专题3.1.平方根（教师版）

专题3.1.平方根学习目标学习目标1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。目录导航目录导航TOC\o"14"\h\z\u模块1：知识梳理 2模块2：核心考点 3考点1.平方根的相关概念理解 3考点2.求一个数的平方根 4考点3.已知平方根求数 4考点4.利用平方根解方程 5考点5.求已知数的算术平方根 7考点6.算术平方根的非负性 8考点7.与算术平方根有关的规律问题 9考点8.算术平方根的实际应用 10模块3：能力培优 9知识梳理知识梳理1）平方根的定义一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。一个正数的正平方根用表示（读作：根号）；的负平方根用表示（读作：负根号）。求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以平方运算来求一个数的平方根。2）算术平方根的定义正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。因此一个数（≥0）的算术平方根记为。4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。6）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.核心考点核心考点考点1.平方根的相关概念理解例1．下列判断正确的是（

）A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为【答案】DB、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意；D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D．变式1.下列各数中一定有平方根的是（）A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1【思路点拨】非负数必定有平方根．【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．C、a+1有可能小于，故C不符合题意．D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．变式2.下列各数没有平方根的是（

）【答案】A【分析】本题考查平方根的性质，根据负数没有平方根，进行判断即可．【详解】解：∵负数没有平方根，变式3.下列说法正确的是()A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根【答案】D【解析】解：A.非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；B.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；C.因0的平方根是0，故本选项错误；D.负数没有平方根，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．考点2.求一个数的平方根例1．16的平方根是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查平方根．根据平方根的定义即可求解．变式1．的平方根是（）A．4 B． C． D．−2【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根和平方根的区别，注意先求得的值，再求其平方根．【答案】B【分析】根据平方根的定义进行求解即可，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．变式3．的平方根是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】本题考查了平方根，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据平方根定义求解即可．考点3.已知平方根求数【分析】本题主要考查了平方根的概念和求一个数的平方根：A．2 B．4 C．25 D．【答案】C【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值即可．【答案】【详解】解：∵一个数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数，【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可；（2）根据算术平方根的定义，进行求解即可．考点4.利用平方根解方程例1．求下列各式中的值．【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先系数化1，再开平方根，即可作答．（2）开平方根，然后再移项运算，即可作答．（3）先系数化1，再开平方根，即可作答．（4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程：（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求平方根的方法解方程即可．考点5.求已知数的算术平方根例1．求下列各数的算术平方根：(1)0.49；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7(2)3(3)(4)3【分析】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．（1）根据算术平方根的定义计算即可；（2）根据算术平方根的定义计算即可；（3）根据算术平方根的定义计算即可；（4）根据算术平方根的定义计算即可；∴0.49的算术平方根是0.7；∴的算术平方根是3；∴的算术平方根是；∴的算术平方根是3．变式1．下列结论正确的是（

）C．一个数的算术平方根一定是正数 D．算术平方根等于本身的数是1【答案】B【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，熟知平方根，算术平方根的定义是解题的关键，注意一个正数的平方根有两个，其中正的平方根叫做算术平方根．根据平方根，算术平方根的定义进行逐一判断即可．C、一个数的算术平方根一定是正数或零，说法错误，不符合题意；D、算术平方根等于本身的数为1，0，说法错误，不符合题意．故选：B．变式2．算术平方根等于它本身的数是（

）A．1和0 B．0 C．1 D．和0【答案】A【分析】根据算术平方根的定义即可确定．本题考查了算术平方根，关键是根据算术平方根的定义解答．【详解】解：算术平方根等于本身的数有：0，1．故选：A．变式3．下列各数中，算术平方根为小数的是（）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键；分别求出每个选项的算术平方根即可；【详解】、1的算术平方根是1，故本选项不符合题意；、4的算术平方根是2，故本选项不符合题意；、5的算术平方根是，而是小数，故本选项符合题意；、9的算术平方根是3，故本选项不符合题意；故选：．考点6.算术平方根的非负性【答案】1【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；【答案】8考点7.与算术平方根有关的规律问题例1．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400【答案】0.020..830.【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键．（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；（2）根据计算找出规律即可得到答案．a（2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍，故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．【分析】本题考查了算术平方根，准确熟练利用题意计算是解题的关键．根据被开方数的小数点向左移动两位，它的算术平方根的小数点只向左移动一位，即可解答．变式2．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：………0.180.5691.85.691856.9180…(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______；【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；（2）根据规律进行计算即可求解；（3）根据规律进行计算即可求解；【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍；考点8.算术平方根的实际应用例1．依依需要一块长、宽比为且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按下图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计）(1)缝合后大正方形的边长为__________米；(2)依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由．【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是解此题的关键．【详解】（1）解：设大正方形的边长是米．（2）解：设长方形的长为米，宽为米答：依依能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布．变式1．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是．【答案】【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可．【详解】解：分割图形如下：这个正方形的面积为5，故这个正方形的边长是．故答案为：．变式2．某社区为了方便广大群众跳广场舞，决定在一块面积为1024平方米的正方形地块上修建一个长方形广场舞台．若要求舞台的面积为420平方米，长是宽的倍，舞台四周留出1米宽的通道，请你通过计算说明能否按照要求修建好该广场舞台．【答案】能按要求在这块空地上建一个篮球场【分析】本题考查了算术平方根的应用，先设篮球场的宽为x米，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了．能力培优能力培优全卷共25题测试时间：70分钟试卷满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各式正确的是（

）【答案】A【分析】本题主要考查了算术平方根的计算，掌握运算法则是解答此题的关键．利用算术平方根的定义运算即可．2．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（

）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】A【分析】本题考查了平方根．利用了开方运算，注意一个正数的平方根有两个．【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0，故选：A．3．的平方根是(

)A．9 B． C．3 D．【答案】D【分析】本题考查了求算术平方根，求平方根，先化简，再求其平方根即可，理解算术平方根和平方根的定义是解题的关键．4．下面各数没有平方根（

）【答案】D【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．5．下列说法正确的是（）A．的平方根是 B．的算术平方根是C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可．【详解】解：负数没有平方根，故A、B均不符合题意；平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意；0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．6．下列语句中，真命题为（

）A．的平方根为 B．只有正数才有平方根C．正数的平方根仍然是正数 D．一定没有平方根【答案】A【分析】此题考查了平方根的意义，根据平方根的意义进行解答即可．B．正数和0都有平方根，故选项错误，不符合题意；C．正数的平方根有两个，一个正根和一个负根，且互为相反数，故选项错误，不符合题意；【答案】D8．如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（

）A．向右移动一位B．向右移动两位C．向左移动一位D．向左移动两位【答案】A【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可．【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位；故选：A．【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据面积公式和算术平方根的定义求解．10．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（

）

【答案】B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．的平方根是.【答案】【分析】本题考查了求一个数的平方与平方根；先计算出平方，再求平方根即可．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了算术平方根的定义，会利用算术平方根的定义求一个数的算术平方根是解题的关键．13．一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是．【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数，解决问题：【答案】02，【分析】本题考查了利用平方根性质进行求解方程，熟练掌握平方根性质是解题关键．（1）利用开平方的方法解方程即可；（2）利用开平方的方法解方程即可．【答案】6（答案不唯一）【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可．【答案】0【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根为非负数，进行求解即可．【答案】31.9【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可．【答案】±2【分析】利用题中四次方根的定义求解．【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．求下列各数的平方根：【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数．（1）根据开平方，可得答案；（2）根据开平方，可得答案；（3）根据开平方，可得答案；【答案】【分析】本题考查了一个非负数的算术