高中数学苏教版必修四学案1.3.1三角函数的周期性

1.3.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．知识点一周期函数思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．梳理(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个____________T，使得定义域内的每一个x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考6π是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期吗？梳理(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π.(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝eq\f(2π,ω).类型一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y＝3sin(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,6))；(2)y＝2cos(－eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))；(3)y＝|sinx|.反思与感悟求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝eq\f(2π,|ω|).(3)观察法(图象法)．跟踪训练1(1)函数y＝3cos(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))的最小正周期为________．(2)y＝2cos(ωx＋eq\f(π,6))的最小正周期为π，则ω＝________.类型二利用周期求函数值例2若f(x)是以eq\f(π,2)为周期的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))的值．反思与感悟(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．跟踪训练2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值．类型三函数周期性的综合应用例3设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值．引申探究将例3中的条件f(x＋2)＝－f(x)改为：f(x)的图象关于x＝1对称，其余条件不变，求f(7)的值．反思与感悟(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．跟踪训练3设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.(1)求f(3)；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．1．下列说法中，正确的是________．(填序号)①因为sin(π－x)＝sinx，所以π是函数y＝sinx的一个周期；②因为tan(2π＋x)＝tanx，所以2π是函数y＝tanx的最小正周期；③因为当x＝eq\f(π,4)时，等式sin(eq\f(π,2)＋x)＝sinx成立，所以eq\f(π,2)是函数y＝sinx的一个周期；④因为cos(x＋eq\f(π,3))≠cosx，所以eq\f(π,3)不是函数y＝cosx的一个周期．2．函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的周期为eq\f(π,4)，则ω＝________.3．函数y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的最小正周期为________．4．求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝cos(－2x－eq\f(π,3))；(2)y＝4sin(ax＋eq\f(π,6))(a≠0)．1．函数周期性的理解：(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．2．求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.

答案精析问题导学知识点一思考由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．梳理(1)非零的常数f(x＋T)＝f(x)(2)最小的正数知识点二思考是的．由sin(6π＋x)＝sinx恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．题型探究例1解(1)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.(2)y＝2cos(－eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))＝2cos(eq\f(x,2)－eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.(3)由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝|sinx|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|，∴由周期函数的定义知y＝|sinx|的周期是π.跟踪训练1(1)4π(2)±2例2解∵f(x)是以eq\f(π,2)为周期的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝f(eq\f(π,2)－eq\f(π,3))＝－f(eq\f(π,3))，又∵f(eq\f(π,3))＝1，∴f(－eq\f(5π,6))＝－f(eq\f(π,3))＝－1.跟踪训练2eq\f(\r(3),2)例3解∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，∴f(7)＝－f(1)＝－1.引申探究解函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x