2024-2025学年广东省东莞市万江中学等三校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省东莞市万江中学等三校高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导运算正确的是(

)A.(lnx)′=1x B.(e−x)′=e2.3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是(

)A.81 B.64 C.24 D.123.(x−1x)10的展开式中xA.−210 B.−120 C.120 D.2104.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k,k=1,2,3,⋯，则A.1732 B.1532 C.33645.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35，在刮台风的条件下，下大雨的概率为910，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(

)A.23 B.2750 C.9106.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面说法正确的是(

)A.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 B.函数f(x)在区间(−2,1)上单调递增

C.x=−3为函数f(x)的极小值点 D.x=2为函数f(x)的极大值点7.今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过8100天后是(

)A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)>f′(x)+1，f(0)=3，则不等式f(x)>2ex+1的解集为A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(−∞,1) D.(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=x3+x−2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x−1，则P点的坐标可以为A.(1,0) B.(2,8) C.(−1,−4) D.(1,4)10.下列说法正确的是(

)A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法

B.4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果

C.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法

D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法11.关于函数f(x)=2x+lnx，下列判断正确的是A.x=2是f(x)的切线方程且平行于x轴

B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点

C.存在正实数k，使得f(x)>kx成立

D.对两个不相等的正实数x1，x2，若f(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若An2=Cn+1n−113.甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为

．14.已知α，β分别是函数f(x)=x+ex−xex和g(x)=x+lnx−xlnx的零点，且α>1，β>e，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3−3x2−24x+20．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数16.(本小题15分)

在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256．

问题：在(ax−13x)n (a>0)的展开式中，_____．

(1)求n的值；

17.(本小题15分)

记f″(x)=(f′(x))′，f′(x)为f(x)的导函数.若对∀x∈D，f″(x)>0，则称函数y=f(x)为D上的“凸函数”.已知函数f(x)=ex−13x3−ax2−1，a∈R．

(1)若函数f(x)为R上的凸函数，求a的取值范围；18.(本小题17分)

在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首．

(1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率；

(2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx−x+2x．

(1)当a=3时，求f(x)的单调区间；

(2)①若f(x)≤2x−1恒成立，求a的值；

②求证：对任意正整数n(n≥2)，都有(1+参考答案1.A

2.B

3.B

4.D

5.B

6.D

7.C

8.A

9.AC

10.BD

11.ABD

12.6

13.111814.1

15.解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2−6x−24=3(x+2)(x−4)，

令f′(x)=0，解得x1=−2，x2=4，

当x<−2时，f′(x)>0，当−2<x<4时，f′(x)<0，当x>4时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在区间(−∞,−2]和[4,+∞)上单调递增，在区间(−2,4)上单调递减，

故f(x)的单调递减区间为(−2,4)，单调递增区间为(−∞,−2]，[4,+∞)．

(2)由(1)得，当x在区间x−1(−1,4)4(4,5)5f′(x)−0+f(x)40单调递减−60单调递增−50所以函数f(x)在区间[−1,5]上的最小值为−60，最大值为40．

16.解：(1)选①：因为Cn2=Cn6，所以n=8；

选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2=4，则n=8；

选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n=256，则n=8；

(2)二项式(ax−13x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r(ax)17.(1)已知函数f(x)=ex−13x3−ax2−1，

则f′(x)=ex−x2−2ax，f″(x)=ex−2x−2a，

因为函数f(x)为R上的凸函数，

则ex−2x−2a>0恒成立，

设g(x)=ex−2x−2a，

则g′(x)=ex−2，

则x>ln2时，g′(x)>0，函数g(x)为增函数，x<ln2时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，

即g(x)min=g(ln2)=2−2ln2−2a，

由题意可得：2−2ln2−2a>0，

即a<1−ln2，

即a的取值范围为(−∞,1−ln2)；

(2)函数y=f(x)在(1,+∞)上有极值，

即方程ex−x2−2ax=0在(1,+∞)有变号根，

即方程2a=exx−x在(1,+∞)有变号根，

设ℎ(x)=exx−x，x∈(1,+∞)，

则ℎ′(x)=ex(x−1)−x2x2，

令φ(x)=ex(x−1)−x2，x>1，

则φ′(x)=x(ex−2)>0，

即φ(x)在(1,+∞)18.(1)在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，

此时共有32=9种选法，

其中甲、乙两班选择不同的曲目共有A32=6种选法，

则甲、乙两班选择不同曲目的概率为P=69=23．

(2)因为这四个班级总共选取了X首曲目，

所以X的所有可能取值为1，2，3，

此时P(X=1)=CX123P114419.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)f′(x)=3x−1−2x2=−x2−3x+2x2=−(x−1)(x−2)x2

令f′(x)=0得x=1或x=2，

x∈(0,1)时，f′(x)<0；x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,+∞)时，f′(x)<0

所以，f(x)的单调增区间是(1,2)，单调减区间是(0,1)，(2,+∞)．

(2)①解：由f(x)≤2x−1，得alnx−x+1≤0对x∈(0,+∞)恒成立．

记ℎ(x)=alnx−x+1(x>0)其中ℎ(1)=0，

ℎ′(x)=ax−1=a−xx，

当a≤0时，ℎ′(x)<0恒成立，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，不符合题意；

当a>0时，令ℎ′(x)=0，得x=a，

x∈(0,a)时，ℎ′(x)>0，x∈(a,+∞)时，ℎ′(x)<0，

所以ℎ(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，

∴ℎ(x)max=ℎ(