】由题意，可得A={因为U=0,1,2,3,4,5,6,7,8，可得所以阴影部分所表示的集合为A∩故选：A.15.如图，U是全集，M,P,S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A．M∩P∩S B．C．M∩P∩∁U【解题思路】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果.【解答过程】因为题图中的阴影部分是M∩P的子集，且不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁U故选：C.【答案】D17.（多选）如图中阴影部分所表示的集合是（）【答案】AD18.如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（）【答案】C【解析】阴影部分由两部分构成，其他选项，经过验证均不合要求.故选：C19.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）【答案】C【解析】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，题型11：容斥原理1.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.【答案】B故选：B.3．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可；故选：D.4.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.【答案】44【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.

验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.

故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.故答案为：.5.某校学生积极参加社团活动，高年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名(并非每个学生必须参加某个社团).在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有多少名学生？最少有多少名学生？【答案】同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生.【解析】根据题意直接判断当参加合唱社团的63名学生都参加科技社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，且有63人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最少，且有人.【详解】解：由题意：当参加合唱社团的63名学生都参加科技社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，且有63人；所以同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生.【点睛】本题考查利用补集运算的思想解决实际问题，是基础题.6.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人．A．3 B．9 C．19 D．14【答案】C【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用【分析】利用文氏图，列式求解.【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：故选：C．7.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【知识点】集合的应用、利用Venn图求集合【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，故选：C.

【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.8.七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为.【答案】40【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，故答案为：9.某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有人【答案】5【知识点】利用Venn图求集合【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，故答案为：5.【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.10.某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为_______．【答案】4【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：4A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}，集合{参加游泳队的学生}，三项都参加的有4人，故选：C.题型12：集合新定义1.已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．n﹣m C．m+n D．m﹣n【解答】解：由题意得，＝∁U（A∩B），即（）∪∁U（A∩B）＝U，∵全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，A∩B非空，则A∩B的元素个数为m﹣n．故选：D．2.已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均为整数，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和为270，则集合A中所有元素之和为．【解答】解：∵a1+a3＝0，∴，∵，且a1，a2，a3，a4均为整数，∴，∵A∪B中的所有元素之和为270，而162＝256＜270，172＝289＞270，∵a4＝16时，则a1＝﹣4，a3＝4，∵A∩B＝{a3，a4}，∴＝4，解得a2＝±2，当a2＝2时，A＝{﹣4，2，4，16}，B＝{4，16，256}，则A∪B＝{﹣4，2，4，16，256}，A∪B中所有元素之和为274，不合题意，舍去；当a2＝﹣2时，A＝{﹣4，﹣2，4，16}，B＝{4，16，256}，则A∪B＝{﹣4，﹣2，4，16，256}，A∪B中所有元素之和为270，符合题意．此时集合A中所有元素之和为﹣4﹣2+4+16＝14，当a4＝9，此时a3＝3，但3不是某个整数的平方，不合题意，舍去，同时可知，当a4为其他整数时，均不合题意．故答案为：14．3.设A,B为非空集合，定义A*B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N=xx>2，则M*N=A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x<2或x>3}C．{x|0≤x≤2或x>3} D．{x|0≤x<2}【解题思路】由题意先求M∪N【解答过程】由于M={x|0≤所以M∪所以M*N={故选：C．4.对于集合M，N，定义M-N=xx∈M,x∉N，M⊕N=(M-N)∪(N-M)，设A=x|x≥-94,x∈RA．x|-94<x<0,x∈C．x|x<-94或x≥0,x∈【解题思路】根据M-N=【解答过程】集合A=x|则∁RA=由定义可得：A-B=x|x∈所以A⊕选项ABD错误，选项C正确．故选：C.5.定义集合运算：A⊕B=x,y∣x2∈A,2y∈BA．6,23 B．4,1 C．1,3【解题思路】首先根据集合A,B中的元素球集合A⊕【解答过程】A=当x2=22y=2，或x2=32y=3，或x2所以A⊕B=所以A⊕故选：D.【答案】(1)不是；理由见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断；重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数；所以得证：（3）最小值是7.则有两种情况：综上所述，的最小值为7.(1)求集合；(2)求集合；(3)能，0或（3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解.所以实数的值为0或.(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．【答案】(1)集合P不是集合S的“好子集”；集合Q是集合S的“好子集”；理由见解析(2)证明见解析(3)334所以集合Q是集合S的“好子集”．此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．【点睛】本题是集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况.(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．(2)不存在，理由见解析；【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”；（2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证；所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”.(2)证明见解析【知识点】集合新定义【分析】（1）由性质定义判断，（2）由性质定义证明，理由如下：所以集合具有性质；【答案】(1)不是闭集合，B为闭集合，证明见解析(2)不一定，理由见解析(3)证明见解析【知识点】并集的概念及运算、集合新定义（2）结论：不一定；(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.(2)证明见解析(3)7【知识点】集合新定义【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数综上，集合中元素个数为奇数综合得与中相同位置上的数字不能同时为1，所以集合中元素个数最多为，(2)证明：不存在“减2集”；(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）所以，中至少有一个属于集合，所以，与中至少有一个属于集合矛盾，所以，不存在“减2集”（3）解：存在“减1集”，所以，为奇数，①若中有最大元素，设为，则为奇数，(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质；（3）不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质，故集合B不是单元素集，综上可得：不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质．巩固练习【选择题】【答案】B【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解.故选：B【答案】C【分析】根据并集的定义求解即可.故选：C.【答案】C【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可.故选：C.4.满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（

）A．16 B．8 C．4 D．3【答案】B【分析】根据并集概念逐一列举即可.【详解】解：∵{1，2，3}∪A＝{1，2，3，4}，∴A＝{4}；{1，4}；{2，4}；{3，4}；{1，2，4}；{1，3，4}；{2，3，4}；{1，2，3，4}，则集合A的个数为8．故选：B【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．【答案】C【分析】根据补集和交集的定义运算.故选：C.【答案】C故选：CA． B．0 C． D．1【答案】D【分析】根据交集的结果直接求解即可.故选：D．【答案】A故选：A【答案】C【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可.故选：C.【答案】A【分析】根据交集的定义直接判断即可.故选：A【填空题】1.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有个.【答案】16【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}，所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，故答案为：16【答案】4故答案为：43.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有人．【答案】5【分析】先确定至少有1个项目部会的人数的最大值，再求三个项目都会的人数的最小值.故答案为：5【解答题】【分析】由交集，并集和补集的定义易得结果.【分析】根据集合间运算的定义分别可得解.【分析】（1）根据交集的概念计算；（2）根据并集的概念计算；（3）先求补集，然后求交集即可.(1)求实数，的值；（2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解.【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可；(1)求图中阴影部分表示的集合；【答案】A城市【解析】先从乙说的,可以推出乙可能去过A城市或B城市,再结合甲说的,可以推出甲去过两个城市A,C，乙只能去过A和B城市中的一个,再结合丙说的,利用交集即可得到答案.【详解】先从乙说的出发,可以推出乙可能去过A城市或B城市,再由甲说的,可以推出甲去过两个城市A,C，乙只能去过A和B城市中的一个,再结合丙说的,利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过城市.【点睛】本题考查交集的应用，重点考查学生的逻辑推理能力;属于基础题.(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.【答案】(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解；【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.巩固练习2一、填空题【分析】根据交集定义求解.【分析】利用数轴法根据并集运算法则即可得出结果.【详解】根据并集运算法则，画数轴表示出集合如下图所示3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有个．【答案】4【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果．【详解】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}∴满足条件的集合A有：A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2}∴满足上述条件的集合A共有4个．故答案为：4．【分析】根据集合的交并补运算直接求解.【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集【分析】写出全集U，作出韦恩图，将全集U中的元素放置在合适的区域内即可求出集合A.【分析】利用集合并集、补集以及交集之间的关系求解即可.【答案】故答案为：【答案】0，1，综上，的值是0，1，.故答案为：0，1，.11．（设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为．【答案】故答案为：二、单选题【答案】B【分析】分析集合、的元素特征，再根据交集的定义、空集的定义以及集合的包含关系判断即可.故选：B14．给定全集，，是的子集，且，则（

）．【答案】A【分析】根据集合的包含关系及交集、并集的定义判断即可.【详解】解：因为，是的子集，且，故选：A【答案】B故选:B.【答案】C故选：C三、解答题【分析】根据集合的交集、并集、补集运算求解即可.【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解.【答案】(1)8个【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集的个数；【点睛】．【分析】（1）根据补集得定义即可得解；【分析】（1）根据给定的条件，结合交集的结果求出a值，再验证作答.（2）由交集结果求出集合A，再由并集确定B中元素即可求解作答.(2)证明见解析；(3)1348.综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难