2025年高二【数学(人教A版)】等比数列的前n项和公式(2)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高二学期一课题等比数列的前项和公式（2）教科书书名：高中数学人教A版选择性必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：教学目标教学目标：熟练掌握等比数列的相关知识及其性质，并利用等比数列前项和公式解决相关实际问题.教学重点：利用等比数列知识建立实际问题的数学模型.教学难点：充分利用方程思想，函数思想解决与数列有关的问题.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟17分钟3分钟复习引入新课讲解公式推导总结提炼问题1等比数列的前项和公式是什么？问题2如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；追问1：如何求每个正方形的面积？需要知道每个正方形的边长.追问2：每个正方形的边长之间有什么关系？观察图形，列举：第1个正方形边长；第2个正方形边长；第3个正方形边长；第4个正方形边长；……设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长为.得到结论：设这10个正方形的边长构成数列，则数列是以为首项，为公比的等比数列.追问3：每个正方形的面积之间有什么关系？第1个正方形面积；第2个正方形面积；第3个正方形面积；第4个正方形面积；……设第个正方形的面积为，则第个正方形的边长为.得到结论：设这10个正方形的面积构成数列，则数列是以为首项，为公比的等比数列.追问4：怎么求连续10个正方形的面积之和？这10个正方形的面积之和即为等比数列的前10项和，等比数列求和公式有两种，根据题意我们选择第一种.具体计算一下：设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，则，由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以.因此，是以为首项，为公比的等比数列.设的前项和为..所以，前10个正方形的面积之和为.（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？追问1：当无限增大时，所有这些正方形的面积之和如何表示？追问2：的变化与什么量有关？的变化与有关？随着的无限增大，根据指数函数的性质，将无限趋近于0，无限趋近于1.当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和.而，随着的无限增大，将无限趋近于0，将无限趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.这里用到了极限的思想，极限指的是在一定的变化过程中，总体逐渐稳定的一种变化趋势以及趋向的值.极限思想是近代数学的一种重要思想，我们要体会应用极限思想分析问题和解决问题.问题3去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.追问1：每年生活垃圾的总量之间有什么关系？去年：20万吨第一年：万吨；第二年：万吨；第三年：万吨；第四年：万吨；……因此，从今年起每年生活垃圾的总量构成首项为，公比为的等比数列.追问2：每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？去年：6万吨第一年：万吨；第二年：万吨；第三年：万吨；第四年：万吨；……因此，从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成首项为，公差为的等差数列.经分析我们知道，每年生活垃圾的总量构成数列.每年以环保方式处理的垃圾量构成数列.追问3：怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？可以用表示.具体计算一下：解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，，当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.生态文明建设需要环保，环保是生态文明建设的重要组成部分在生活中我们需要节约资源，绿色环保和垃圾分类，通过计算我们了解到每年生产生活产生的垃圾是一个庞大的数字，处理垃圾是我们不得不面对的任务。我们要增强环保意识.方法提炼：本题是一个有关等差数列与等比数列前项和公式的综合应用问题，我们可以根据实际问题情境，构建出两个数列——等比数列与等差数列，而与问题的解决直接相关的量——每年以填埋方式处理的垃圾量可以用这两个数列的差构成的数列来表示.于是，求年内通过填埋方式处理的垃圾量，就转化为求数列的前项和.而要求这个“陌生”数列的和，则需要把它转化为我们已经掌握的等差数列与等比数列的求和问题，分组进行求和，从而获得问题的解答.本节课小结