2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，设i是虚数单位，则复数1−i20242+i的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=3，A=30°，则B=(

)A.60°或120° B.60° C.120° D.30°或150°3.如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点.设CA=a，CB=A.23a−16b

B.24.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四边形ABCD的周长为4+22+25.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=5，A.16π B.24π C.25π D.36π6.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(体积为V).A.水面EFGH所在四边形的面积不是定值

B.没有水的部分始终呈棱柱形

C.棱A1D1一定与平面EFGH平行

D.当容器倾斜如图所示时，BE7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43A.100π B.128π C.144π D.192π8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2+c2−b2=3,2sinBsin(C+πA.−1 B.−2 C.−3 D.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.z⋅z−=|z|2，z∈C

B.i2024=−1

C.若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1

D.若10.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(acosC+ccosA)=2bsinB，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1A.△ABC的内角B=π3

B.△ABC的内角C=π3

C.四边形ABCD面积的最大值为532+3

D.四边形ABCD面积无最大值

11.A.圆锥SO的侧面积为42π

B.三棱锥S−ABC体积的最大值为83

C.∠SAB的取值范围是(π4,π3)

D.三棱锥S−ABC12.若向量a，b满足|a|=32，|b|=1，a13.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处(即MD=400)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC=______m.14.如图在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1中点，P在侧面ADD1A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a+2i(a∈R)，且z(2−i)是纯虚数．

(Ⅰ)求复数z；

(Ⅱ)若复数(z−mi)2(m∈R)16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC=2a−c．

(1)求角B；

(2)如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD=217.(本小题15分)

在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，

(1)求λ+μ的值；

(2)若F为线段BE上的动点，G18.(本小题17分)

已知长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=3，AA1>BC，其外接球的表面积为29π，平面A1C1B截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD−A1C1D119.(本小题17分)

“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA．

(1)求扇形空地AOB的周长和面积；

(2)当OQ=50米时，求PQ的长；

(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大.设∠AOP=θ，求△OPQ面积的最大值．

参考答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.A

6.D

7.A

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.713.600

14.[315.解：(Ⅰ)∵复数z=a+2i(a∈R)，

∴z(2−i)=(a+2i)(2−i)=(2a+2)+(4−a)i，又z(2−i)是纯虚数．

∴2a+2=04−a≠0，∴a=−1，

∴z=−1+2i；

(Ⅱ)∵(z−mi)2=(−1+2i−mi)2=[1−(2−m)2]−2(2−m)i，

又复数(z−mi)2(m∈R)16.解：(1)因为2bcosC=2a−c，

由余弦定理可得2b⋅a2+b2−c22ab=2a−c，

整理可得：a2+c2−b2=ac，

再由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，

则cosB=12，

又B∈(0,π)，可得B=π3；

(2)若△ABC外接圆半径为263，

由正弦定理可得：bsinB=2×263，

由(1)可得AC=b=2×263×32=22，

由D为AC的中点，可得AD=CD=12AC=2，

在△ABC中，由余弦定理可得

cosB=a2+17.(1)以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

因为正方形ABCD的边长为1，点E为线段CD的三等分点，

则A(−1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(−1,1)，E(−13,1)，

可得BA=(−1,0)，BC=(0,1)，BE=(−13,1)，

由BE=λBA+μBC=(−λ,μ)，

则有−λ=−13μ=1，所以λ+μ=43；

(2)因为点F在线段BE：y=−3x，x∈[−13,0]上，

设F(a,−3a)，a∈[−13,0]，

由G为AF中点，可得G(a−118.(1)证明：根据长方体的性质可知AA1//CC1且AA1=CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，

所以A1C1//AC，又A1C1⊂平面A1C1B，AC⊄平面A1C1B，

所以AC//平面A1C1B，

又A1D1//AD且A1D1=AD，BC//AD且BC=AD，

所以A1D1//BC且A1D1=BC，

所以四边形A1D1CB为平行四边形，所以A1B//CD1，

又A1B⊂平面A1C1B，CD1⊄平面A1C1B，

所以CD1//平面A1C1B，

又CD1∩AC=C，

所以平面A1C1B//平面ACD1；

(2