2024-2025学年贵州省黔南州高一下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省黔南州高一下学期期末质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x−1<x≤4 A.(−1,4] B.(−1,4) C.(2,4) D.2.样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是(

)A.6 B.7 C.8 D.93.在▵ABC中，E为边BC上的一点，且BE=3EC，则AEA.14AB+34AC B.34.从0∼9这10个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是6”的概率为(

)A.110 B.15 C.3105.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则圆台的体积为(

)A.33π B.83π6.某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：观看比赛场数01234567观看人数所占百分比7%18%15%m%10%14%15%5%从表中可以得出正确的结论为(

)A.估计观看比赛场数的极差为6B.估计观看比赛场数的众数为2

C.估计观看比赛不低于4场的学生约为200人D.估计观看比赛不超过2场的学生概率为0.47.如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°,∠BDC=120°,CD=10m，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高A.20m B.203m C.30m8.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4A.[0,1) B.(0,1] C.(−1,0) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=−1+2i(i是虚数单位)A.|z|=5 B.z的虚部是2

C.复数z的共轭复数为z=1+210.已知事件A，B满足P(A)=0.1,P(B)=0.6，则下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B可能为对立事件

B.若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立

C.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.7

D.若事件A与事件B11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是BB1,DD1,A.A,B1,P,N四点共面

B.异面直线CD1与BC1所成的角为π4

C.当点Q在线段B1C上运动时，三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知θ为锐角，且cosθ=23，则tanθ=13.在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为

．14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱ABC−A1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1=AC=BC=4，则该“堑堵”的外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=lg(1)求函数f(x)的定义域M；(2)判断函数f(x)的奇偶性，若f(t)=2，求f(−t)的值．16.(本小题15分)已知平面向量a=(1,2),b=(3,x),(1)求b和c的坐标；(2)求向量2a与向量b+17.(本小题15分)在▵ABC中，c=3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：csinA=(1)若b=2，求▵ABC(2)求a+b的取值范围．18.(本小题17分)2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值．(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC(1)证明：EF//平面PBC(2)证明：AC⊥平面PBD(3)若PD=2,∠DAB=60°，记PC与平面PAB所成的角为θ，求sin答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】根据集合的交集运算求解．【详解】M∩故选：D．2.【答案】B

【解析】【分析】根据中位数的定义求解．【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，即6+82故选：B．3.【答案】A

【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合线段的比例关系来推导AE的表达式．【详解】由图形可知：AE=故选：A4.【答案】B

【解析】【分析】利用列举法求解出古典概型的概率．【详解】从0∼9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，若一个数平方的个位上的数字是6，则该数是4或6，共2种情况，故所求概率为210=1故选：B．5.【答案】C

【解析】【分析】利用圆台体积公式即可求得结果．【详解】设上、下底面的半径分别为r1,r2，高为则S1=π所以V=1故选：C．6.【答案】D

【解析】【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出m=16，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项．【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为7−0=7，A错误；B选项，由频率分布表的性质，得m=100−7−18−15−10−14−15−5=16．由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误；C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为10％所以估计观看比赛不低于4场的学生约为500×44％=220(人D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为7％+18％故选：D．7.【答案】C

【解析】【分析】在▵BCD中，由正弦定理求得BC=103【详解】在▵BCD得∠CBD=180由正弦定理，得BCsin∠BDC=CDsin∠在Rt▵ABC中，AB=BCtan60故选：C．8.【答案】A

【解析】【分析】根据取整函数的定义求函数的值域．【详解】设x=a+b，其中a=[x]，b为x的小数部分，则0≤b<则g(x)=x−所以函数g(x)的值域为：[0,1)．故选：A9.【答案】AB

【解析】【分析】对A，利用复数模公式求解；对B，根据复数虚部概念判断；对C，根据共轭复数的定义判断；对D，根据复数的几何意义判断．【详解】对于A，|z|=对于B，复数z=−1+2i的虚部为2对于C，复数z=−1+2i的共轭复数为z对于D，因为复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误．故选：AB．10.【答案】BCD

【解析】【分析】利用事件的对立可对A判断；由利用相互独立事件的定义，可对B判断；利用互斥事件的概率公式，即可对C判断；利用相互独立事件的概率公式即可对D判断．【详解】对于A，由对立事件的概率和为1，但P(A)+P(B)=0.7≠1，故A错误；对于B，根据相互独立事件的性质可得事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立，故B正确；对于C，若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7，故对于D，根据相互独立事件的定义，P(AB)=P(A)P(B)=0.06，故D正确．故选：BCD．11.【答案】ACD

【解析】【分析】对A，由题可得AB1//DC1，PN//DC1，得AB1//PN得证；对B，连接AD1,CD1,AC,BC1，可得异面直线【详解】对于A，如图1，在正方体中，易知AB又P，N分别是C1D1,DD1的中点，则PN//对于B，如图2，分别连接AD1,C则异面直线CD1与BC1所成的角为∠AD1对于C，如图3，由等体积法，得VA因为B1C//A1D，可得B1所以点Q到平面A1BD的距离为定值．又所以VQ−A1且VA1−BDQ对于D，如图4，取CC1的中点O，易得ON⊥当NQ=22时，点Q的运动轨迹是在侧面BCC1B1内以CC在Rt▵OC1H中，由OH=2，C1所以圆弧HMG⌢圆心角为α=π3，所以点Q的运动轨迹的长度为l=αr=故选：ACD．12.【答案】5【解析】【分析】根据sin2θ+cos2θ=1，且θ【详解】因为θ为锐角，且cosθ=23故tanθ=故答案为：513.【答案】1425【解析】【分析】已知甲、乙两人猜灯谜的独立事件恰有一人猜对的概率P，设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P=P(AB【详解】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P(A)=810=所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P(AB故答案为：142514.【答案】48π

；6【解析】【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据2R=AC②如图2，取中点E，F，G构造面FGPE，由EF与AC1线线平行推出AC1与面【详解】如图1，将三棱柱ABC−A1B则外接球的半径R=AC如图2，分别取AA1,A1C1,B1C1的中点为E，因为F，G分别为A1C1,B在直三棱柱ABC−A1B1C因为E，P分别为AA1,BB1的中点，所以A1E/\!/B1P且A1E=B1P，所以四边形A1B因为E，F分别为AA1,又EF⊂平面PEFG，AC因为A1C1=B1C1且则EF=A1当E不是AA1的中点时，PE不平行平面A1在等腰梯形PEFG中，FG=EF=PG=22，过点G作EP的垂线，交EP于点H，所以GH=故答案为：48π；15.【答案】【详解】(1)由题意，f(x)=lg由1+x>01−x则函数f(x)的定义域为M=(−1,1)．(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．又f(−x)=lg所以函数f(x)为奇函数，又f(t)=2，所以f(−t)=−

【解析】【分析】(1)根据函数解析式，得1+x>(2)通过计算f(−x)，并与f(x)比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得f(−t)．16.【答案】【详解】(1)因为a//b，所以x=2×因为a⊥c，所以2+2y=0⇒(2)因为2a=(2,4)，所以cos<2即向量2a与向量b+c

【解析】【分析】(1)根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解；(2)求出2a、b17.【答案】【详解】(1)选条件①：由正弦定理，得sinC因为A∈(0,π所以sinC=3因为C∈(0,π在▵ABC中，当c=由余弦定理c2得3=a2+4−2×a所以S▵选条件②：因为(a−b)2=c由余弦定理，得cosC=因为C∈(0,π在▵ABC中，当c=由余弦定理c2得3=a2+4−2×a所以S▵(2)解法一：由题设及(1)可知C=π由余弦定理，得(化简得(a+b)2−3=3ab.又所以(a+b)2解得a+b≤2当且仅当a=b=c=由三角形的三边关系可知a+b>所以3<a+b≤23解法二：由题设及(1)可知C=π由正弦定理，得asin所以a=2sin得a+b=2(=2sin=2因为C=π3，则所以sin故3所以3<a+b≤23

【解析】【分析】(1)选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到tanC=3，故C=选②，由余弦定理求出C=π3，(2)解法一：由余弦定理和基本不等式得到a+b≤23，结合三角形的三边关系可知a+b>解法二：由正弦定理得到a=2sinA,b=2sinB，结合三角恒等变换得到a+b=218.【答案】【详解】(1)10×(0.005+a+0.045+0.020+0.005)=1，解得(2)由频率分布直方图易知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.20,0.05，所以这100名候选者面试成绩的平均数约为50×因为0.05+0.25=0.30<设这100名候选者面试成绩的第60百分位数为x，则x则0.05+0.25+(x−65)×0.045=0.60，解得故第60百分位数为71.67．(3)设第四组、第五组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x1且两组频率之比为0.200.05则第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为x=第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为s2故估计第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差是32．

【解析】【分析】(1)根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，列式求解；(2)根据频率直方图估算平均数公式，百分位数定义列式求解；(3)根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可．19.【答案】【详解】(1)证法一：如图1，取PB的中点为Q，连接EQ，CQ．又E，F分别为线段PA，DC的中点，四边形ABCD为菱形，所以FC//AB且FC=12AB所以FC//EQ且FC=