山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】点关于面对称的点的坐标为.故选：A.2.已知直线和直线平行，则实数的值为（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】因为直线和直线平行，所以，解得，当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去.故选：B3.在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为点M在线段上，且，N为中点，所以,故选：D.4.已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据直线的方向向量为，故可设直线方程为，代入即可得，故直线方程为，故选：B.5.正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，故，故直线与所成角的余弦值为.故选：D.6.过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设过且有斜率的直线位，曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆，由直线与圆相切可得，解得或，当直线经过点时，，当直线经过点时，，由图象可得，或．故选：C．7.在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，取，，，，，，，，而，则，即，设，则，由于与共面，故存在实数，使得，故，解得，故，故选：A.8.过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆的圆心C-2,0，半径∵，是圆的两条切线，则，且、、、四点共圆，∴，即，∵，所以，当PC最小，即直线时，AB取得最小值，此时直线方程为，即，联立，解得，即，则以为直径的圆的方程为，即，∵圆，两圆相交，两圆方程相减即为的方程.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则B.若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C.已知向量，，若，则为钝角D.在四面体中，若Q为的重心，则【答案】BD【解析】若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则或，故A不正确；若为空间的一个基底，则不共面，假设共面，则，则共面，矛盾，故不共面，所以可构成空间的另一个基底，故B正确；已知向量，，则，若，则，但当时，，故为钝角或平角，故C不正确；在四面体中，若Q为的重心，设为的中点，则，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.已知直线与圆，则（）A.当时，直线平分圆CB.直线与圆C总有两个公共点C.直线被圆C截得的最短弦长为D.被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条【答案】ABD【解析】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确；B.直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确；C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又，直线被圆C截得的最短弦长为，故错误；D.当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确；故选：ABD.11.正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A.若是线段上的动点，则B.若是线段上的动点，的最小值为C.若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为D.若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是【答案】AD【解析】对于A：连接，如下图所示，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；对于B：连接，将平面与展开成一个平面，如下图所示，当三点共线时，取最小值，最小值即为长度，因为，所以，所以，所以，所以的最小值为，故B错误；对于C：分别取的中点，依次连接，由三角形中位线性质线可得，，，，且，所以六边形为平面正六边形，连接，如下图，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以；同理可证，平面，所以平面，所以的轨迹围成的图形即为正六边形，所以面积为，故C错误；对于D：建立空间直角坐标系如图所示，设，因为，所以，设平面的一个法向量为，所以，所以，取，则，所以，因为，且平面，所以，所以，所以，所以，当时，此时有最小值，最小值为，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程______．【答案】（答案不唯一）【解析】假设圆心，半径为，则圆的标准方程为直线的一般式为，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径所以所以，取则，所以圆的标准方程为，故答案为：（答案不唯一）13.已知向量在向量上的投影向量是，且，则______．【答案】【解析】因为，则，且向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，故答案为：.14.已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为______；若点是圆上的动点，则的最大值为______【答案】【解析】因为直线，即，令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线：过定点，又因为，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆，故点的轨迹为圆；的圆心，半径，所以的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：以D原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，．所以，，，设平面的法向量为m=x,y,z所以，令得，，所以，又平面，所以平面；（2）解：，点F到平面的距离，由题意可知，，，，，所以，所以，三棱锥的体积.16.已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．（1）求直线方程和点C的坐标；（2）求的面积．解：（1）因为边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为，所以联立，得，设点关于直线的对称点为，所以解得，即，所以，所以直线的方程为．因为边上的高所在直线方程为，所以设直线的方程为，代入，得，所以直线的方程为，联立，解得．（2）因为边所在直线方程为，所以，点A到直线的距离，，所以．17.如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．（1）证明：平面平面；（2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．（1）证明：取中点，连结，，，由题意，在中，，，所以为等边三角形，所以，因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以，为二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，B1,0,0，，，．所以，，由于为棱中点，故，所以，，设平面的法向量为，所以，令，，设直线与平面所成角为，则，所以，所以，直线与平面所成角的余弦值为．18.已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点．（Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（Ⅱ）若，求直线的方程．解：（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，且M是线段的中点，所以，，于是，①因为点A在圆上上运动，所以点A坐标满足圆的方程，即②，把①代入②，得，整理，得；（2）（Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，设，，将代入，并整理，得，∴，，则，，∴，所以为定值，且定值为12；（Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，设，，将代入，并整理，得，∴，，∴，∴或，经检验，时，此时直线与圆没有两个交点，即中，所以，所以，直线的方程为．19.如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点．（1）若N为的中点，证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．（1）证明：设，可知的面积，的面积，三棱台的体积，即，所以．连接，可得，，所以，即，因为M，N分别为，的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以，由M为的中点，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，又，、平面