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文档简介
2025届广州市高三年级调研测试数学
本试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、
试室号、座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位
置上并在:答1.题卡相,应位置上填涂考生号。
.2B(B)
作答,选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑;如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案答案不能答在试卷上
2.,,2B
非选择题必须用黑,色字迹的钢笔或,签字笔作答答案,必须写在答题卡各题.目指定
区域内的相应位置上;如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅
笔3.和涂改液不按以上要求作答无效,
,,:
考生必须保.持答题卡的整洁。考试.结束后将试卷和答题卡一并交回。
4.,
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
已知则
5
1.�=2−i,�=
A已3知集B.合3C.5D.5则
�+32
2.�=��−1≥0,�=��≤4,�∩�=
A.已−知2,1向量B.[−2,1)C.1,2D则.(向1,2量]在向量上的投影向量的坐标为
3.�=0,5,�=2,−4,��
A(已-2,知4)B.(4,-8)C.(-1,2)D.(2,-4)则
4.sin�+�=3�,tan�=2tan�,sin�−�=
A.已−�知盒B子.�中有C.0个大D小.2相�同的球分别标有数字从中有放回地随机取球
两次每次取一球记第一次取出的球的数字是第二次取出的球的数字是若事件
5.为偶数6”事件中,有偶数且1,2,3则,4,5,6,
,,�,�.
�=“�+�,�=“�,��≠�”,��∣�=
2112
�5B.2C.4D.3
已知点在函数的图象上
�
若6.�24,恒0成立且��在=区co间s��+上�单�调>则0,−�<�<0,
����
��≤�6,��6,3,�=
���2�
A.已−知3三B棱.−锥6C.−2中D.−3是边长为的等边三角形
则三棱锥的外接球表面积为
7.�−���,△���2,��=2,��=6,��=
2,�−���
3228
A.已6�知函B.数10�的C.定5义�域D为.5�且则
1
8.��R,��+�+��−�=2����,�1=−2,
2024
�=1��=
A-4B.4C.0D.-2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出
的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的
得部分分,有选错的得0分.
一组数据是公差为的等差数列去掉首末两项后得到一组新
数据则
9.�1,�2,⋯,�10��≠0,
两,组数据的极差相同两组数据的中位数相同
A.两组数据的平均数相同B.两组数据的上四分位数相同
C.已知抛物线的准D.线与圆相切为上的
动点为圆上的动2点过作的垂线垂足2为的焦点2为2则下列结论正确的是
10.�:�=4���:�+�−4=��>0,��
,��当为,正�三角�形时直,线与�,圆�相离�,
A.�=1B.的△最�小��值为,有�且�仅有一�个点使得
C.�设�直+线��与函数17−1D.图象的三个交点�分,别为��=��
2
11.�=���=��−3
�且�,�,��,�则,��,�,
�<�图<象�的,对称中心为的取值范围为
A.��的取值范围为(2,2)B的.�取��值范围为(0,12)
C三.�、�填空题本题共(0,4小)题D每.�小−题�分共分3,23
:3,5,15.
已知正项等比数列的前项和为且则
12.已知双曲线�����,的�右1焦=点3,为�3=3为9,坐�标�原=点____若_.在的左支
22
��
上存在关于轴对称2的两2点使得为正三角形且则的离心率为
13.�:�−�=1�>0,�>0�,�,�
��,�,△���,��⊥��,�
_____随.机将这个连续正整数分成两组每组个数组
最大数为组最大数为记∗当时的数学期望;若对
任14意.1,2,⋯,2�恒�成∈立ℕ则,�≥的2最小值2�为�,�,�,�
�,��,�=�−�.�=3,���=_____
�≥2,��<�,�_____.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
分
15.(13的内)角的对边分别为且
��+�
△�求��;�,�,��,�,�,sin�+6=2�.
(1)若�的外接圆半径为且求的面积
(2)△分���23,sin�=2sin�,△���.
1如6图.(15在棱)长为的正方体中分别为正方形
1,的中心2现保持平面��𝐵−不�动1�在1�上1�底1面,�1,�内2将正方形��𝐵绕,点
逆
�1�1�1�1,��𝐵,�1�1�1�1�1�1�2
时针方向旋转得到如图所示的一个十面体
∘
图45,2��𝐵−��𝐹.
1
图
2证明平面
(1):��//��𝐵;
设的中点为求点到平面的距离
(2)求�平1面�2与平面�,所�成角的�余�弦�值;
(3)������.
17.(15分)
已知椭圆的左、右焦点分别为离心率为长轴长与
22
��3
短轴长之和为22
�:�+�=1�>�>0�1,�2,2,
求椭圆的方6程.;
(1)已知�点为椭圆上一点设直线与椭圆的另一个交点为点
直线与椭圆的另一个交点为点设求证当点在
椭(2圆)上运�动−时1,0,�1,0为,定值��,���
�,����.� � =�1� � ,� � =�2� � .:�
18.(1�7分),�1+�2.
已知函数
�
若直线��=e−�+1为�曲−线�−1�>−的1一条.切线求实数的值
(1)若对任�意=的−��+函�+数1�恒=成�立�且,求�实数:的值;
−1
(2)证明当�∈且�,�时�≥0,�−1≤e+�,�
�−1�−1
∗�2
(3)分:�∈��≥2,�−1!>e.
1在9正.(1整7数)的任意一个排列中对于任意
若则称为一个顺序对若则称为一个逆序对记排∗列中
12�
顺序对的个1,数2,⋯为,��≥逆2序对的个数为�:例�如,�对,⋯于,排�列,�,�∈�,�<�,
��<��,��,��,��>��,��,��.�
��,��.�:2,1,3,��=
2,�设�排=列1.和试写出的值
(1)对于正整�:数2,4,1,3�:5,3,1,4的,2所,有排列��求,�满�足,��,��的排列个:数
(2)如果把排列1,2,⋯,��≥中2两项�,交换�位�置而=其2余项的位置:保持
(不3)变那么就得到�:了�1一,�个2,⋯新,的��排列求��,证���<�,为奇数
'''
,�,:��−��⋅��−��.
2025届广州市高三年级调研测试
数学试题参考答案及评分标准
评分说明
本解答给:出了一种或几种解法供参考如果考生的解法与本解答不同可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则
1.,,
对计算题当考生的解答在某一步出现错误时如果.后继部分的解答未改变该题的
内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分但不得超过该部分正确解答应得
分2.数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错,误就不再给分
,,
解答右端所:注分数表示考生正确做到这一步应得,的累加分数.
3.只给整数分数选择,题不给中间分.
4...
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
题号
答案
12345678
CDAACBCA
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给
出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的给6分,有选错的
给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分;有三个正确
选项的仅选其中一个给2分,仅选其中两个给4分。
9.BC10.AC11.ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
�3
1说2明.3第13.题3+第1一1空4.2,分2第二空分四、解答题本题共小题共分解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤分只需展开没化简也给分解依
题意得:143,2分.由正弦定理:可得5,77.
分.15.分(13),1得(1):
3�sin�+�cos�=�+因�为,1所以3sin�sin�+sin�cos�分=即
sin�+sin�2=sin�+�+sin�3=sin�cos�+sin�cos�+1.
分
3sin�si�n�=1sin�cos�+1,sin�>0,3sin�−cos�=1,⋯⋯4;4
sin�−6=2,5
因为所以即范围没写答案对给分分
���
解�由∈正0弦,�定,理可�得−6=6,�得=3.分,6
�
(由2):得2�=sin�分,�=6,7
由余sin弦�定=理2可sin得�,�=2�,①8分
22�
联立①②可得�+�−2��cos两3=个3等6式,②各-9分分
所以的面�=积23,�=43.111分
113
△�分���=2��sin�=2×43×23×2=63.13
16.证(1法5)过点分别作平面的垂线分别交平面于点连接则
且分
(1)1:�,���𝐵,��𝐵�,�,��,
�则�四//边�形���=为�平�行,1四边形分
����.2
所以分
又��/平/�面�.3平面不亏的扣分所以平面分证法
由条件知在旋转过程中平面平面此处分即平面平面
��⊄分又��𝐵,�平�面⊂���分�所,以;平面��//分证�法�𝐵以.4点为坐2标:
1111
原点如图,所示建立空间直角坐�标�系��则//��𝐵,1��𝐹//
��𝐵.2��⊂��𝐹,3��//��𝐵.43:�1
分取平面的一个法向量分因为平面分
所以,平面分解以点,�为坐2,标0,2原,点�如0,图2所,2示,建��立=空间−直2角,坐2,标0.1
系��𝐵�=0,0,1,2有马�对�就⋅�治=分0,�分�⊄��𝐵,3
��//��𝐵.4(2):�1,
分设平面的法向量为
,�1,1,0,�2,0,2,�−1,−1,0,�0,0,1,5� � =2−1,−
1,2,� � =2,2,0,� � =1,1,−1,6����=�,�,�,
则分
�⋅� � =2�+2�=0,
7
�⋅� � =2−1�−�+2�=0,
令得
2
所以�=平1面,�=的−一1,个�=法−向2量,为分
2
公式写对��分��=1,−1,−2.-8
所以点到9平面的距离分
�⋅� � 5
解�����=�=5.10
(设3)平面:�−的2,法0,2向,量� 为� =−2−1,−1,2,
����=�,�,�,
则分
�⋅� � =2�+2�=0,
1
令�⋅� � 得 =−2−1�−�+2�=0,
2
所以�=平1面,�=的−一1,个�=法向2,量为分
2
����=1,−1,2.12
得1分
�⋅�1+1−23
��555
cos⟨�,�⟩==2⋅2=.14
所以平面与平面所成角的余弦值为分
3
分������5.15
17.解(15因为)椭圆的长轴长与短轴长之和为则分
(即1):�6,2�+2�=6,1
又因�+为�=3,①结合可得分
�322222
联立①②�=解�得=2,�分=�−�,�=4�,②3
�=2,
所以的方程为4分
�2=1.
�2
解�法设4+�=1.5
(当2)在椭1圆:的�长�轴0,顶�0点,时��由1,对�1称,性�可�2设,�2,则分
�,�2,0,�−2,0,�−2,0.⋯⋯6
显然那么分当不在椭圆的长轴顶点
1110
时设� 直 � 线=3� 的 � 方,� 程 � 为=3� � ,,�1其+中�2=3+3=分3联.7立�可得
�0+1�2=��−12
�
,��显�然=��−1根,据韦�达=定�理0可,-知82分,�+
4+�=1
23
2
4�−2��−3=0,�>0.�0�1=−�+4,9
因为
所以� � =�1� � ,所以
00111011
−1−�,−�=��+1,�奥,雷特热−线�=�分�,
222
�0�+4�0�+4�0
10
设�直=−线�1=的−方�程⋅为−3=3其中,只10看结果分
�0−1
���=��+1,�=�0,11
同理可得分
22
�0�+4�0
�2=−�2=3,12
所以
22222
�+4�0�+4�0�0�0+12�0−12
�1+�2=3+3=3⋅�0+4+�0+4
22222
�02�0+1�02�0+8�0+2
=⋅2+8=⋅2.
因为3分�03�0
22
所以�0+4�0=4,13只看结果分
222
�02�0+8�0+210
122
综上所�述+�=3⋅为�0定值=3分.14
10
12
解法椭,�圆+�=3.15
2
�2
当直线2:�:中4有+�一条=直1,线�斜−率1,0不,存�在1,0
不失一般��性,�考�虑的斜率不存在取,
3
则直,线��,�1,2,
33
���=4,��:�=4�+1,
2
由�2消去得
4+�=172313
3�,4�+2�−4=0,
由韦�达=定4理�+1
1331333
����
所以点,�⋅�=�=只−看7结,�果=分41−7=−14,
133
�−7,−143.6
3633
2 714
��=−2,−,��=−,−得,解得
63367
由� � 椭 =圆�的1� 对 � 称=性知−7�为1,−1中4点�1,−2=−7�1,�1=3.
那么只,�看结𝐵果分,� � =�2� � =� � ⇒�2=1,
10
当直�线1+�2=的3斜.率均存在7设分
设��,��,��:�=�1�+1,��:�=�2�−1,8
�0�0
��0,�0,��1,�1,��2,�2,�1=�0+1,�2=�0−1,
点代入椭圆有得分
2
�0222
��0,�0,4+�0=1,4�0=4−�0,9
联立2消去得
�2
4+�=1222
,�,4�1+1�+8�1�+4�1−4=0,
显然�=�1�+1
由韦达�>定0理.分
2
4�1−4
2
�1�0=4�1+1,10
2
得4�0
22−42222
14�1−41�0+114�0−4�0+114−�0−4�0+1
222222
1�04�1+1�04�0�04�0+�0+1�04−�0+�0+1
�=⋅=⋅2+1=⋅=⋅
�0+1
分
−5�0−8
=2�0+5,11
�05�0+83�0
�1=�1�1+1=1−=−,
�0+12�0+52�0+5
所以点
−5�0−83�0
由�2�0+5得,−2�0+5.得
� � =�1� � ,−1−�0,−�只0看=结�果1�1+分1,�1�1,�1�1=−�0,
�02�0+52�0+5
�1=−�1=−�0⋅−3�0=3,12
联立2消去得
�2
4+�=1222
�,4�2+1�−8�2�+4�2−4=0,
由韦达�定=理�2�−1
,
2
4�0
222−422
4�2−414�2−41�0−114�0−4�0−1
�2�0=2⇒�2=⋅2=⋅2=⋅22
4�2+1�04�2+1�04�0�04�0+�0−1
2+1
�0−1
8−5�0
=
5−2�0
�08−5�0�03−3�03�0
222
由�=��−1得=�0−15−2�0−1=�0−1⋅5−2�0=2�得0−5,
� � =�2� � ,1−�0,−�0=分�2�2−1,�2�2,�2�2=−�0,
�02�0−55−2�0
2200
所�以=−�=−�⋅3�=3,13分
2�0+55−2�010
12
综上�+�=3为定+值3=分3..14
10
12
解法,�椭+圆�=3..15
2
�2
3:�:4+�=1,�−1,0,�1,0,
�由�0,�0,��1,得�1,��2,�2,
� � =�1� � ,−1−�0,−�0=�1�1+1,�1�1,
得得−1−�0−�1两个式子各分
1
011�=�1,
−1−�=��+1,�0
1101
��=−�,�1=−�1.
把代到椭圆中有
��0,�0,��1,�1�,
2
�0得分
222
4000
2+�=1,�+4�=4,
�1222
201019
两4式+相�减1=得1,�+1+�+4�=4�.分
因为2得�0+1+�1−1分−�1=41+�11−�1,10
5+2�0
�1≠−1得,�1=3.11
� � =�2� � ,1−�0,−�0=�2�2−1,�2�2,
得1−�0+�2分
�2=�2,
�012
�2=−�2.
2
把代入到椭圆中有�02
4+�0=1,
00222
��,�,��,�,�22
4+�2=1,
得分
22
�0+4�0=4,
22213
两式1相−减�0得+�2+4�0=4�2.
得,2�0−分1−�21+�2=41+�21−�2,
5−2�0
2
所以�=3..14分
2�0+55−2�010
,�1分+�2=3+3=3.15
18.解(17设直)线与曲线相切的切点为
(又1):�=−��+�分+1���0,�0,
'�
��=e−�+1,1
由条件得三个式子只要对一个就给分分
00
�=−��0�+�+1,
00
:��0=e−�+1�−�−1,12
解得e−分�−1=−�,
0
�=01,
4
证明�=由−2.得因分
−1−1
(当2):时�−1=e+�得+1−�所−以1≤e+只�看,结�果≥0分.5
所�以=0,�0=−�≥0,�≤0,�=0.6
�
由��=e−�+1�−得1�>−1.只着结果分
'�
��=e−�+1=0,�=ln�+1.7
当时单调递减
'
当�∈−∞,ln�+1时,��<0,��单调递增:分
'
所�以∈ln�+1,+∞,��>0,��:即-8分
ln�+1
设��min=e−�+1ln�+1−1≥0,�−�+1ln�+1≥0,9
'
当��=�−时�+1ln�+1,单�调�递=增−ln�+1
'
当�∈−1,0时,��>0,��单调递减;
'
所�以∈0,+∞,��当<且0仅,�当�等号;成立完整才给分分
又��≤得�0=0,所以�=0分,_____10
此�不等�式≥对0,就给��=分0,�=0.11
证明由知令12得即分
��
令(3):(2),�=�=0所,以e−�−1≥0,e>�+1�≠0.分...12
�
�−��
所以�=−��=1,2,⋯,�−1,e>所1−以��=1,2,⋯,�−1.13分
��−��−1��−1�−�
所以−�>ln��=1,2,⋯,�−1. �=分1−公�众>号 �=妙1l解n之�慧..14
��−112�−1�−1!
�−1
所以−2�>ln�⋅�分⋯⋯�=ln�.154.•
�−1
−2�−1!
�−1
所以e>�.16分
�−1�−1
�2
�−1分!>e.17
19.解(17)分
(1)解:法��=3,��=3,��=3,��=7.4
(对2)于正整1数:的所有排列
设其中满足1,2,⋯,�的�≥排2列个数为满�足,的排列个数为
考虑排列中�数�字=2的位置当在第��,位时�要�使=得1则需要�前�.面位共
产生个顺序对当在第位时要使得则需要其它位共产生
个顺序对�当在第1位,时1要使得�,则需�要�其=它2,位共产�生−1个顺序
对当2在其它位;置时1不满�足−1,因此��=2,�只−看1结果分1
;1�−2,��=2,�−10
再;考虑1满足的,排列个�数�同=理2有.,��=��−1+只��看−1结+果1.分6
因为�所�以=1因此,有��=��−1+1.分7
�2=1,��=�−1.��=��−1+�−1.8
因为所以由累加法得第一个等式对就给分分
2
2+�−1�−2�−�−2
解法�2=0,��=2=2.10
先考虑2:一个特殊排列此时若把中相邻两项
交换位置为其他项位置不变得到新排列的顺序对数增加个若把中不相
000
邻的两项交换位置其�他:项�,位�置−不1,⋯变,2如,1果,该两�项�中间=有0.项则�得到新排列的�顺+序1对,�
0
数增加�,�个+故1,要得到顺序数对,个数为的排列可以对排列1进;行两次�相邻项
交换位置得到,,�,
2�+1,2,�0
从中相邻项.数对共有对中任选
对
�0�,�−1,�−1,�−2,⋯,3,2,2,1(�−1)2
共,有种其中选的对相邻项数对有共同数字如的有
2种没有共同数字的有种只看结果分若所选的两个相邻项数对
�−1
没有相�同数,字则分别把2这两个2相邻项数对里的两(项交�换,�位−置1如,�把−1,�−2)
�−1
�−2,交换为�−�+2其.他项的位置6不变则新排列的顺序对个数
为只看结果,分,�,�−
1,�,�−1�−1,�,�−1,�,,
若所2.选的两个相7邻项数对有相同数字的则可把交换位置为
或者交换位置为,�,�−1,�−其1他,�项−的2位置不变则
新排列的顺序对个数为
�−1,�−2,�−2,��−2,�,�,�−1,,
这种情况有种只2.看结果分
综上满足顺序2对�−个2数为,的排列个8数为
,2分
2
2�+1�−2�−�−2
�解�法−1−�−2+2�−2=2=2.10
对正整3:数的任意一个排列中记表示元素在
排列中与元素所在排列中位置之前所有元素构成顺序数对的个数显然
1,2,⋯,��:�1,�2,⋯,��,���=1,2,⋯,��
���,�1=0,
则�2∈{0,1},�3∈{0,1,2},⋯⋯,��∈{0,1,2,⋯,�−1},
例�如�对排=列��+��−1有+⋯+�2+�1=��+��−1+⋯+�2.
对正,整数�:1,3,的2,任�意1一=个0,�排2列=1,�3=1,��使=�3+�2+的�排1=列2个.数
只需考虑1,2,⋯,�的�:解�1的,�个2,数⋯,只��看,结�果�=分2,
因为��+��−1+⋯+�2=2.}6
所以�此2方∈程{0的,1}第,�一3∈类{解0,1存,2}在,⋯⋯,��∈{0,1,2使,⋯得,�−1},其余共有
1
:�∈{3,4,⋯,�},��=2,��=0�≠�,��−2
组解只看结果分
此方:程的第二类7解存在使得其余
共有:组�,解�∈{2,3,⋯,�}�<�,��=��=1,��=0
2
所�以≠此�,�方≠程�共,有��−1.组解只看结果分
121
下面说明每一组�解�恰−2对+应��唯−1一=的2一�个−排2列�+1.-8
若其余�:�1,�2,⋯,��
(则i)恰好��对=应2唯�一∈的{3满,4,足⋯,�},��=0�的≠排�列,
��=2,��=2讨论不完整扣分
�:�若,�−1,⋯,�+1,�−1,�−2,�其,⋯余,2,1;1
(则ii)恰好�对�=应�唯�=一1的�满,�足∈{2,3,⋯,�}�<�,的��排=列0�≠�,�≠�,
��=��=1,��=2
所以使�:�,的�排−列1个,⋯数,为�+1,�−1,�,⋯,�+分1解,法�−1,�,⋯,2,1
1
将正整�数�=2全逆序排列2�−2�+1.10显4然:为了使
现需将中的某些元素调换位置使得满足题意
1,2,⋯,��:�,�−1,�−2,⋯,2,1,��=0,
�根�据定=义2,可知在�:�,�−1的,全�逆−序2排,⋯列,2,1中将排列中的.
某一个元素从原先位置向右移动个位置就可以得到
:��=0�:�,�−1,�−2,⋯,2,1,
��≠1,1,
''
操作方式一对�:某�,一�个−元1素,⋯�+1,从�−原1先,位�,置�向−右2移,⋯动,2,1个,�位�置=得1到.
:��≠1,2则2,
''
�这2种:�操,�作−共1有,⋯�种+不1,同�方−法1只,看�−结2,�分,�−3,⋯,2,1,��2=2,
1
操作方法二对�两�−个2元素:!6先将元素从原先位置向右移动个位
置
:�,��≠1,�≠1,�<�,�1
再,将元素向右移动个位置得到
''
�1,�2:�,�−1,⋯,�+1,�−1,�,⋯,�+1,�−
1则,�,⋯,2,1,这种操作共有种不同方法只看结果分
''2
若�对�全2逆=序2排,列��−1.∵中的某个元,-素8向右移动次数超过次得
到新排列
�:�,�−1,�−2,⋯,2,12
根据定义对全逆序排列中的超过个元
素'''向'''
�,,��≥3:�:�,�−1,�−2,⋯,2,12
右移动得到新排列同理可以判断只看结果分
所以使的� 排,列个数为�� ≥3.9很看结果分
121
证法��=2��−2+��−1=2�−2�+1.10
(由3)定义可1知:同理有分
2''2
因此,��+��=��,��+��=��,11
''
则��−�
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