山东省德州市2025届高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2025届高三下学期三模数学试题一、单选题1．已知集合M={x|y=lg(2-x)},N=x|x2A．(0,2) B．(0,3) C．(-∞,2) D【答案】A【解析】由y=lg(2-x)，则满足2-x>0，可得x<2，所以又由不等式x2-3x=x(x-3)<0，解得0<x<3，所以则M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故选：A.2．已知z=1-i1+i，则A．-i B．2i C．0 D【答案】C【解析】因为z=1-i1+所以z+故选：C3．已知2sinα=sinα-πA．34 B．12 C．-1【答案】D【解析】由2sinα=sin整理得sinα=-cosα所以sin2α+故选：D4．平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1，且A．π3 B．2π3 C．3【答案】B【解析】平面向量a,b满足|a所以3a→2+a设向量a,b的夹角为θ，则则向量a,b的夹角为故选：B.5．已知Sn为等差数列an的前n项和，a2=4,SA．2 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】设等差数列an的公差为d由题意得a1+d=45所以a8故选：C6．已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的3倍，则此正三棱锥的体积为（

）A．3 B．233 C．223【答案】D【解析】如图，在正三棱锥P-ABC中，设顶点P在底面的射影点为H，则H为正△ABC的中心，延长CH交AB于点M，则M为AB的中点，连接PM，因为正△ABC的边长为2，M为AB的中点，则CM⊥AB，因为PA=PB，则PM⊥AB，则CM=AS△ABC由题意可知，正三棱锥的侧面积为S侧=3S即3⋅12AB⋅PM=1因为H为正△ABC的中心，则MH=1因为PH⊥平面ABC，MH⊂平面ABC，则PH⊥MH，所以PH=P因此，该三棱锥的体积为VP-ABC故选：D.7．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，过点FA．3 B．5 C．7 D．3【答案】B【解析】由题意可作图如下：易知MF1tan∠MF2在△MF1F2中，整理可得2a2=c2故选：B.8．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x+1)-2为奇函数，对任意的a∈[-3,2]，不等式f(2a+t)+fa2-1≤4恒成立，则实数A．(-∞,-5] B．(-∞,0] C．【答案】A【解析】令gx=fx+1由f(2a+t)+fa可得g2a+t-1即g2a+t-1又因为gx为奇函数，所以g因为fx是定义在R上的增函数，所以gx也是定义在故2a+t-1≤2-a2，即t≤-因为a∈[-3,2]，所以-a+12+4所以t≤-5，即实数t的取值范围是(-∞故选：A二、多选题9．某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（

）A．学生成绩众数估计为75分 B．学生成绩的平均数大于中位数C．此次成绩在[90,100]的学生人数为120人 D．学生成绩的第45百分位数为70【答案】ACD【解析】由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以学生成绩众数估计为70+802=75分，故学生成绩的平均数为45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.020+75×10×0.030+85×10×0.015+95×10×0.010=70.5，∵10×0.010+10×0.015+10×0.020=0.45，10×0.010+10×0.015+10×0.020+10×0.030=0.75，∴学生成绩的中位数在[70,80)内，设中位数为x，由0.45+0.030×x-70=0.5，得到∵70.5<2153，∴学生成绩的平均数小于中位数，故∵成绩不低于80分的频率为10×0.015+10×0.010=0.25，又随机抽取的成绩不低于80分的有300人，∴学生总人数为3000.25∵成绩在[90,100]的频率为10×0.010=0.1，∴此次成绩在[90,100]的学生人数为1200×0.1=120人，故C正确；∵10×0.010+10×0.015+10×0.020=0.45，∴学生成绩的第45百分位数为70，故D正确，故选：ACD.10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，点E，F，G分别为棱AB,AD,PC的中点，则（

）A．AG⊥PDB．异面直线FG和AC所成的角为πC．平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为6D．过点E，F，G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面图形为五边形【答案】ACD【解析】如图，因PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，故可以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.对于A，A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),G(1则AG=(12则AG⊥PD，即A正确；对于B，因点F是AD的中点，故F(0,12,0),则FG=(12,0,12),则cosθ=|因α∈(0,π2]，故θ=对于C，由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量可取为m=(0,0,1)点E为棱AB的中点，则E(12,0,0)，EF设平面EFG法向量为n=(x,y,z)，则n⋅EF=0设直线EFG与平面ABCD所成角为α，则|cosα|=|cos〈m对于D，如图，延长FE与直线CB交于点N，延长EF与直线CD交于点J，连接NG与PB交于点H，连接GJ与PD交于点K，连接HE,KF，则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面为五边形HEFKG.即D正确.故选：ACD.11．已知圆C:(x-5)2+y2=12，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点(1,t)时，|PF|=2，直线lA．p=2B．若M为C上一点，则|PM|最小值为1C．若|PC|=4，则直线PF与圆C相切D．存在直线l，使得A，B两点关于x+y-3=0对称【答案】AC【解析】因为当P运动到点(1,t)时，|PF|=1+p2=2，所以p=2抛物线E:y2=4x圆C:(x-5)2+y2设Pt24即|PC|最小值为4，所以|PM|最小值为4-23，故B若|PC|=4，由B选项可知t2=12，则故直线PF的方程为y=±3因为圆心C5,0到直线PF的距离为d=所以直线PF与圆C相切，故C正确；假设存在直线l使得A，B两点关于x+y-3=0对称，设l:x-y+m=0，由x-y+m=0y2=4x，消x得到y则Δ=16-16m>0，解得m<1，又y1+y则4-2m2+42-3=0，解得m=1，与故选：AC.三、填空题12．已知变量y与x线性相关，由样本点1,y1,2,y2,⋯,5,y5【答案】12【解析】由点1,y1在回归直线y=15x+a所以回归直线方程为y=又由样本中心(3,y)在回归直线上，可得所以5∑故答案为：12.13．已知曲线y=m2x(m>0)与y=lnx和y=ex分别交于A,B两点，设曲线y=lnx在A处的切线斜率为k1【答案】6【解析】因为y=lnx和y=e且反比例函数y=m2x(m>0)可知点A,B关于直线y=x对称，设A(x0,设f(x)=lnx,g(x)=e由题意可得：k1+k2=1x0可得A3,ln3，代入y=m2x故答案为：6ln14．在数列an中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列an+1-an称为an的一阶差数列，记为an(1)，依此类推，an(1)的一阶差数列称为an的二阶差数列，记为an(2),⋯．如果一个数列an的p阶差数列an(p)是等比数列，则称数列an为p阶等比数列p∈N*．若数列【答案】27；n-2+【解析】因为a1=1,an+1=3设数列bn为原数列an的一阶差数列，cn为原数列则由题意可知b1又cn为等比数列，故公比q=c2c1当n≥2时，bn将n=1代入bn=1-1所以bn=1-12n-1，当n≥2时，an=a将n=1代入an=n-2+2所以an=n-2+2故答案为：27；n-2+2四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin（1）求C；（2）若2(a+b)=c2，求△ABC的边解：（1）由2sinB=sin即2sinBcosC=sin于是cosC=12，又0<C<（2）由（1）知C=π3，由余弦定理，得而2(a+b)=c2，则因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤3当且仅当a=b时取等号，则c=2(a+b)所以△ABC的边c的最大值为4.16．随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品．现用A，B两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率．（1）现从大量的A，B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；（2）通过多年统计发现，A品牌智能门锁每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：年）的关系如下表：使用时间t（单位：年）t<55≤t<6t≥6每件产品的利润y（单位：元）－200200400若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解：（1）由直方图可知，从A品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)=0.4+0.1=1从B品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)=0.3+0.1=2所以从A,B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品，其中至少有3件是优质品的概率P=C（2）由题意外，X的可能取值为-400,0,200,400,600,800．所以P(X=-400)=C22P(X=200)=C22P(X=600)=C22那么X的分布列为X－4000200400600800P933111则数学期望E(X)=-400×917．建筑学中常用体形系数S表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即S=F0V0，F0为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），V0为建筑物所包围的体积．某圆台形建筑如图所示，圆台O1O的轴截面A1（1）若A1（2）若S=3+927，求直线C解：（1）如图所示，连接A1O,C1O,BO由圆台的性质可知BO⊥平面ACC因为A1C⊂平面ACC因为A1C⊥C1B,C1B∩BO=B，所以A1C⊥平面因为OC1⊂平面BO因为A1C1//OC又A1C⊥OC则A1O=A1C（2）由设圆台O1O的高为h，则母线长为V0故S=F0V如图所示，以OA,OB,OO1所在的直线分别为x，y，如图所示，则A(2,0,0),B(0,2,0),A所以AA设平面A1AB的法向量为则m⋅AA1=-x+z=0m⋅AB设直线C1B与平面A1则sinθ=故直线C1B与平面A118．已知椭圆x2a2+y（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=-4上运动时，直线AM,BM分别交椭圆于两点P和Q（不同于A，B），证明：点B在以PQ为直径的圆外；（3）在（2）的条件下，求四边形APBQ面积的最大值．解：（1）依题意，得1a2+所以椭圆方程为x2（2）由（1）知A(-2,0),B(2,0)，显然点M不在x轴上，设M(-4,t)(t≠0),Px直线AM,BM斜率分别kAM直线AM的方程为y=-t2(x+2),BM由y=-t2(x+2)x24+于是-2xP=4t即点P坐标为6-2t由y=-t6(x-2)x24+于是2xQ=4t即点Q坐标为2t因此BP=BQ=则BP⋅则有∠PBQ为锐角，所以点B在以PQ为直径的圆外．（3）由（2）知，P6-3则S=不妨设λ=9+t2当且仅当t=3时，等号成立，易知函数y=λ+12λ在[6,+∞此时S四边形由对称性可知，当点M的坐标为(4,3)或(4,-3)时，四边形APBQ面积最大，最大值为6．19．已知f(x)=x-ax+1(a>0),g(x)=lnx+b(x-1)（1）求g(x)；（2）若对∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数（3）若h(x)=ex-g(x)的最小值为m，证明：方程e解：（1）设直线y=x-1与曲线y=g(x)的切点为x0g'(x)=1所以x0=1（2）由f(x)≥g(x)得