2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是(

)A.a⋅b=0⇒a//b

B.a//b⇒a在b上的投影向量为−|3.已知a=(5,−2)，b=(−4,−3)，c=(x,y)，若a−2bA.(1,83) B.(133,4.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是(

)A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形5.下列说法错误的是(

)A.矩形旋转一周一定形成一个圆柱 B.任意n面体都可以分割成n个棱锥

C.棱台的侧棱的延长线必交于一点 D.一个八棱柱有10个面6.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为(

)A.13abc B.16abc C.7.设z1=3−4i，z2=−2+3i，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.设O是原点，OA，OB对应的复数分别为2−3i，−3+2i，那么BA对应的复数是(

)A.−5+5i B.−5−5i C.5+5i D.5−5i9.若(1−i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，i是虚数单位，则a，b的值分别等于(

)A.3，−2 B.3，2 C.3，−3 D.−1，410.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.不确定二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.复数53+4i的共轭复数是______．12.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是______．13.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为______．14.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．15.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=503，c=150，B=30°，则边长a=

(1)

或

(2)

．三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知过O点的任意两个不共线的非零向量a,b，若OA=a+b,OB=a+2b,OC18.(本小题10分)

已知a=3e1−2e2,b=4e1+e219.(本小题8分)

已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(sinB,cosA)，且m⊥n．

(1)求角A；

(2)若20.(本小题10分)

已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+3sinxcosx．

(1)化简函数f(x)为Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的形式，并求f(答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论．【解答】

解：四边形ABCD构成平行四边形⇒AB=DC，

反之不一定成立，A，B，C，D四点可能共线，

∴AB=DC是四边形2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查向量的数量积的求法与应用，命题的真假的判断，属于基础题．

利用向量垂直的充要条件可判断A，C；利用向量的投影向量判断B；取c=0可判断【解答】

解：a⋅b=0⇔a⊥b，故A不正确；

若a与b同向时，a在b上的投影向量为：a⋅b|b|⋅e=|a|e(e是与b方向相同的单位向量)，故B3.【答案】D

【解析】解：由题意可得：a−2b+3c=(13+3x,4+3y)=0，

所以13+3x=0，并且4+3y=0，

所以x=−133，y=−43．4.【答案】D

【解析】解：由B=60°，b2=ac，可得b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，

即5.【答案】A

【解析】解：对于选项A：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱；故A说法错误；

对于选项B：任意n面体，在n面体内取一点为P，将点P与n面体的各个顶点连，即可构成n个棱锥，故B说法正确；

对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；

对于选项D：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故D说法正确；

故选：A．

根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验。

本题考查了空间几何体的定义及特征，掌握定义及几何体的特征是本题的根本，属于基础题。6.【答案】B

【解析】解：∵三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，

则这个三棱锥的体积为：

V=13Sℎ=13×12×abc=7.【答案】D

【解析】解：∵z1=3−4i，z2=−2+3i，

∴z1+z2=(3−4i)+(−2+3i)=1−i，

∴8.【答案】D

【解析】【分析】

直接利用复数的坐标运算及减法几何意义求解．

本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数加减法的几何意义，是基础题．

【解答】

解：由OA，OB对应的复数分别为2−3i，−3+2i，

所以BA=OA−OB=(2−3i)−(−3+2i)=5−5i9.【答案】B

【解析】解：(1−i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，

则3+2i=a+bi，

故a=3，b=2．

故选：B．

根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．

本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．10.【答案】C

【解析】解：因为a=80，b=100，A=30°，

由正弦定理得，8012=100sinB，

所以sinB=58，

因为a<b，

所以B>A，

故B有两解．

11.【答案】35【解析】解：因为复数53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=5(3−4i)25=35−4512.【答案】60°

【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

①若相邻两个面上的对角线有公共点，比如图中的AB1与AD1，

连接B1D1，根据AD1=B1D1=AB1，可得△AB1D1是等边三角形，

所以∠B1AD1=60°，即直线AB1与AD1所成的角等于60°；

②若相邻两个面上的对角线没有公共点，比如图中的AD1与A1B，

13.【答案】14π

【解析】解：长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，

所以长方体的外接球的直径为：9+4+1=14，

外接球的半径为：142．

则这个球面的面积为：4×(14214.【答案】(35,−【解析】解：∵向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是±a|a|=±(35,−45)，

即(35,−415.【答案】(−65【解析】解：设a=(x,y)，∵|a|=3，∴x2+y2=3，即x2+y2=9

①，

又a⊥b，∴x+2y=0

②，联立①②得：x=−655y=316.【答案】50【解析】解：∵b=503，c=150，B=30°，

∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：(503)2=a2+(150)2−2×a×150×32，

17.【答案】猜想A，B，C三点共线．

证明见解析．

【解析】由OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．

(1)猜想A，B，C三点共线．

证明：(2)因为AB=OB−OA=a+2b−(18.【答案】解：(1)∵e1=(1,0),e2=(0,1)，

∴|e1|=|e2|=1，又a=3e1−2e2,b=4e1+e【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的坐标加减运算，考查计算能力，是中档题．

(1)由已知向量的坐标求出向量e1,e2的模，展开数量积运算可求a⋅b；求出a+b的坐标，由模的公式计算；

19.【答案】解：(1)因为m⊥n，所以m⋅n=asinB+3bcosA=0，

由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0，

因为sinB≠0，所以sinA+3cosA=0，即：tanA=−3，

又因为0<A<π，所以A=23π；

(2)由余弦定理可得：【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题．

(1)利用两向量垂直得到m⋅n=asinB+3bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB