2024-2025学年江西省部分学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省部分学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(−3,7)，B(5,−2)，则AB=(

)A.(−8,9) B.(8,−9) C.(8,9) D.(−8,−9)2.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(

)A.1 B.2 C.3 D.43.tan73°−tan13°1+tanA.3 B.−33 C.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a：b：c=2：3A.5312 B.3285.已知向量a，b，c满足|a|=3，|b|=5，且a与c的夹角、b与c的夹角均为120°，则a+bA.−4 B.4 C.−8 D.86.已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=−513，sinβ=45A.1665 B.413 C.56657.把函数f(x)=2sin(2x+π8)的图象上的每个点向右平移π8A.[−3π16+2kπ,5π16+2kπ](k∈Z) B.[−8.已知非零向量a，b的夹角为θ，且|2a+b|=|a|A.[0,π6]∪[5π6,π] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，b=4，则下列结论正确的是(

)A.△ABC外接圆的半径为42 B.△ABC外接圆的半径为22

C.a的取值范围为(0,410.已知向量a，b，c，d分别表示位移“向东移动1km”“向北移动1km”“向西北方向移动32km”“向西南方向移动2A.向量a+b表示“向东北方向移动2 km”

B.向量a−5b+c与a+b平行

C.向量c+11.已知函数f(x)=3sinx−2sin(x+A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的值域为[−5,5]

C.当f(x)取得最大值时，cosx=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(1,2)，b=(−1,0)，且a⊥(a+λb13.已知角θ的终边经过点(1,−2)，则tanθ=______，cos(θ+π3)=14.八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成.塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字.如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机飞行到与塔底B位于同一水平面的D点，测得CD=13.4m，∠BCD=115.5°，∠CDB=53°，则纪念塔的塔高为______m.

(参考数据：取sin53°=0.8，sin11.5°=0.2)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知tanα=23．

(1)求sinα−cosαsinα+cosα的值；16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，设AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示AC，AF．

(2)证明：E，F，C三点共线．

(3)若AB=3，17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4acosB+b=4c．

(1)求cosA；

(2)若a=6，求△ABC18.(本小题17分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示．

(1)求A，ω，φ．

(2)已知函数g(x)=f(x)+|f(x)|．

①求g(x)的分段解析式；

②若g(x)在[2π,m]上的图象与直线y=42恰有3个公共点，求m的取值范围．19.(本小题17分)

若△ABC中的一个内角等于△DEF中的一个内角，则称△ABC和△DEF为同源三角形，这组相等的内角称为同源△ABC和△DEF的同源角．

(1)若在△ABC中，BC=2，AC=3，∠ABC=π3，判断△ABC和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由．

(2)如图，同源△ABC和△ADE的同源角为∠BAC和∠DAE，且BC=15CD=13DE

答案解析1.【答案】B

【解析】解：点A(−3,7)，B(5,−2)，

则AB=(5+3,−2−7)=(8,−9)．

故选：B．

由向量的坐标运算，即可得到结果．

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查弧长公式及面积公式的使用.先根据扇形面积公式S=12lr，求出r=2，再根据α=【解答】解：设扇形的半径为r，中心角为α，

根据扇形面积公式S=12lr，

得6=12×6×r，∴r=2，

又扇形弧长公式l=r⋅α3.【答案】A

【解析】解：由两角差的正切公式可得，tan73°−tan13°1+tan73∘tan13∘=tan60°=34.【答案】D

【解析】解：由a：b：c=2：3：2，设a=2t，则b=3t，c=2t，

根据余弦定理得5.【答案】A

【解析】解：因为|a|=3，|b|=5，且a与c的夹角、b与c的夹角均为120°，

所以a+b在c方向上的投影数量为：

(a+b)⋅c6.【答案】C

【解析】解：由题意可得0<α+β<π，

可得sin(α+β)=1−cos2(α+β)=1213，cosβ=1−sin2β=35，

7.【答案】B

【解析】解：由题意得g(x)=f(x−π8)，所以g(x)=2sin[2(x−π8)+π8]=2sin(2x−π8)，

令−π8.【答案】D

【解析】解：由|2a+b|=|a|，

可得3|a|2+4|a||b|cosθ+|b|2=0，

即3|a|2|b|2+4|a||b|cosθ+1=0，

令t=|9.【答案】BC

【解析】解：根据正弦定理，则R为外接圆半径，则2R=bsinB=42，得R=22，故A选项不正确，B选项正确；

根据正弦定理，则asinA=bsinB=42，得a=42sinA，

由B=π4，得0<A<3π4，则a=42sinA∈(0,42]10.【答案】ABD

【解析】解：由题，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为向量a，b，c，d分别表示位移“向东移动1km”，“向北移动1km”，

“向西北方向移动32 km”，“向西南方向移动22 km”，

所以a=(1,0)，b=(0,1)，c=(−3,3)，d=(−2,−2)，

对于A，a+b=(1,1)，|a+b|=2，

所以a+b表示“向东北西方向移动2 km”，故A正确；

对于B，a−5b+c=(−2,−2)=−2(a+b)，

所以a−5b+c与a+b平行，故B正确；

对于C，c+d=(−5,1)，所以11.【答案】ABD

【解析】解：由题意得f(x)=3sinx−2sin(x+π4)=3sinx−2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)=5sin(x−α)，

其中sinα=15，cosα=25，

故f(x)的最小正周期为2π，值域为[−5,5]，故A，12.【答案】5

【解析】解：由题意可知，a+λb=(1−λ,2)，

又a⊥(a+λb)，

所以a⋅(a+λ13.【答案】−2

5【解析】解：角θ的终边经过点(1,−2)，

则tanθ=−2，cosθ=55，sinθ=−255，

则cos(θ+π3)=14.【答案】53.6

【解析】解：根据题意可知，∠BCD=115.5°，∠CDB=53°，

则∠CBD=180°−53°−115.5°=11.5°，

在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD，

得BC=sin∠CDBsin∠CBD⋅CD=4CD=53.6 m15.【答案】−15；

−【解析】(1)由tanα=23，

得sinα−cosαsinα+cosα=tanα−1tanα+1=23−123+1=−15；

16.【答案】AC=a+b，AF=23a+【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，设AB=a，AD=b，

则AC=AB+AD=a+b，

AF=AB+BF=AB+13BD=AB+13(AD−AB)=23a+13b；

证明：(2)由题意得17.【答案】cosA=14；

4+【解析】(1)根据题意可知，4acosB+b=4c，

根据正弦定理得4sinAcosB+sinB=4sinC，

在△ABC中，A+B+C=π，则sinC=sin(A+B)，

则4sinAcosB+sinB=4sin(A+B)=4sinAcosB+4cosAsinB，

得sinB=4cosAsinB，

在△ABC中，B∈(0,π)，则sinB≠0，所以cosA=14；

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

由(1)知cosA=14，又a=6，

则6=b2+c2−12bc=(b+c)2−2bc−12bc，

即6+52bc=(b+c)2，

又6+52bc≤6+5218.【答案】A=4，ω=12，φ=−3π4；

①g(x)=8sin(【解析】(1)由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=4，T=2×(7π2−3π2)=4π，所以ω=2πT=12．

由f(x)的图象过点(5π2,4)，所以12×5π2+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得φ=−3π4+2kπ(k∈Z)，

因为|φ|<π，所以φ=−3π4．

(2)①当f(x)=4sin(12x−3π4)≥0时，g(x)=2f(x)=8sin(12x−3π4)，

此时2kπ≤12x−3π4≤π+2kπ(k∈Z)，解得3π2+4kπ≤x≤7π2+4kπ(k∈Z)．

当f(x)=4sin(12x−3π4)<0时，g(x)=f(x)−f(x)=0，

此时−π+2kπ<12x−3π4<2kπ(k∈Z)，解得−π2+4kπ<x<3π2+4kπ(k∈Z)．

所以g(x)=8sin(12x−3π19.【答案】△ABC和等腰直角三角形为同源三角形，理由见解析；

①ABAE=1【解析】(1)△ABC和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下：

在△ABC中BC=2，AC=3>BC，∠ABC=π3，

由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，

得sin∠BAC=BCACsin∠ABC=22，

因为∠BAC<∠ABC=π3，所以∠BAC=π4，

因为在等腰直角三角形中，存在大小为π4的内角，

所以△ABC和等腰直角三角形为同源三角形；

(2)①由题意得B，C，D，E四点共线，设△ABC在BC边上的高为ℎ，

则△ADE，△ABD