陕西省安康市2025届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省安康市2025届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题一、单选题1．已知复数z满足z+zi=2，则|z|=A．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【解析】由z+zi=2，得z=故选:A.2．已知集合A=xx-1x3≤0，B={x|x≥a}，若A∩B=AA．[0,+∞) B．(0,+∞) C．【答案】C【解析】因为A=xA∩B=A，所以A⊆B，所以a≤0.故选：C.3．函数f(x)=ln(x+1)-lnA． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，排除A，f(x)=lnx+1x=ln1+1x，当x增大时，y=1故选：B.4．已知双曲线C:x2a2-y2A．C的实轴长为2 B．C的渐近线方程为y=±C．C的离心率为5 D．C的右焦点的坐标为(【答案】C【解析】对于AD，由a:b:c=1:2:5，取a=2，则c=25，C的实轴长4，右焦点(25对于B，由a:b=1:2，得C的渐近线方程为y=±2x，B错误；对于C，由a:c=1:5，得C的离心率e=5，C故选：C5．已知函数f(x)=excosx的图象在x=xA．y=1 B．y=32eπ6 C【答案】D【解析】函数f(x)=excosx，求导得即ex0(cosx0-sinx所以该切线的方程为y=2故选：D6．已知ln(x+4y)=2lnx+lnyA．2 B．2 C．22 D．【答案】D【解析】由题意，知x>0，y>0.由ln(x+4y)=2lnx+两边同时除以xy，得1y因为12x当且仅当8x=x，即x=22所以12x+1故选：D.7．已知函数f(x)=asinbx-cosbx(a>0,b>0)在区间π18,2π9上单调递增，在区间2π9,5πA．π18 B．π9 C．2π【答案】C【解析】由题意，知f(x)=asinbx-cos因为f(x)在区间π18,2所以x=2π9为f(x)图象的一条对称轴，所以b×又f7π18=0，所以b×7π18+θ=π所以f(x)=2sin3x-π6.将得到f(x+φ)=2sin3x+3φ-由f(x+φ)的图象关于y轴对称，得3φ-π6=所以φ=2π9所以φ的最小值为2π故选：C.8．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，D为斜边BC上一动点，将△ACD沿AD折起，使C的对应点为C'，且二面角C'-AD-B的大小为90∘，当BCA．102 B．62 C．6 D【答案】B【解析】如图，设∠BAD=α，则∠C过点C'作C'F⊥AD因为二面角C'-AD-B的大小为90∘，所以平面C又平面C'AD∩平面ABD=AD，C'F⊂平面C'过点B作BE⊥AD于点E，则AE=2cosα，又C'F=2sin所以EF=AE-AF因为二面角C'-AD-B的大小为所以BC当α=π4时，BC'有最小值2，此时AD平分∠BAC，且D，三棱锥C'-ABD可看作是棱长为设三棱锥C'-ABD外接球的半径为则(2R)2=(故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的第75百分位数为19B．相关系数为r1=0.98的两个随机变量比相关系数为C．若数据a1，a2，…，an的均值为3，a12，a22，…，an2的均值为11，则数据D．已知随机变量ξ~N(2,4)，若ξ=3η-1，则E(η)=6【答案】AC【解析】对于A，因为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数，为19，故对于B，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，一个是正相关，一个是负相关，r1=r对于C，a1，a2，…，an的方差为1对于D，由ξ~N(2,4)，得E(ξ)=2，则E(3η-1)=2，所以3E(η)-1=2，解得E(η)=1，故D错误.故选：AC.10．“探索对称之美，感受数学魅力”，如图①的星形图案ABCD，它可看作是由图②中的抛物线E:y2=2p(x-1)(p>0)绕坐标原点O按逆时针方向分别旋转45°，135°，225°，315°后所得的四条曲线围成的图形.若A，B，C，DA．p=2B．|AD|=4C．星形图案ABCD的面积大于8D．直线y=x与星形图案ABCD相交的弦长为2【答案】ABD【解析】对于A，由题意，知E与直线y=x相切，由y2=2p(x-1),y=x,消去y由Δ=4p2-8p=0，得p=2对于B，由选项A，知E与直线y=x的切点为P(2,2)，则|OP|=22由题意，旋转后|OA|=|OD|=|OP|=22，所以|AD|=4，故B对于C，如图，设直线y=x与星形图案在第一象限的交点为M，由E的方程，知当y=0时，x=1，即|OM|=1，星形图案的面积S阴影<4S对于D，直线y=x与星形图案相交的弦长为2|OM|=2，故D正确.故选：ABD.11．已知函数f(x)=lnx+x2+1A．f(x)是R上的奇函数B．g(x)在(-1,0)上单调递增C．f(-x)与f(x)的图象有三个不同的交点D．g(x)=1【答案】AD【解析】对于A，因为f(x)=lnx+x2+1又f(-x)=ln所以f(x)是R上的奇函数，故A正确；对于B，因为g(x)=lnx+1-x2所以不能说g(x)在(-1,0)上单调递增，故B错误；对于C，由f(x)=f(-x)，得2f(x)=0，即f(x)=0.因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，当x>0时，f(x)单调递增，由对称性，知当x<0时，f(x)单调递增，所以f(x)=0只有一个零点，故C错误；对于D，g(x)的定义域为-22,1，当x∈令t=h(x)=x+1-x2当x∈0,22时，h'又y=lnt单调递增，所以g(x)在g22=ln2，2知存在唯一的x0∈0,当x∈22,1时，h'又y=lnt单调递增，所以g(x)在g22=ln2>1所以g(x)=15有两个不同的解，故D故选：AD.三、填空题12．已知向量a，b满足b=(2,2)，且|a-b|=【答案】3【解析】因为|b所以|a故答案为：3213．某班级策划五一活动，其中歌曲类3个节目，语言类1个节目，才艺展示类3个节目，抽奖2次（一次抽一等奖名单，一次抽二等奖名单），要求开场和结束安排歌曲类，2次抽奖不连续，则有种安排方法.（用数字作答）【答案】21600【解析】先安排开场和结束的歌曲类节目，方法数为A3除了已经安排的歌曲类节目和两次抽奖活动，还有5个节目需要安排，方法数为A5抽奖活动可以从6个空中选两个，方法数为A62，所以方法总数为故答案为：21600.14．如图，由一个等腰三角形ABD与一个直角三角形DBC拼接成一个平面四边形ABCD，且AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，则当AC的长最大时，sin∠BAD的值为【答案】5【解析】设∠BAD=α，在△ABD中，由余弦定理，得BD因为BC=2BD，所以BC由正弦定理，得BDsinα=因为BD⊥BC，所以∠CBD=90°.在△ABC中，由余弦定理，得A==9-8=9-8=9+4=9+45其中sinφ=25，cosφ=1所以sinα=综上，当AC的长最大时，sin∠BAD的值为5故答案为：55四、解答题15．已知等差数列an的前n项和为Sn，a6=11，S10=100，（1）求an，b（2）设cn=2log3bn+1log3bn+1+1，数列解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为由题意，得a6=a1+5d所以an所以b3=a5=9所以bn（2）因为cn=2log3bn所以cn所以Tn所以不等式λTn+1>0可转化为-λ因为y=1+1n在(0,+∞)上单调递减，且即λ≥-12，所以λ的取值范围为16．目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.（1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记X为该同学的累计得分，求X的分布列；（2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？解：（1）依题意，X的可能取值为0，10，30，则P(X=0)=1-0.6=0.4，P(X=10)=0.6×[1-(0.5+0.1)]=0.24，P(X=30)=0.6×(0.5+0.1)=0.36，所以X的分布列为（2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得E(X)=0×0.4+10×0.24+30×0.36=13.2；当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记Y为该同学的累计得分，则Y的可能取值为0，20，30，P(Y=0)=1-0.5=0.5，P(Y=20)=0.5×[1-(0.6+0.1)]=0.15，P(Y=30)=0.5×(0.6+0.1)=0.35因此E(Y)=0×0.5+20×0.15+30×0.35=13.5，因为13.5>13.2，所以E(Y)>E(X)，所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.17．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=2，EF//AD，EF=1，P是DF的中点，G是BC的中点，平面FAG⊥平面（1）求证：DF⊥平面FAG；（2）求直线CP与平面BDE所成角的正弦值.（1）证明：如图，取AD的中点M，连接MP，MC.由P，M分别是DF，AD的中点，得PM//AF.又AF⊂平面FAG，PM⊂平面FAG，所以PM//平面FAG因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是BC的中点，所以CM⊥AD，CM//AG.因为AG⊂平面FAG，CM⊂平面FAG，所以CM//平面又PM∩CM=M，PM⊂平面CPM，CM⊂平面CPM，所以平面CPM//平面FAG由平面FAG⊥平面FCD，得平面CPM⊥平面FCD，且平面CPM∩平面FCD=CP，过点M作MH⊥CP于点H，MH⊂平面CPM，则MH⊥平面FCD.又DF⊂平面FCD，所以MH⊥DF.因为AE⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，所以AE⊥CM.又CM⊥AD，AD∩AE=A，AD⊂平面ADF，AE⊂平面ADF，所以CM⊥平面ADF又DF,AD⊂平面ADF，所以CM⊥DF，CM⊥AD.又CM∩MH=M，且Rt△CMP，CM与MH不重合，CM⊂平面CPM，MH⊂平面CPM，所以DF⊥平面CPM，所以DF⊥平面FAG.（2）解：如图，由（1），知DF⊥平面FAG.又AF⊂平面FAG，所以DF⊥AF，连接FM，则FM=12AD=1且EF=AM=1.又EF//AD又AE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AD，所以四边形AEFM为正方形.以A为原点，AG，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,-1,0)，C(3,1,0)，F(0,1,1)，D(0,2,0)，所以CP=-3,1设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅令x=3，则y=1，z=2，所以平面BDE的一个法向量为n所以直线CP与平面BDE所成角的正弦值为|cos18．“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆C:x2a2+y2b2（1）求C的标准方程.（2）设O为坐标原点，P为E上的动点，过点P且斜率为k(k≠0)的直线与E相切，与C交于A，B两点，射线PO交C于点Q，试问：△ABQ的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.解：（1）因为E的短轴长为2，所以d=1.因为E的离心率为e=b2-1又C的离心率e=a2-所以C的标准方程为x2（2）由（1），知E:x设Px0,y0由y=kx+m,x24因为直线y=kx+m与E相切，所以Δ=(8km)2-41+4所以x0=-4km所以直线OP的斜率kOP=y由y=-14kx,x216+y2由题意，得P，Q位于y轴两侧，所以xQ=-2x设Ax3,y3，Bx4由根与系数的关系，得x3+x所以x3-x4=由直线y=kx+m与y轴交于点(0,m)，得SΔ所以SΔABQ=3SΔ19．已知函数f(x)=a(x-1)ex+（1）若y=f'(x)的一个极值点为1（2）讨论f(x)的单调性；（3）证明：当n>1且n∈N*时，（1）解：由f(x)=a(x-1)ex+12令h(x)=axex+x，x∈由题意，知h'(1)=2ae当a=-12e时，令g(x)=-12当x∈(0,+∞)时，g'(x)<0，g(x)又h'(1)=0，所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，h'(x)<0，所以x=1为f'(x)（2）解：由（1），得f'若a≥0，则aex+1>0，当x∈(-∞,0)当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0若a<0，令f'(x)=0，得x=0或x=ln①当0<ln-1若x∈(-∞,0