【联考】江苏省南京师范大学附属中学、盐城联考2025届高三上学期一模考前模拟数学试题

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2025年南京盐城一模考前模拟

一、单选题(共8小题，每小题5分)

1．已知集合，Bxx4或，则AB（）

�=�−3<�<2�>1

A．x4x3B．x3x1

C．x1x2D．xx3或

�>1

2．函数f(x)2cos3x的最小正周期是（）

4

32

A．B．C．D．2π

233

22

3．设z2i12i，则z8i（）

A．10B．9C．45D．36

4．已知向量a2,1,bt,1，若abb，则t（）

11

A．B．0C．D．1

22

22

xy22

5．已知F1，F2分别是双曲线C:1b0的左、右焦点，是M双曲线C右支上的一个动点，且“MFMF”

4b212

的最小值是86，则双曲线C的渐近线方程为（）

1

A．yxB．y2x

2

23

C．yxD．yx

22

6．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为9π，则圆锥的体积为（）

A．12πB．18πC．24πD．30π

b23

7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且12cosA，cosAC，的面积为6，

a2c25

则b△（𝐴）�△𝐴�

222222

A．4B．C．4或D．3或

222

8．若关于x的不等式2ax24xax2只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）

A．1a2B．1a2C．0a2D．0a2

二、多选题（共3小题，每小题6分，有多个选项符合题意，选对部分的得部分分，有选错的得0分）

2

9．已知抛物线C:y4x的焦点为F，顶点为O，点M(x0,y0)在抛物线C上，若|MF|3，则下列选项正确的是（）

A．x02B．以MF为直径的圆与y轴相切

C．|OM|13D．

�△𝑂�=2

10．定义；在区间I上，若数yfx是减函数且yxfx是增函数，则称yfx在区间I上是“弱减函数”，根

据定义可得（）

1

A．fx在0,上是“弱减函数”

x

x

B．fx在1,2上是“弱减函数”

ex

sinx

C．fx在0,上是“弱减函数”

x2

lnx

D．若fx在m,上是“弱减函数”，则me

x

11．如图所示，用斜二测画法作水平放置的VABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1B1C1，A1D1是B1C1边上的中

线，则由图形可知下列结论中正确的是（）

A．ABBCACB．ADBC

C．ABBCD．ACADABBC

三、填空题（每小题5分）

ex,x1

12．已知函数fx则f(ln3)．

fx1,x1

13．如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，

则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为．

x2ax,x01

．已知函数是奇函数，且在上单调递减，则实数的取值范围用区间表示

14f(x)2m,mm

xx,x02

为.

四、解答题

15．（13分）

微生物生态学的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，这些有益水生微生物对于维持水质平衡具有非常重

要的作用．研究人员为了研究某种有益水生微生物在特定营养物质浓度下的增长速率与水体类型（淡水或咸水）的

关系，对100个水体环境样本中的有益水生微生物在一段时间内的数量进行了观察，经统计得到如下的列联表：

增长情况

水体环境类型合计

快速增长未快速增长

淡水环境a25

咸水环境10b

合计100

2

已知从这100个水体环境样本中随机抽取1个，该水体环境中的有益水生微生物属于“快速增长”的概率为．

5

(1)求a,b；

(2)根据小概率值0.01的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关？根据小概率

值0.001的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关？

2

nadbc

附：2，

abcdacbd

0.010.0050.001

x6.6357.87910.828

16．（15分）

已知数列an满足a11,an3an14n2．设bnlog3an2．

(1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an通项公式；

3bn

(2)设数列cn，且对任意正整数n，不等式cn21恒成立，求实数的取值范围．

anan1

17．（15分）

已知函数fxaxln1xx．

(1)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)若0是函数gxexfx的极小值点，求实数a的取值范围．

18．（17分）

1

已知点A2,0，B2,0，动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．

2

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)写出曲线C的两条性质；

(3)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证

明：是直角三角形．

△𝑃�

19．（17分）

*

已知n4且nN，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，dAB表示点A，B间

的距离，记集合S{dAB|A,BS,AB}.

(1)若四面体ABCD满足：AB平面BCD，BCCD，且ABBCCD1

①求二面角CADB的余弦值：

②若SA,B,C,D，求S

(2)证明：4cardSn1

1

参考公式：x2x2x2(xxx)2

12nn12n

2025年高考改革适应性考试补偿练习参考答案：

题号12345678910

答案CCABCACBABDBCD

题号11

答案CD

331

12．13．14．,0

e322

15．【详解】（1）因为从这100个样本中随机抽取1个，该有益水生微生物属于“快速增长”

2

的概率为，

5

a102

则，解得a30，又a1025b100，解得b35，

1005

所以a30，b35．

（2）由（1）得，22列联表如下：

增长情况

水体环境类型合计

快速增长未快速增长

淡水环境302555

咸水环境103545

合计4060100

令零假设为H0：该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关，

2

10030352510

由210.7746.635x，根据小概率值0.01的独立性检验，

406055450.01

推断H0不成立，

即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．

2

因为10.77410.828x0.001，根据小概率值0.001的独立性检验，没有充分证据推断

H0不成立，

即认为H0成立，即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关．

16．【详解】（1）证明：由a11,an3an14n2，

可得an23an163an12，a123

即数列an2是首项和公比均为3的等比数列，

nn

则an23，即an32；

3bna23n

cn

（2）数列nnn1，

anan1anan13232

nn1

c3n132323n16

则n1，

n1n2nn21

cn3232332

3

可得c递减，可得cc，对任意正整数n，不等式c21恒成立，

nn17n

355

可得21，即有，即的取值范围是,.

777

17．【详解】（1）由fxaxln1xx，x(1,)，

x

则fxalnx11，

x1

所以f0=1，即切线斜率为1，

又f0=0，则切点为(0,0)，切线方程为yx，

所以曲线yfx在点0,f0处的切线方程为yx．

（2）根据题意得，gxexaxlnx1x，

x

则gxex1alnx1．

x1

由0为gx的极小值点，可知g00．

xx

设hxgxe1alnx1,x1，

x1

xx2

则hxea2,h012a．

x1

（ⅰ）当a0时，hx0，

所以gx在1,上单调递增，又g00，

所以当x1,0时，gx0，gx单调递减；

当x0,时，gx0，gx单调递增，

所以0是gx的极小值点，符合题意．

1

（ⅱ）当0a时，设mxhx，

2

ax3

x

则mxe30，

x1

所以hx在1,上单调递增，h012a0，

a12

a1

ha1ea21a1a0，

a11

所以存在x11,0，使得hx10，

所以当x1,x1时，hx0，hx单调递减，即gx单调递减；

当xx1,时，hx0，hx单调递增，即gx单调递增.

又g00，

所以当xx1,0时，gx0，gx单调递减；

当x0,时，gx0，gx单调递增，

所以0是gx的极小值点，符合题意．

1

（ⅲ）当a时，h00，且hx在1,上单调递增，

2

所以当x1,0时，hx0，hx单调递减，即gx单调递减；

当x0,时，hx0，hx单调递增，即gx单调递增.

又g00，所以gxg00，gx单调递增，不符合题意．

1

（ⅳ）当a时，h00，hx在1,上单调递增，hln2aeln2a2a0，

2

所以存在x20,ln2a，使得hx20，

所以当x1,x2时，hx0，gx单调递减，又g00，

所以当x1,0时，gx0，gx单调递增；

当x0,x2时，gx0，gx单调递减.

所以0是gx的极大值点，不符合题意．

1

综上，a的取值范围是aa．

2

yy1

18．【详解】（1）依题意可得x2，

x2x22

x2y2

化简得1x2，

42

∴C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；

（2）曲线C的上下顶点为0,2，曲线上点到中心的距离的取值范围为2,2等；

（3）设直线PQ的斜率为kk0，则其方程为ykxk0．

ykx

2

由x2y2，解得x．

112k2

42

2

记u，则Pu,uk，Qu,uk，Eu,0．

12k2

kk

于是直线QG的斜率为，方程为yxu．

22

k

yxu

222222

由得2kx2ukxku80①，

x2y2

1

42

u3k22uk3

设Gx,y，则u和x是方程①的解，故，由此得．

GGGxyG2

G2k22k

uk3

uk

2k21

从而直线PG的斜率为，∴PQPG，即是直角三角形．

u3k22k

u

2k2△𝑃�

19．【详解】（1）以C为原点，CD方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则C0,0,0，D1,0,0，B0,1,0，A0,1,1，

CA0,1,1，CD1,0,0，BD1,1,0，AD1,1,1，

①设平面CAD的法向量mx,y,z，

mCA0yz0

则，即，取m0,1,1，

mCD0x0

设平面BAD的法向量为na,b,c，

nAD0abc0

则，即，取n1,1,0，

nBD0ab0

mn11

所以cos<m,n，

mn222

1

即二面角CADB的余弦值为；

2

②ABBCCD1，BDAC2，AD3，

所以rS1,2,3；

Ln1

（2）设cardrSk，rS{d1,d2,，dk}，下证k，

4

2L

设S中任意不同的两点的Cn个距离中，距离等于di的有xi个，i1，2，，k，

2

则Cnx1x2xk，

L

记S中n个不同点分别为A1，A2