2024-2025学年天津市武清区英华中学高一（下）期中数学试卷(含解析)

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市武清区英华中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，若z(1+3i)=2i，则|z|=A.1 B.2 C.2 D.2.在△ABC中，a，b是角A，B的对边，a=2，b=6，A=45°，则角B的值为(

)A.60° B.150° C.30°或150° D.60°或120°3.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)，且a⊥c，bA.0 B.1 C.2 D.34.一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是(

)A.2+2 B.1+2 C.5.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的(    )倍．A.9 B.27 C.81 D.7296.已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3km的B处.乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处.若两船相距19km，则乙船与灯塔A之间的距离(单位：km)为(

)A.1 B.3 C.2 D.7.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为33，则此正四棱柱的体积是(

)A.968 B.9388.四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得CD=DE，若点F为线段AE上的动点，则BF⋅CFA.38 B.1 C.78 9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的个数为(

)

①若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形；

②若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；

③若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形；

④在△ABC中，A=60°，a=6，若A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。10.i是虚数单位，复数2+i1−i的虚部为______．11.已知四棱锥P−ABCD底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为36，则它的表面积为______．12.已知|a|=3，|b|=1，|a−b13.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱AB上的点，且AM=13AB，P是棱AA1上的点，且AP=13AA1.延长14.在△ABC中，AB=2，AC=3且|3λAB+2(1−λ)AC|的最小值为3，则∠BAC=______，若点E、F分别为线段AB与线段AC上的动点，且线段EF交中线AD于G，△AEF的面积为△ABC面积的一半，则三、解答题：本题共5小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题10分)

若复数z=(m2+m−6)+(m2−m−2)i(m∈R,i是虚数单位)．

(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)16.(本小题12分)

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=23，b=3，且满足b−ac=sinB−sinCsinA+sinB．

(1)求角A的值；

17.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，设CA=a，CB=b．

(1)用a,b表示EF及CD；

(2)若∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，

①求BC的长；

②求CD在18.(本小题12分)

如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为46，点E、F分别为棱BC与AA1的中点．

(1)若△ABC边长为2，求三棱柱ABC−A1B1C1的高；19.(本小题13分)

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中c=1．

(1)当cos2A=sin2B+cos2C−sinAsinB，

①求角C；

②若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围；

(2)答案解析1.【答案】A

【解析】解：由z(1+3i)=2i，得z=2i1+3i=2i(1−3i)(1+2.【答案】D

【解析】解：因为a=2，b=6，A=45°，

所以由正弦定理得：asinA=bsinB，

所以sinB=bsinAa=6×222=33.【答案】A

【解析】解：∵x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，

c=(2,−4)且a⊥c，b/​/c，

∴2x−4=012=y−4，解得x=2，y=−2，

∴x+y=04.【答案】A

【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，

∴原四边形为直角梯形，

且CD=C′D′=1，AB=O′B=22+22+1=2+1，高AD=20′D′=2，

∴直角梯形ABCD的面积为12(1+5.【答案】B

【解析】解：因为球的表面积扩大到原来的9倍，所以半径扩大到原来的3倍，

所以该球的体积扩大到原来的27倍．

故选：B．

根据球的表面积公式，体积公式，即可求解．

本题考查球的几何性质，属基础题．6.【答案】C

【解析】解：根据题意，可得AB=3，BC=19，∠CAB=70°+50°=120°，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcos∠CAB=19，

即AC2+9+3AC=19，整理得(AC+5)(AC−2)=0，所以AC=2(舍负7.【答案】C

【解析】解：设圆锥底面半径为r，因为母线长为l=2，

则半圆弧长=πl=2π=底面周长=2πr，

所以r=1，所以圆锥的高为：PO=22−12=3

如图，设O′B=x，则EB=2x，设OO′=ℎ，则PO′=3−ℎ，

因为PO′PO=O′BOA，

所以x1=3−ℎ3=1−ℎ3，

8.【答案】B

【解析】解：已知四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得CD=DE，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则C(0,0)，E(2,0)，B(0,1)，A(1,1)，

又点F为线段AE上的动点，

设EF=λEA，其中0≤λ≤1，

则CF=CE+λEA=(2−λ,λ)，

则BF⋅CF=(2−λ,λ−1)⋅(2−λ,λ)=2λ2−5λ+4，

又f(λ)=2λ2−5λ+4在λ∈[0,1]为减函数，

9.【答案】B

【解析】解：对于①：由余弦定理：bcosC+ccosB=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac

=a2+b2−c22a+a2+c2−b22a=2a22a=a=b，所以△ABC是等腰三角形，故①正确；

对于②：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，

解得2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，所以△ABC是等腰或直角三角形，故②错误；

对于③：因为a2+b2−c210.【答案】32【解析】解：∵2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+3211.【答案】3

【解析】解：如图，设底面中心为O，

则VP−ABCD=13×1×1×PO=36，

可得PO=32，

因为底面为正方形，则AO=22，

所以PA=PO2+AO2=12.【答案】(−3【解析】解：由于|a|=3，|b|=1，|a−b|=2，

所以|a−b|2=4，整理得a⋅b=0；

由于a+λb与a+2b的夹角为锐角，

所以(13.【答案】1341【解析】解：由题意平面MCD1P将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为V1和V2(V1<V2)，

故台体PAM−D1DC体积为V1，剩余图形的体积为V2，

设正方体的棱长为3，

则正方体体积为33=27，

又AM=13AB=1，DC=DD1=3，故AP=AM=1，

S△PAM=12⋅AP⋅AM=12，

S△CDD1=12CD⋅DD114.【答案】2π3

[【解析】解：因为|3λAB+2(1−λ)AC|=9λ2|AB|2+12λ(1−λ)|AB||AC|cos∠BAC+4(1−λ)2|AC|2

=72(1−cos∠BAC)[(λ−12)2−14]+36

=72(1−cos∠BAC)(λ−12)2+18+18cos∠BAC≥18+18cos∠BAC，

当且仅当λ=12时，等号成立，

又因为|3λAB+(2−2λ)AC|的最小值为3，

所以18+18cos∠BAC=3，解得；cos∠BAC=−12，

又0<∠BAC<π，所以∠BAC=2π3；

设|AE|=x，|AF|=y，又△AEF的面积为△ABC面积的一半，

AB=2，AC=3，∠BAC=2π3，

所以12xysin∠BAC=12×12×|AB|×|AC|sin∠BAC，即xy=3，

设AG=λAD，则AG=λAD=λ2AB+λ2AC，

又E，G，F共线，所以存在实数μ，使得AG=μAE15.【答案】解：(1)∵z是纯虚数，∴m2+m−6=0m2−m−2≠0，解得，m=−3，

∴m的值为−3；

(2)∵z在复平面内对应的点在第二象限，∴m2+m−6<0m2【解析】(1)由实部为0且虚部不为0求解m的值；

(2)由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．16.【答案】π3；

3【解析】解：(1)因为b−ac=sinB−sinCsinA+sinB，

由正弦定理可得b−ac=b−ca+b，

整理得b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccosA，

可得cosA=12，

在△ABC中，A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)由正弦定理知bsinB=asinA，而a=23，b=3，

即3sinB=2332，解得sinB=34，

又b<a，所以17.【答案】EF=13b−12a，CD【解析】解：(1)已知在△ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，且CA=a，CB=b．

因为AD=25AB，

所以EF=CF−CE=13CB−12CA=13b−12a；

CD=CA+AD=CA+2518.【答案】42；

63；【解析】解：(1)设△ABC的高为ℎ，

S△ABC=12×3×2=3，

ℎ=VABC−A1B1C1S△ABC=463=42；

(2)VC−AEF=VF−ACE

=13⋅S△ACE⋅AF

=13⋅12S△ABC⋅12AA1

=112VABC−A1B1C1

=112×46

=63；

(3)设正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为a，高为b，上底面中心为O1，下底面中心为G，连接O1G，

19.【答案】(1+3,3]；

【解析】解：(1)①因为cos2A=sin2B+cos2C−sinAsinB，

所以1−sin2A=sin2B+1−sin2C−sinAsinB，

由正弦定理可得b2+a2−c2=ab，

由余弦定理可得cosC=b2+a2−c22ab=12，

在△ABC中，0<C