2024-2025学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos600°=(

)A.12 B.−12 C.2.已知复数z满足z=1−i2+i(i为虚数单位)，则z−A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为(

)A.2π B.33π C.4.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图像向右平移π12A.g(x)=−cos2x B.g(x)=cos2x

C.g(x)=sin(2x−5π5.正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是(

)A.13 B.33 C.6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，点D满足CD=12AB，则A.6 B.8 C.83 7.已知正四棱台的上下底面的边长分别为2和22，体积为14A.28π3 B.32π3 C.16π38.已知α∈(0,π)，3sinα+cosα=1，则1−tanα2A.−2 B.2 C.−12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.若z1=2i，z2=3i，则z1<z2 B.若n∈N，则i4n=1

C.若z=2−i10.已知向量a，b，c均为单位向量，a+b+A.|a−b|=2 B.|11.已知函数f(x)=|sinx|,sinx≥cosx|cosx|,sinx<cosx，则下列说法正确的是(

)A.f(x)的值域是[0,1] B.f(x)是以π为最小正周期的周期函数

C.f(x)在区间(π,3π2)上单调递增 D.f(x)在[0,2π]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b的夹角为120°,|a|=2,|a−2b|=213.已知等边△ABC的边长为43，AD是BC边上的高，以AD为折痕将△ACD折起，使∠BDC=60°，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为______．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，则△ABC周长的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=cos(2x−π3)+cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)16.(本小题15分)

如图，四面体ABCD中，点G是△ABC的重心，点E在AD上，AE=2ED．

(1)求证：GE//平面BCD；

(2)设过点G，E，C的平面为α，α与四面体的面相交，交线围成一个多边形．

(i)请在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)；

(ii)求出α将四面体分成两部分几何体体积之比．17.(本小题15分)

在△ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D．

(1)求证：BDDC=ABAC；

(2)若BD=2DC，∠BAC=60°，AD=2，求18.(本小题17分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，△A1BC为等边三角形．

(1)求证：A1B⊥平面AB1C；19.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S．

(1)若a2+b2+c2=43S，a=b，求C；

参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.AD

12.1

13.52π

14.(4,6]

15.(1)因为f(x)=cos(2x−π3)+cos2x=32cos2x+32sin2x=3sin(2x+π3)，

所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π；

(2)当2x+π3=π2+2kπ，k∈Z时，sin(2x+π3)=1，则x=π12+kπ，k∈Z，f(x)有最大值为16.(1)证明：连接AG并延长交BC于点F，连接DF，

因为AGGF=AEED=2，因此GE//DF，

GE⊂平面BCD，DF⊂平面BCD，

因此GE//平面BCD．

(2)(i)连接CG并延长交AB于点H，连接HE，EC，则平面HEC即为α．

(ii)由(i)知，α将四面体ABCD分成两部分，

即三棱锥C−AHE与四棱锥C−BDEH，记高为ℎ，

△AHE△ABD=12×|AH|×|AE|×sin∠HAE12×|AB|×|AD|×17.(1)证明：在△ABD和△ADC中，如图所示：

由正弦定理得：

BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，

因为∠BDA+∠ADC=180°，所以∠ADC=180°−∠ADB，

所以DCsin∠DAC=ACsin∠ADC=ACsin(180∘−∠BDA)=ACsin∠BDA，

即DCsin∠DAC=ACsin∠BDA，

又因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC，

所以BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，DCsin∠DAC=ACsin∠BDA，两式相除得BDDC=ABAC，

所以BDDC=ABAC得证．

(2)解法一：由BD=2DC，由(1)得AB=2AC，所以S△ABC=S△ABD+S△ADC，

18.(1)证明：设AB1∩A1B=O，连接CO，

因为四边形AA1B1B为菱形，所以A1B⊥AB1，A1O=OB，

又因为△A1BC为等边三角形，所以A1B⊥CO，

因为AB1∩CO=O，AB1，CO⊂平面AB1C，

所以A1B⊥平面AB1C.

(2)设点C到平面AA1B1B的距离为d，

在△AOC中，AO=OC=3，AC=2，

可得点O到AC的距离为AO2−(AC2)2=2，

由(1)知，A1B⊥平面AB1C，

所以VC−AA1B=VA1−AOC+VB−AOC=2VA1−AOC=2×13×1×12×2×2=223，

又因为S△AA1B=12×3×2=3，

所以d=223=26319.(1)解：因为a2+b2+c2=43S，

所以a2+b2+c2=43×12