第一章1.4充分条件与必要条件高一数学必修一人教A版练习

第一章集合与常用逻辑用语高一数学必修一第一册人教A版（2019）1.4充分条件与必要条件同步练习参考答案与题目解析知识点梳理一、命题一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.(判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.)命题的形式:真命题“若p，则q”、“如果p，那么q”等.真命题例如:对顶角相等.可改写为:若两个角是对顶角，则这两个角相等.条件p结论q例1.判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题.(1)任何负数都大于零;(2)△ABC与△CDE是全等三角形:(3)6是方程(x2)(x6)=0的解:(4)方程x²2x+5=0有实数解.例1.[解答]：(1)任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题。(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题.(3)6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题.(4)由于给定方程的判别式△=44×5=16<0，可知给定方程x²2x+5=0无实根，故该语句是命题，且为假命题,[故答案为](1)是命题，且是假命题；(2)不是命题；(3)是命题，且是真命题；(4)是命题,且是假命题.二、充分条件与必要条件的概念1.充分条件与必要条件的定义:一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.p:两个角是对顶角q:这两个角相等充分足够必不可少如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.若p=q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分条件q是p的必要条件2.充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系?结论1:一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.结论2:一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.例2.下列命题中，哪些命题是“四边形是矩形”的充分条件?(1)四边形的对角线相等:(2)四边形的四条边均相等;(3)四边形有三个内角都为直角;(4)四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补.例2.【解答】解:记条件中的语句为p，q:四边形是矩形.(1)由于等腰梯形的对角线也相等，故，“四边形的对角线相等”不是“四边形是矩形”的充分条件:(2)由菱形的判定定理知四条边均相等的四边形是菱形，故,因此“四边形的四条边均相等”不是“四边形是矩形”的充分条件:(3)由矩形的判定定理知有三个内角都为直角的四边形是是矩形，故pq,因此“四边形有三个内角都为直角”是“四边形是矩形”的充分条件;(4)矩形的判定定理知两组对边分别平行且有一组对角互补四边形是矩形，故pq，因此“四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补”是“四边形是矩形”的充分条件.[故答案为]:(3)、(4)例3.设x,y∈R,下列各式中哪些是“xy≠0”的必要条件?(1)x+y=0;(2)x²+y²>0;(3)x²+y²≠0;(4)x³+y³≠0.例3.【解答】解:记p:xy≠0，记条件中的语句为q.(1)因为xy≠0,不妨取x=1,y=2,则x+y≠0,故,因此“x+y=0”不是“xy≠0”的必要条件.(2)因为xy≠0，即x、y均不为0，所以x²+y²>0，故pq，因此“x²+y²>0”是“xy≠0”的必要条件.(3)因为xy≠0，即x、y均不为0，所以x²+y²≠0，故pq，因此“x²+y²≠0”是“xy≠0”的必要条件.(4)因为xy≠0,不妨取x=1,y=1，则x³+y³=0，故，因此“x³+y³≠0”不是“xy≠0”的必要条件.[故答案为]:(2)、(3).三、充要条件1.逆命题:将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题形式的命题，“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.2.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作：pq.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(necessaryandsufficientcondition)。显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.例4.充要条件定义对于两个陈述句α与β，如果既有________，又有_________，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作αβ，读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”.例4.【答案为】：充分条件，必要条件例5.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的()条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例5.[正确答案]:A例6.下列各组命题中，p是q的什么条件?(请用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答)(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形;(2)p:一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，q:b²4ac≥0;(3)p:x>y，q:x²>y²;(4)p:x>0，q:x>1.例6.【解答】(1)必要不充分条件.(2)充要条件.(3)既不充分也不必要条件.(4)充分不必要条件.四、几何命题与充分条件、必要条件1、对于语句p和语句q，如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的充要条件;2、判断充要条件的过程是将原命题改写成逆命题，再判断原命题和逆命题的真假;3、证明充要条件要关注两个方面，既要证明充分性，又要证明必要性;4、体会充要条件和定义间的关系;5、认识到在推理证明中，充要条件是进行等价转化的重要机遇.例7.写出“两个三角形相似”的充要条件，它们可以作为相似三角形的定义吗?例7.【解答】:“两个三角形相似”的充要条件有:“一个三角形的的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等”;“两个三角形的两个角分别对应相等”;“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例”;它们可以作为两个三角形相似的定义.例8.求证:a²+b²+c²=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里a，b，c是△ABC的三边边长)例8.【解答】证明：先证明充分性:由a²+b²+c²=ab+ac+bc得2(a²+b²+c²)=2ab+2ac+2bc,整理得，(ab)²+(ac)²+(bc)²=0.所以a=b=c，即△ABC是等边三角形.然后证明必要性:由△ABC是等边三角形，则a=b=c,所以a²+b²+c²=ab+ac+bc.综上所述，a²+b²+c²=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.同步练习1.下列命题是真命题的是()A.若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等B.若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形C.存在一个实数x，使得|x|<0D.所有可以被5整除的整数，末尾数字都是01.【解答】：若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误:由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确:因为对于任意实数，|x|≥0，故C错误:所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误:故选:B2.“x>5"是“x≥3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【解答】因为x>5所表示的范围要小于x≥3所表示的范围，所以，“x>5"是“x≥3"的充分不必要条件.故选:A.3.下列说法错误的是()A.“A∩B=B”是“B=∅"的必要不充分条件B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x²2x3=0”C."|x|=1”是“x=1"的必要不充分条件D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”3.【解答】：“A∩B=B”是“B=∅”的必要不充分条件，因此A中说法正确:由x²2x3=0，解得x=3或x=1,故“x=3”是“x²2x3=0"的充分不必要条件，因此B中说法错误:“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件，因此C中说法正确;“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”，因此D中说法正确.故选B.4.若α:{2}B{2,3,4}，β:B={2,4}，则α是β的().A.充分非必要条件:B.必要非充分条件:C.充要条件;D.既非充分又非必要条件.4.[答案为]：B.5..设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.[答案为]:C6.关于x的方程ax²+2x+1=0只有一个负实根的充要条件为()A.a≤0或a=1B.a<0或a=1C.a≥1或a=0D.a>1或a=0故选A.[总结]解决含参数的“一元二次方程”问题时，要注意二次项系数是不是0，从而对参数进行讨论，解题时防止遗漏导致解题错误.7.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是()A.若两个三角形全等，则这两个三角形相似B.若x>5，则x>10C.若ac=bc，则a=bD.若0<x<5，则|x1|<17.【解答】：对于选项A，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，而两个相似的三角形却不一定全等，故A不正确:对于选项B，由x>5无法推出x>10，如6>5，但是6<10，反之成立，故B正确:对于选项C，由ac=bc无法得到a=b，如当c=0，a=1，b=2时，有ac=bc，但是a≠b，反之成立，故C正确:对于选项D，若0<x<5，则1<x1<4，则|x1|<4，而若|x1|<1，则0<x<2,能推出0<x<5，故D正确.故选BCD.8.(多选)下列命题是真命题的是()A.所有平行四边形的对角线互相平分B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数C.若m<1，则关于x的方程x²+2x+m=0有两个负根D.两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比8.【解答】解：对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确:对于B，当x=,y=时，xy=是无理数，所以B错误:对于C，由关于x的方程x²+2x+m=0有两个负根，得m>0,△=44m>0解得0<m<1，所以C错误.对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确，故选:AD9.对于两个陈述句α与β,如果_________，就称α是β的充分条件,亦称β是α的必要条件.如果既有_________，又有_________，就称α是β的充分必要条件,简称充要条件,记作_________，读作__________________，或__________________.9.【答案为】：αβ，αβ，βα，αβ，“α与β等价”“α成立当且仅当β成立”10.下图是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡亮”的__________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分“充要”或“既不充分也不必要”)10.【解答】解：当开关和有且只有一个闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关和也有可能都闭合，故电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡亮”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要11.判断下列命题的真假，并说明理由:(1)“a>b”是“ac²>bc²”的充分条件;(2)“x²≠1”是“x≠1”的必要条件;(3)“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件:(4)“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件:(5)“x=1”是“(x1)(x2)=0”的充要条件;(6)“x∈A∩B”的充要条件是“x∈A”.11.【解答】(1)假命题.理由:当c=0时,“a>b”不能推出是“ac²>bc²”;故前者不是后者的充分条件，该命题为假命题；(2)假命题.理由:“x=1时x²=1”,“x²≠1”不是“x≠1”必要条件，该命题为假命题；(3)真命题.理由:四边形为正方形则一定是矩形，但是矩形除了正方形还有长方形，所以“四边形为正方形”可以推出“四边形为矩形”，但后者不能推出前者，故前者是后者的充分而不必要条件，该命题为真命题；(4)真命题.理由:由不等式性质可知不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以“a>b”可以推出“a+c>b+c”，反之也成立，该命题为真命题；(5)假命题.理由:(x1)(x2)=0解得x=1或x=2，故“(x1)(x2)=0”不能推出“x=1”，即“x=1”不是“(x1)(x2)=0”的必要条件，该命题为假命题；(6)假命题.理由xEA时，x不一定在A∩B的范围内，即“x∈A”不是“x∈A∩B”的充分条件，该命题为假命题.[总结]“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”12.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若a=b，则|a|=|b|;(2)两条直线被同一条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行;(3)若a>b，则<.12.【解答】:命题(1)(2)中的p是q的充分条件，命题(3)中的p不是q的充分条件;13.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形两条对角线垂直且相等，则这个四边形是菱形;(2)若PA=PB，则点P为线段AB中点:(3)若ac²>bc²，则a>b.13.【解答】：命题(3)中的q是p的必要条件，命题(1)(2)中的q不是p的必要条件.14.判断下列各组中，是否有“pq”或“qp”成立，并用必要条件的语言表述:(1)p:x>5，q:x>3;(2)p:ab=0，q:a=0;(3)p:x=1，q:x²3x+2=0.14.【解答】：(1)“pq”成立，“x>3”是“x>5”的必要条件;(2)“qp”成立，“ab=0”是“a=0”的必要条件;(3)“pq”成立，“x²3x+2=0”是“x=1”的必要条件.15.下列各组命题中,p是q的什么条件?(请用“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答)(1)p:BA；q:AUB=A;(2)p:0<x<3；q:|x1|<2;(3)p:两圆的圆心距小于半径之和；q:两圆相交;(4)p:两个三角形有两组边相等，一组角相等；q:两个三角形全等;15.【解答】：(1)充要条件;(2)充分不必要条件;(3)必要不充分条件;(4)必要不充分条件