2024-2025学年广西南宁九中高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁九中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列3，4，5，6，⋯的一个通项公式为(

)A.an=n B.an=n+1 C.2.(a+b)n(n∈N∗)当n=1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(

)

A.5，9 B.5，10 C.6，10 D.6，93.已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有(

)A.13条 B.15条 C.21条 D.36条4.已知等比数列{an}中，公比q=2，其前5项和S5=93A.6 B.8 C.12 D.245.设抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为p22，则直线lA.±22 B.±12 6.下列函数求导正确的是(

)A.(1x)′=1x2 B.(x7.在等比数列{an}中，a3=−16，aA.−2n+1 B.2n+1 C.48.函数f(x)=x3−12x在区间[−3,2]上的最大值是A.−9 B.−16 C.16 D.9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(1,1,1)，b=(−1,0,2)，则下列正确的是(

)A.a+b=(0,1,3) B.|a|=3

10.抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ=4”表示的试验结果是(

)A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点

C.第一枚2点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点11.下列选项正确的是(

)A.f(x)=1x，则f′(3)=−19

B.y=x3+sin2，则y′=3x2+cos2

C.y=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(x+ay)4的展开式中含x2y2项的系数为2413.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−14.已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：

.(用一般式方程表示)

①倾斜角为30°；

②不经过坐标原点．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在数列{an}中，已知a4a6=64，a3+a7=34．

(1)若数列{16.(本小题15分)

已知函数f(x)=12x2−2lnx−x．

(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求函数17.(本小题15分)

若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品.某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，则按要求回答以下问题：

(1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列；

(2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差．18.(本小题17分)

某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，问：

(1)有多少种不同的选法？(用数字作答)

(2)如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？(用数字作答)

(3)如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？(用数字作答)19.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°且PA=2AB=4，E，F分别为PD，PB的中点．

(1)若平面CEF与平面ABCD的交线为l，证明：l/​/EF；

(2)求平面CEF与平面ABCD所成角的余弦值；

(3)若平面CEF与线段PA交于点M，求PM的长．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由数列的第一项为3可排除ABD，

因为数列3，4，5，6，⋯，

所以数列的一个通项公式为an=n+2．

故选：C．

根据数列的通项公式求解．2.【答案】C

【解析】解：结合题意可得λ=3+3=6，μ=4+6=10，

故选：C．

直接根据题意即可求出．

本题考查了二项式定理，属于基础题3.【答案】B

【解析】解：已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，

由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，

由分步乘法计数原理得从甲地到丙地不同的路线有3×4+3=15条．

故选：B．

由分类加法和分步乘法计数原理即可直接计算求解．

本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于中档题．4.【答案】C

【解析】解：∵等比数列前5项和S5=93，

∴a1+a2+a3+a4+a5=93，

∴a35.【答案】A

【解析】解：设p=2，

此时K(−1,0)，

设直线l的方程为x=ty−1(t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=ty+1y2=4x，消去x并整理得y2−4ty+4=0．

此时Δ=(−4t)2−4×4=16t2−16>0，

解得t2>1，

由韦达定理得y1+y2=4t，y1y2=4，

所以x1+x2=t(y1+y2)−2=4t2−2．

因为点M是线段AB的中点，

所以M(2t2−1,2t)，

易知N(t2,2t)，6.【答案】B

【解析】解：对A，(1x)′=−1x2，故A错误；

对B，(xex)′=ex+xex=(1+x)ex，故B正确；

对C，(2lnx)′=2x7.【答案】A

【解析】解：∵在等比数列{an}中，a3=−16，a2a5=29，

∴a1q2=−16a1qa1q8.【答案】C

【解析】解：因为f′(x)=3x2−12，令f′(x)=0，解得x=±2，

当x∈(−3,−2)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，

当x∈(−2,2)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减，

所以f(x)在x=−2时取得极大值，即最大值f(−2)=(−2)3+2×12=16，

所以f(x)在区间[−3,2]上的最大值是16．

故选：C．9.【答案】AB

【解析】解：∵a=(1,1,1)，b=(−1,0,2)，

∴a+b=(0,1,3)，|a|=12+12+12=3，

∵a⋅b=−1+0+2=1≠0，∴a，b不垂直，

10.【答案】AB

【解析】解：抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，

ξ=4的可以是：第一枚6点，第二枚2点；第一枚5点，第二枚1点．

故选：AB．

根据ξ的含义作出判断即可．

本题主要考查了随机变量的应用，属于基础题．11.【答案】AD

【解析】解：因为f(x)=1x，则f′(x)=−1x2，则f′(3)=−19，故A正确；

因为y=x3+sin2，则y′=3x2，故B错误；

因为y=ln(2x)，则y′=22x=1x，故C错误；

因为f(x)=xlnx，则f′(x)=lnx+1，又f′(12.【答案】±2

【解析】解：二项式的展开式中含x2y2的项为C42x2(ay)2=6a2x2y213.【答案】x2【解析】解：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1

∵椭圆的两个焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)，

∴2a=(52+2) 2+94+(514.【答案】x−3y+1=0(【解析】【分析】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

由①可得直线的斜率k=33，由②可得直线y=【解答】

解：由①可得直线的斜率k=tan30°=33，

由②可得直线y=33x+b中的b≠0，

可得直线的一个方程为y=33x+15.【答案】an=15n−58或−15n+92；

an=2n−2或(−1【解析】(1)∵{an}为等差数列，∴a4+a6=a3+a7=34，

又a4a6=64，可解得：a4=2a6=32或a4=32a6=2，

设等差数列{an}的公差为d，则d=a6−a42=15或d=−15，

当d=15时，a1=a4−3d=−43，

当d=−15时，a1=77，

∴an=−43+15(n−1)=15n−58或an=77−15(n−1)=−15n+92，

综上所述：an=15n−58或−15n+92．

(2)∵{an}为等比数列，∴a4a6=a3a7=64，

又a3+a7=34，可解得：a3=2a7=32或a316.【答案】解：(1)f(1)=12−2ln1−1=−12，

f′(x)=x−2x−1，

所以k切=f′(1)=1−2−1=−2，

所以切线方程为y+12=−2(x−1)，

所以切线方程为4x+2y−3=0．

(2)f′(x)=x−2x−1=(x−2)(x+1)x，(x>0)，

令f′(x)=0，得x=2或−1(舍去)，

所以在(1,2)【解析】(1)计算f(1)，求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，由点斜式，即可得出答案．

(2)求导得f′(x)，令f′(x)=0，得x=2或−1(舍去)，分析f(x)的单调性，即可得出答案．17.【答案】分布列见解析；

E(X)=37，D(X)=【解析】(1)随机变量X的取值为0，1，2，3，

P(X=0)=C61C91=23，P(X=1)=CX0123P2111(2)将分布列数据代入期望和方差公式可得：E(X)=0×23+1×14+2×114+3×184=37，

18.【答案】2380；

1008；

57120．

【解析】解：某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，

(1)从9名男医生，8名女医生中选出4名的选法种数为：C174=17×16×15×144×3×2×1=2380；

(2)从9名男医生，8名女医生中选出4名，要求男医生两名，女医生两名的选法种数为：

C92C82=9×82×1×8×72×1=36×28=1008；

(3)从9名男医生，8名女医生中选出4名，再将选出的医生安排到四个社区，

每个社区一名医生的安排种数为：A174=17×16×15×14=57120．

(1)从9名男医生，8名女医生共1719.【答案】证明见解析；

35；

43【解析】解：(1)证明：如图所示，连接BD，因为E，F分别是PD，PB的中点，

所以EF//BD，

EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，那么EF/​/平面ABCD，

又EF⊂平面CEF，平面CEF∩平面ABCD=l，

所以l/​/EF；

(2)因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，设CD中点为G，易知AB，AG，AP两两互相垂直，

故以点A为坐标原点，直线AB，AG，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意PA=2AB=4，所以C(1,3,0)