2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案第一讲第4节第1课时柱坐标系

第1课时柱坐标系[核心必知]1．柱坐标系的概念建立空间直角坐标系O­xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝zＷ.))[问题思考]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．已知空间点P的直角坐标为(4eq\r(3)，4，3)，求它的柱坐标．[精讲详析]本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．由公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得ρ2＝x2＋y2，z＝3.∴ρ2＝(4eq\r(3))2＋(4)2＝48＋16＝64，∴ρ＝8.tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(4,4\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝eq\f(π,6).∴点P的柱坐标为(8，eq\f(π,6)，3)．eq\a\vs4\al(——————————————————)已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tanθ还要根据点P所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0，2π))．1．已知空间点M的直角坐标为(－1，－eq\r(3)，3)，求它的柱坐标．解：由公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝ρcosθ，,－\r(3)＝ρsinθ，,z＝3.))∴ρ2＝(－1)2＋(－eq\r(3))2＝4.∴ρ＝2.∴cosθ＝－eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2).又∵θ∈[0，2π)，∴θ＝eq\f(4,3)π.即M的柱坐标为(2，eq\f(4,3)π，3)．已知点P的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,6)，4))，求它的直角坐标．[精讲详析]本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．∵P点的柱坐标为(8，eq\f(π,6)，4)，∴ρ＝8，θ＝eq\f(π,6).由公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cos\f(π,6)，,y＝8sin\f(π,6)，,z＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4\r(3)，,y＝4，,z＝4.))∴P点的直角坐标为(4eq\r(3)，4，4)．eq\a\vs4\al(——————————————————)已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z))即可．2．已知点M的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)，1))，求M关于原点O对称的点的柱坐标．解：M(eq\r(2)，eq\f(π,4)，1)的直角坐标为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin\f(π,4)＝1，,z＝1，))∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝eq\r(2).tanθ＝eq\f(－1,－1)＝1，又x＜0，y＜0.∴θ＝eq\f(5π,4).∴M关于原点O对称点的柱坐标为(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，－1).给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．[精讲详析]本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1，0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2，2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.eq\a\vs4\al(——————————————————)(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．(2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．3.如图，P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点，且P点的柱坐标为(6，eq\f(π,4)，5)，求该圆柱的体积．解：过点P作PP′垂直底面，垂足为P′，∵P(6，eq\f(π,4)，5)，∴P′点的坐标为(6，eq\f(π,4)，0)．∴圆柱底面圆的半径为6，高为5.∴圆柱的体积为V＝π×62×5＝180π.本课时考点在近几年的高考中未出现过．本考题以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化．[考题印证]如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1(6，eq\f(π,2)，5)，则此长方体外接球的体积为________．[命题立意]本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法．[解析]由长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1(6，eq\f(π,2)，5)，可知：OA＝4，OC＝6，OO1＝5，则对角线长为eq\r(42＋52＋62)＝eq\r(77).长方体外接球的半径为eq\f(\r(77),2)，∴球的体积为：eq\f(4,3)·π·(eq\f(\r(77),2))3＝eq\f(77\r(77),6)π.答案：eq\f(77\r(77),6)π一、选择题1．柱坐标Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16，\f(π,3)，5))转换为直角坐标为()A．(5，8，8eq\r(3))B．(8，8eq\r(3)，5)C．(8eq\r(3)，8，5)D．(4，8eq\r(3)，5)解析：选B由公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝16cos\f(π,3)＝8，,y＝16sin\f(π,3)＝8\r(3)，,z＝5.))即P点的直角坐标为(8，8eq\r(3)，5)．2．已知点M的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，3))B.eqB.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(3,4)π，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(5,4)π，3))D.eqD.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(7,4)π，1))解析：选A由公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝ρcosθ，,3＝ρsinθ，,3＝z，))∴ρ2＝32＋32＝18，∴ρ＝3eq\r(2).∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，sinθ＝eq\f(\r(2),2).又∵θ∈[0，2π)，∴θ＝eq\f(π,4).∴M点的柱坐标为(3eq\r(2)，eq\f(π,4)，3)．3．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的()A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D．以原点为球心，半径为2的球面解析：选C由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．4．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0，0，0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)()A．(－ρ，－θ，－z)B．(ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z)D．(ρ，π－θ，－z)解析：选C点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．二、填空题5．已知点M的直角坐标为(1，0，5)，则它的柱坐标为________．解析：∵x＞0，y＝0，∴tanθ＝0，θ＝0.ρ＝eq\r(12＋02)＝1.∴柱坐标为(1，0，5)．答案：(1，0，5)6．点P的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,4)，2))，则点P与原点的距离为________．解析：点P的直角坐标为(4eq\r(2)，4eq\r(2)，2)．∴它与原点的距离为：eq\r(（4\r(2)－0）2＋（4\r(2)－0）2＋（2－0）2)＝2eq\r(17).答案：2eq\r(17)7．设点M的直角坐标为(1，－eq\r(3)，4)，则点M的柱坐标为________．解析：ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2.tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3)又x＞0，y＜0.∴θ＝eq\f(5π,3).∴柱坐标为(2，eq\f(5π,3)，4)．答案：(2，eq\f(5π,3)，4)8．在直角坐标系中，(1，1，1)关于z轴对称点的柱坐标为________．解析：(1，1，1)关于z轴的对称点为(－1，－1，1)，它的柱坐标为(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，1)．答案：(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，1)三、解答题9．求点M(1，1，3)关于xOz平面对称点的柱坐标．解：点M(1，1，3)关于xOz平面的对称点为(1，－1，3)．由变换公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z))得，ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝eq\r(2).tanθ＝eq\f(－1,1)＝－1，又x＞0，y＜0.∴θ＝eq\f(7π,4).∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为(eq\r(2)，eq\f(7π,4)，3)．10．已知点A的柱坐标为(1，π，2)，B的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)，1))，求A、B两点间距离．解：由x＝ρcosθ得：x＝cosπ＝－1.由y＝ρsinθ得：y＝sinπ＝0.∴A点的直角坐标为(－1，0，2)．同理：B点的直角坐标为(0，2，1)．∴|AB|＝eq\r(（－1－0）2＋（0－2）2＋（2－1）2)＝eq\r(6).故A、B两点间的距离为e