2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案第一讲知识归纳与达标验收

[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，∴EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，于是两梯形的面积比为eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.答案：7∶52.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则eq\f(CE,EO)的值为________．解析：连接AC，BC，则∠ACB＝90°.设AD＝2，则AB＝6，于是BD＝4，OD＝1.如图，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，则CD＝2eq\r(2).在Rt△OCD中，DE＝eq\f(OD·CD,OC)＝eq\f(1×2\r(2),3)＝eq\f(2\r(2),3).则CE＝eq\r(DC2－DE2)＝eq\r(8－\f(8,9))＝eq\f(8,3)，EO＝OC－CE＝3－eq\f(8,3)＝eq\f(1,3).因此eq\f(CE,EO)＝eq\f(\f(8,3),\f(1,3))＝8.答案：8[对应学生用书P16]平行线分线段相关定理平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1]如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.求证：EG∥BH.[证明]∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB).∵DH∥GC，∴eq\f(AH,AC)＝eq\f(AD,AG).∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG.∴eq\f(AE,AH)＝eq\f(AG,AB).∴EG∥BH.[例2]如图，直线l分别交△ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(5,2)BC，试求eq\f(EC,AE).两式相乘，得eq\f(BF,CN)·eq\f(CN,AF)＝eq\f(DB,DC)·eq\f(EC,AE)，即eq\f(EC,AE)＝eq\f(BF,AF)·eq\f(DC,DB).又由AF＝eq\f(1,3)AB，得eq\f(BF,AF)＝2，由BD＝eq\f(5,2)BC，得eq\f(DC,DB)＝eq\f(3,5)，所以eq\f(EC,AE)＝2×eq\f(3,5)＝eq\f(6,5).相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3]如图所示，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证：PQ＝CF.[证明]∵AD、CF是△ABC的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC＝90°.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.∴eq\f(AD,CF)＝eq\f(AB,CB).又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.∴eq\f(PQ,BC)＝eq\f(AP,AB).∴eq\f(AP,PQ)＝eq\f(AB,BC).∴eq\f(AD,CF)＝eq\f(AP,PQ).又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.[例4]四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积．[解]如图，延长CB、DA交于点F，又CE平分∠BCD，CE⊥AD.∴△FCD为等腰三角形，E为FD的中点．∴S△FCD＝eq\f(1,2)FD·CE＝eq\f(1,2)×2ED·CE＝2S△CED＝2，EF＝ED＝2AE.∴FA＝AE＝eq\f(1,4)FD.又∵AB∥CD，∴△FBA∽△FCD.∴eq\f(S△FBA,S△FCD)＝(eq\f(FA,FD))2＝(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,16).∴S△FBA＝eq\f(1,16)×S△FCD＝eq\f(1,8).∴S四边形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).射影定理射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F.求证：CE2＝BD·DF.[证明]∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(AB,AC).同理：CD∥EF，∴eq\f(CE,DF)＝eq\f(AC,AD).∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴eq\f(CE,DF)＝eq\f(BD,CE).∴CE2＝BD·DF.[对应学生用书P41](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是()A．AB＝2A′B′ B．3A′B′＝B′C′C．BC＝B′C′ D．AB＝A′B′解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(A′B′,B′C′)＝eq\f(1,3).∴3A′B′＝B′C′.答案：B2.如图，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，则AC∶BC的值是()A．3∶2 B．9∶4C.eq\r(3)∶eq\r(2) D.eq\r(2)∶eq\r(3)解析：Rt△ACD∽Rt△CBD，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(3,2).答案：A3．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3cm，AC＝2cm，则CD和BC的长分别为()A.eq\r(3)cm和3eq\r(2)cmB．1cm和eq\r(3)cmC．1cm和3eq\r(2)cmD.eq\r(3)cm和2eq\r(3)cm解析：设AD＝x，则由射影定理得x(x＋3)＝4，即x＝1(负值舍去)，则CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)(cm)，BC＝eq\r(BD·AB)＝eq\r(33＋1)＝2eq\r(3)(cm)．答案：D4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为()A.eq\f(2\r(21),5) B.eq\f(\r(21),5)C.eq\f(3\r(21),5) D.eq\f(2\r(12),5)解析：AC2＝CD·BC，即52＝2×BC，∴BC＝eq\f(25,2).∴AB＝eq\r(BC2－AC2)＝eq\r(\f(252,4)－52)＝eq\f(5\r(21),2).∵eq\f(DE,AB)＝eq\f(DC,BC)，∴DE＝eq\f(2\r(21),5).答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；③eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为()A．1∶4 B．1∶3C．1∶2 D．1∶5解析：由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,9).∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2).答案：C7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是()A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝eq\r(a)，EF＝eq\r(b)，DF＝eq\r(c)D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，∴△ABC∽△DEF；B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；∴△ABC∽△EFD；D中eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF；而C中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．2解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4.令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，∴CD2＝4x2，∴CD＝2x，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(x,2x)＝eq\f(1,2).答案：C9.在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝()A．4∶10∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．2∶5∶25解析：∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5).∴eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(2,5))2＝eq\f(4,25).又△DEF和△BEF等高．∴eq\f(S△DEF,S△EBF)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)＝eq\f(4,10).答案：A10．如图，已知a∥b，eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5)，eq\f(BC,CD)＝3.则AE∶EC＝()A.eq\f(12,5) B.eq\f(5,12)C.eq\f(7,5) D.eq\f(5,7)解析：∵a∥b，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AG,CD)，eq\f(AF,BF)＝eq\f(AG,BD).∵eq\f(BC,CD)＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.又eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AG,BD)＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5).∴eq\f(AG,4CD)＝eq\f(3,5).∴eq\f(AG,CD)＝eq\f(12,5).∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AG,CD)＝eq\f(12,5).答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长∶△ABC的周长等于________．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).∴eq\f(△ADE的周长,△ABC的周长)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________.解析：∵DE∥BC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝DE·eq\f(AC,AE)＝6×eq\f(5,3)＝10，又DF∥AC，∴DE＝FC＝6.∴BF＝BC－FC＝4.答案：413．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE、BC分别交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，则NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.解析：eq\f(OD,OC)＝eq\f(DN,MC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(OE,OB)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4).∴eq\f(NE,BM)＝eq\f(OE,OB)＝eq\f(1,4).又eq\f(DE,BC)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4).∴AE∶EC＝1∶3.答案：1∶41∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高BC等于________m.解析：∵BD∥AE，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(CD,DE).∴BC＝eq\f(AB·CD,DE).∵AB＝1.8m，DE＝2.7m，CE＝8.7m，∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)．∴BC＝eq\f(1.8×6,2.7)＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点M、N.求证：MN∥BC.证明：∵MD平分∠ADB，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AM,MB).∵ND平分∠ADC，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AN,NC).∵BD＝DC，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(AN,NC).∴MN∥BC.16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：BP2＝PE·PF.证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴，故PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，故∠PCE＝∠PFC，∵∠CPE＝∠FPC，∴△EPC∽△CPF，故eq\f(PC,PF)＝eq\f(PE,PC)，即PC2＝PE·PF，∴BP2＝PE·PF.17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.(1)求证：PE·PG＝PF·PH；(2)当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴eq\f(PE,PF)＝eq\f(