2026步步高六册同步物理必修2-第八章 专题强化 动能定理和机械能守恒定律的综合应用

动能定理和机械能守恒定律的综合应用[学习目标]1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同.2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目．一、动能定理和机械能守恒定律的比较规律比较机械能守恒定律动能定理表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk使用范围只有重力或弹力做功无条件限制研究对象物体与地球组成的系统质点物理意义重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程合外力对物体做的功是动能变化的量度应用角度守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小动能的变化及合外力做功情况选用原则(1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节(2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍如图1，足够长的光滑斜面倾角为30°，质量相等的甲、乙两物块通过轻绳连接放置在光滑轻质定滑轮两侧，并用手托住甲物块．使两物块都静止，移开手后，甲物块竖直下落，当甲物块下降0.8m时，求乙物块的速度大小(此时甲未落地，g＝10m/s2)．请用机械能守恒定律和动能定理分别求解，并比较解题的难易程度．图1答案见解析解析方法一利用机械能守恒定律设甲、乙两物块质量均为m，物块甲下落h＝0.8m由于甲、乙两物块机械能守恒mgh－mghsin30°＝eq\f(1,2)(2m)v2解得v＝2m/s故此时乙的速度大小为2m/s方法二利用动能定理设甲、乙两物块的质量都为m，甲下落0.8m时两物块速度大小都为v对甲，由动能定理，mgh－FTh＝eq\f(1,2)mv2①对乙，由动能定理，FT·h－mghsin30°＝eq\f(1,2)mv2②由①②式联立解得，v＝2m/s故乙此时速度大小为2m/s用机械能守恒定律解题更简单一些．二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．一条长为0.80m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.10kg的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝1.00m，开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图2所示，让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的光滑小钉子P时立刻断裂，不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力．图2(1)求当小球运动到B点时的速度大小；(2)绳断裂后小球从B点抛出并落在水平地面的C点，求小球落到C点时的瞬时速度的大小．答案(1)4.0m/s(2)2eq\r(5)m/s解析(1)设小球运动到B点时的速度大小为vB，由机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mvB2＝mgl，解得小球运动到B点时的速度大小为：vB＝eq\r(2gl)＝4.0m/s.(2)小球从B点做平抛运动，小球只受重力，全过程机械能守恒，由机械能守恒定律有mgH＝eq\f(1,2)mv2，可得v＝eq\r(2gH)＝2eq\r(5)m/s.针对训练如图3所示，斜面ABC下端与圆轨道CDE相切于C点，整个装置竖直固定，D是圆轨道的最低点，斜面的倾角θ＝37°，B与圆心O等高，圆轨道半径r＝0.5m，斜面高h＝1.4m．现有一个质量m＝1kg的小物块P(视为质点)从斜面上端A点由静止下滑，经竖直圆轨道回到最低点D′以后经直轨道D′F冲上两个半径均为R＝0.4m的圆管轨道，所有轨道均光滑，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，忽略空气阻力，求：图3(1)物块到达D点时对轨道的压力大小；(2)若物块要在不脱离轨道的基础上能通过圆管轨道最高点G，则物块释放的高度H(距离斜面底端的高度)至少为多少？答案(1)70N(2)1.15m解析(1)物块从A到D的过程，由动能定理得mg(h＋r－rcosθ)＝eq\f(1,2)mvD2，物块到达D点时，由牛顿第二定律有FN－mg＝meq\f(v\o\al(D2),r)，联立解得FN＝70N，根据牛顿第三定律知，物块到达D点时对轨道的压力大小为70N.(2)因G点高于圆轨道半径，若物块要在不脱离轨道的基础上能通过G点，则物块必须能通过E点，则物块在E点的速度必须满足vE≥eq\r(gr).从开始到E点的过程，由机械能守恒定律得mg(H＋r－rcosθ)＝eq\f(1,2)mvE2＋2mgr，解得H≥1.15m，所以物块释放的高度至少为1.15m.如图4所示，曲面AB与半径为r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平．质量为m的小球(可视为质点)在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg.图4(1)求小球到达B点时的速度大小vB；(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；(3)小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧弹性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x.答案(1)eq\r(2gr)(2)mgr(3)eq\f(Ep,mg)－2r解析(1)小球在B点时，由牛顿第二定律可得mg＋mg＝meq\f(v\o\al(B2),r)解得vB＝eq\r(2gr).(2)小球从被释放至滑到B点过程，由动能定理得mg·2r－W＝eq\f(1,2)mvB2－0解得W＝mgr.(3)当弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B点到最低点的过程，由小球与弹簧构成的系统机械能守恒可知mg(r＋x)＋eq\f(1,2)mvB2＝Ep解得x＝eq\f(Ep,mg)－2r.1.如图1所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3eq\r(gR)，求：图1(1)物体在A点时的速度大小；(2)物体离开C点后还能上升的高度．答案(1)eq\r(3gR)(2)3.5R解析(1)物体在从A点运动到B点的过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点．设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mvB2，得v0＝eq\r(3gR).(2)设物体从B点上升到最高点的高度为h1，由机械能守恒定律可得mgh1＝eq\f(1,2)mvB2，解得h1＝4.5R所以物体离开C点后还能上升h2＝h1－R＝3.5R.2.如图2所示为一遥控电动赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图．假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点．已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4N，赛车质量为0.4kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2W，B、C两点间高度差为0.45m，赛道AB的长度为2m，C与圆心O的连线与竖直方向的夹角α＝37°，空气阻力忽略不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2，求：图2(1)赛车通过C点时的速度大小；(2)电动机工作的时间；(3)要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，轨道半径R需要满足什么条件？答案(1)5m/s(2)2s(3)0<R≤eq\f(25,46)m解析(1)赛车在BC间做平抛运动，则竖直方向vy＝eq\r(2gh)＝3m/s由图可知：vC＝eq\f(vy,sin37°)＝5m/s(2)由(1)可知赛车通过B点时的速度v0＝vCcos37°＝4m/s根据动能定理得：Pt－FflAB＝eq\f(1,2)mv02，解得t＝2s(3)当赛车恰好通过最高点D时，设轨道半径为R0，有：mg＝meq\f(v\o\al(D2),R0)从C到D，由动能定理可知：－mgR0(1＋cos37°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(D2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(C2)，解得R0＝eq\f(25,46)m所以轨道半径0<R≤eq\f(25,46)m.3.(2020·河北张家口市期末)如图3是弹簧枪发射钢珠前，测量弹簧的弹性势能的装置，M为半径R＝1.6m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为钢珠接收罩，它是一个与轨道的最低点A相平的足够大的接收罩，在A点放置水平向左的弹簧枪(枪的大小可忽略不计)，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01kg的小钢球，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．g取10m/s2.图3(1)某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，求该次发射钢珠前，弹簧的弹性势能Ep1；(2)另一次发射的小钢珠沿轨道从B点水平飞出后落到N上的位置与A点的水平距离为s＝4.8m，求此次发射钢珠前，弹簧的弹性势能Ep2.答案(1)0.4J(2)0.5J解析(1)在B处，由牛顿第二定律有mg＝meq\f(v\o\al(B2),R)解得vB＝eq\r(gR)＝4m/s从发射钢珠到上升至B点的过程，由机械能守恒定律有Ep1＝mg·2R＋eq\f(1,2)mvB2解得Ep1＝0.4J.(2)钢珠从B点水平飞出后做平抛运动，有2R＝eq\f(1,2)gt2s＝vB′·t联立解得vB′＝6m/s由机械能守恒定律有Ep2＝mg·2R＋eq\f(1,2)mvB′2解得Ep2＝0.5J.4.(2020·佛山一中高一检测)如图4所示，竖直平面内有一半径R＝0.5m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.5kg的小球从B点正上方H高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，D、Q间的距离s＝2.4m，球从D点飞出后的运动过程中相对于水平面上升的最大高度h＝0.8m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，求：图4(1)小球释放点到B点的高度H；(2)经过圆弧槽最低点C时轨道对小球的支持力大小FN.答案(1)0.95m(2)34N解析(1)设小球在飞行过程中通过最高点P的速度为v0，P到D和P到Q可视为两个对称的平抛运动，则有h＝eq\f(1,2)gt2，eq\f(s,2)＝v0t，可得v0＝eq\f(s,2)eq\r(\f(g,2h))＝eq\f(2.4,2)×eq\r(\f(10,2×0.8))m/s＝3m/s，在D点有vy＝gt＝4m/s，在D点合速度大小为v＝eq\r(v\o\al(02)＋v\o\al(y2))＝5m/s，设v与水平方向夹角为θ，cosθ＝eq\f(v0,v)＝eq\f(3,5)，A到D过程机械能守恒，有mgH＋mgRcosθ＝eq\f(1,2)mv2，联立解得H＝0.95m.(2)设小球经过C点时速度为vC，A到C过程机械能守恒，有mg(H＋R)＝eq\f(1,2)mvC2，在C点，由牛顿第二定律有FN－mg＝meq\f(v\o\al(C2),R)，联立解得FN＝34N.5．(2021·江苏常州市高一期末)如图5所示，带有遮光片(宽度为d)的物体P(质量为M＝2m)套在光滑水平直杆上，系在物体P上的细线跨过两个定滑轮与物体Q(质量为m)相连．细线与物体Q相连处设置有力传感器可以测出细线中的拉力．已知细线无弹性，定滑轮与光滑直杆都在竖直平面内，定滑轮与光滑直杆之间的距离为h，不计空气阻力．将物体P在图示位置(细线与水平直杆夹角为θ＝30°)由静止释放，重力加速度为g.图5(1)求物体P的最大速度；(2)若物体P沿直杆运动到细线与水平直杆的夹角为α＝45°时(如图位置)，力传感器示数为F，求此时物体Q的速度大小和加速度大小．答案(1)eq\r(gh)(2)eq\r(\f(2\r(2)－2gh,5))eq\f(F,m)－g解析(1)当物体P运动到左侧定滑轮正下方时速度最大，此时Q速度为零．对系统，由机械能守恒定律有mgheq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinθ)－1))＝eq\f(1,2)Mvmax2，解得vmax＝eq\r(gh)(2)物体P由初位置沿直杆运动到细线与水平直杆的夹角为α＝45°的过程中，对系统，由机械能守恒定律有mgheq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinθ)－\f(1,sinα)))＝eq\f