2024北京中学初三4月月考数学试题及答案

试题试题2024北京北京中学初三4月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.已知，已知华为麒麟芯片采用7纳米工艺制造，则7纳米用科学记数法表示为（）米．A. B. C. D.3.正十边形的内角和是下列哪个图形内角和的2倍？（）A. B. C. D.4.实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是（）A. B. C. D.5.经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（）A. B. C. D.6.平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（）A. B. C. D.7.若关于的方程有两个实数根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.8.如图，点B,C,D在同一条线上，点D在点B，C之间，点A在直线上方，连接,，，，，设，，，，给出下面三个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.② C.①③ D.①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式的值为0，则的值为______.10.分解因式：_________．11.如图，已知菱形，通过测量、计算得菱形的面积约为_______．（结果保留一位小数）12.如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为________m．13.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．14.如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点A，B，C是网格线交点）．15.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．16.小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为________元．菜品单价（含包装费）数量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆丝（小）12元1豉汁排骨（小）30元1手撕包菜（小）12元1米饭3元2三、解答题17.计算．18.解不等式组：19.若，求解的值．20.已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若为正整数，求此时方程的根．21.某种电热淋浴器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可供淋浴用，在放水的同时自动注水，设t分钟内注入水升，放水升，当水箱内的水量达到最小值时，必须停止放水并将水箱注满，加热升温，过一定时间后，才能继续放水使用．现规定每人入浴用水量约65升，求解该淋浴器一次可连续供几人洗浴．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．23.已知四边形，．点E在四边形的外部，连结．（1）证明:四边形是矩形．（2）若，，求解的长．24.为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：b．甲学校学生成绩在这一组的是：80808181.582838384858686.5878888.58989c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.38478根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选．25.如图，点P是外一点，过点P的直线m是的切线，切点是A，过点A作弦，连接交于点E，连接．（1）在图1中，求证：；（2）在图2中，过点P作直线，直线与直线n相交于点K，若直线n是圆的切线，切点是C，，求解的半径．26.在平面直角坐标系中，，，是抛物线上任意三点，设抛物线的对称轴为．（1）若对于，，有，求的值；（2）若对于，，，都有，求的取值范围．27.在中，，点D是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．（1）连结，证明：．（2）在线段延长线上取一点F，满足，作点E关于直线的对称点G，连接，，补充图形，直接写出的大小，并说明理由．28.给出坐标平面上的一个定点与一动点，，给出如下定义：连结，线段的上有一点，若，则称点为点，的“分圆伴点”．如图点为点，的“2分圆伴点”的示意图．（1）已知点的坐标为，，下列给出四个点中，是点，的“2分圆伴点”．，，，（2）已知点的坐标为，，若直线上至少有一个点是，的“2分圆伴点”，求解的取值范围；（3）已知点在以为圆心，以为半径的圆上运动，．若，，三点围成的的三边上的点都是点，的“2分圆伴点”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选A．2.【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可求解．【详解】解：∵∴∴故选：D．3.【答案】C【分析】本题考查了多边形内角和定理，设边形的内角和是正十边形内角和的2倍，由题意列方程进行求解即可.【详解】解：设边形的内角和是正十边形内角和的2倍，由题意得，解得：，故选：C．4.【答案】C【分析】根据数轴上的点所表示的数即可解答．【详解】解：A.∵a在原点的右边，∴a>0，故不正确；B.∵a在b的右边，∴a>b，故不正确；C.∵，5>0，∴，故正确；D.∵a表示的点到原点的距离比b表示的点到原点的距离近，∴，故不正确；故选C．【点睛】此题主要考查数利用数轴上的点的比较代数式的大小，绝对值的意义，以及加法法则，关键熟记数轴上的点从左至右依次增大，位于原点左边的数为负数．原点右边的数为正数，正数大于负数．5.【答案】A【分析】从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解．【详解】解：由题意知，A，B两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况，分别是：A直行B右转，A直行B直行，A右转B右转，A右转B直行，因此经过该路口的两辆汽车都直行的概率为．故选A．【点睛】本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键．6.【答案】A【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．【详解】解：∵反比例函数，∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，∴点和中，，∴，即，故选：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．7.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握当根的判别式大于等于0时，一元二次方程有两个实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．故选D．8.【答案】A【分析】本题考查了三角形的三边关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．对于①，利用三角形三边关系，即可判断答案；对于②，以为直径画圆，交于点E，连结，，则，根据勾股定理，可得，再根据，，即可判断答案；对于③，过点A作于点H，在，和中，根据勾股定理，可得，，，将前两式相加得，再，代入，即可化简为，由此即可判断答案．【详解】在和中，，，，；所以①正确；如图1，以为直径画圆，交于点E，连结，，则，，即，，，，；所以②正确；如图2，过点A作于点H，，，，，，，，，；所以③错误．故选A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．【详解】解：∵分式的值为0，∴x-1=0且x≠0，∴x=1．故答案为1．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10.【答案】y（x+1）（x﹣1）【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解．【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），故答案为y（x+1）（x﹣1）．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用．11.【答案】【分析】如图（见解析），过点D作于点E，测量出BC，DE的长，再利用菱形的面积公式即可求出菱形的面积．【详解】如图，过点D作于点E，经测量，则，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的面积公式，熟记面积公式是解题关键．12.【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证得成为解题的关键．如图：先证明可得，再结合已知条件可得，然后求解即可．【详解】解：如图：∵，∴，∴，∴，解得：．故答案为：．13.【答案】460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只），故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14.【答案】45【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．根据网格作出等腰直角三角形即可解答．【详解】解：如图：取格点D，则，∴，，∴是等腰直角三角形，∴．故答案为：45．15.【答案】25°【分析】连接BC，BD,根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【点睛】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.16.【答案】54【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据满3元减元，满元减元，满元减元，即可得到结论．【详解】解：小宇应采取的订单方式是一份，一份，所以点餐总费用最低可为元，答：他点餐总费用最低可为元．故答案为：．三、解答题17.【答案】【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】不等式组的解集为.【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：解不等式①得：，∴解不等式②得：，∴∴不等式组的解集为【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则约分化简，再求出，据此把代入化简结果中求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据的范围可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案．【小问1详解】∵原方程有实数根，【小问2详解】∵为正整数，又，当时，原方程为，即，解得，．因此，原方程的根为；【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于的一元一次不等式；（2）确定的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．21.【答案】该淋浴器一次可连续供4人洗浴．【分析】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，弄懂题意、确定变量代表的意义是解题的关键．设水箱的水量为y，先列出水箱的水量为y与时间t的关系式，再求出水箱内水取最小值时的注水时间，然后再求出放水的总量，最后结合每人入浴用水量约65升即可解得答．【详解】解：设水箱的水量为y，由题意得：，当时，水箱内水量的达到最小值；在此期间，共放水升，∵每人洗浴用水65升，∴可洗浴人数为，∴该淋浴器一次可连续供4人洗浴．22.【答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式之间的关系等知识点，熟练掌握知识点以及运用数形结合的思想是解题的关键．（1）先根据直线平移时k的值不变得到，再将点代入一次函数的解析式求得b即可解答；（2）先根据题意得出x的范围，再由得到m的范围即可．【小问1详解】解：∵

一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴点代入一次函数的解析式，得，解得，∴这个一次函数的解析式为【小问2详解】解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，，解得：，23.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题主要考查了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键．（1）先证可得，即四边形是平行四边形；如图：作的角平分线分别交于点F、G，可证四边形是矩形，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论；（2）如图：过E作交延长线于H，根据等腰直角三角形的性质及矩形的性质可得，设，则，根据正切的定义可列方程求得，即，然后运用勾股定理求得的长即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴如图：作的角平分线分别交于点F、G，∵，∴,同理：，∴∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．【小问2详解】解：如图：过E作交延长线于H，∵，∴,∵四边形是矩形，∴,即，∴,∴,设，则，∵，∴,即，解得：，∴,∴,∴．24.【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可．【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5∴中位数为：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分故A的排名更靠前；故答案为：A；（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）根据题意，90-100分的人数为为：人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x=3，而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，故答案为：88.5．【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．25.【答案】（1）见解析（2）2【分析】本题主要考查了解直角三角形、垂径定理、切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，说明为的直径成为解题的关键．（1）连接，设，则，由等腰三角形的性质可得，再根据切线的性质可得，最后根据角的和差可得即可证明结论；（2）连接，过作，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，再根据切线的性质以及全等三角形的判定与性质可得可得，再结合可得点O在上，即为的直径，则；再结合以及三角形内角和定理可得，进而得到；再根据直角三角形的性质可得,即；由垂径定理可得，最后再解直角三角形即可解答．【小问1详解】解：如图：连接，设，则，∵,∴，∵直线m是的切线，∴，∴，∴．【小问2详解】解：如图：连接，过作，∵，∴，∵，∴,∴，∵直线m是的切线，直线n是圆的切线，∴,∵,∴，∴，，∵，∴点O在上，即为的直径，∴,∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴,即，∵，∴，∵，∴．26.【答案】（1）2（2）【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键；（1）根据二次函数的对称性即可解答；（2）分在对称轴上的右侧和左侧时两种情况，分别列不等式求解即可．【小问1详解】解：∵对于，，有，∴抛物线的对称轴为，【小问2详解】解：∵，∴抛物线开口向向上，∵抛物线的对称轴为，对于，，，都有，∴，当在对称轴右侧时，∴，，∴，∵，，，∴；当在对称轴的左侧时，∴，∴且，∵，，，∴；综上所述，t的取值范围是．27.【答案】（1）见详解（2）【分析】（1）连接并延长，交于点M，取中点N，连接，由等腰三角形的“三线合一”得到，，可证明，再根据平行线的性质即可求证；（2）在射线上取点H，使得，连接，先证明，则可得，再证明，则，继而，可证明，因此，可证明，继而求解．【小问1详解】证明：连接并延长，交于点M，取中点N，连接，由题意得，，∵中点为点N，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：；【小问2详解】解：，在射线上取点H，使得，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴∵点E与点G关于对称，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转变换以及轴对称变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅