新人教版八年级数学上学期同步教案 第15章 综合与实践 最短路径问题

分课时教学设计第一课时《15.4课题学习最短路径问题》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析在生产和经营中，为了省时省力常寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课在学生学习了轴对称之后，以“造桥选址问题”为载体，进一步开展对“最短路径问题”的研究，让学生经历实际问题抽象为数学中线段和的最小值问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，为以后线段最值问题的学习打下基础。学习者分析在学习本节课内容之前，学生已具有将实际问题抽象为数学问题的经验，且已学习过平移、两点之间线段最短等相关知识，为本节课的学习做好铺垫。教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．教学重点应用所学知识解决最短路径问题.教学难点选择合理的方法解决问题.学习活动设计教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1：1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？能用学过的数学知识解释这个问题吗？学生活动1：学生思考，回答问题活动意图说明：为了体现本节课内容与已有知识间联系，采用多媒体直观显示图片，讲授法通过情境回顾旧知，引入课题。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。环节二：新知探究教师活动2：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小.探究：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？连接AB,与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

思考：1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为异侧两点来解决呢？2.CB与CB′的长度相等吗？你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短.学生活动2：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.学生独立思考，画图分析，并尝试回答学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书活动意图说明：经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.环节三：新知讲解教师活动3：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？在连接A′，B两点线中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.证明：如图，由平移的性质可知：AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B∴A′N+NB＜AM′+N′B∴AM+NB＜AM′+N′B∴AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B学生活动3：学生思考，画出图形，抽象出数学问题学生观察当点Ｎ在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的,体会选址的意义.学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法活动意图说明：通过问题串的设计为学生搭建脚手架，让更多的学上能够参与到课堂的活动中，逐步引导学生进行思考，并且通过前后知识类比学习，建立前后知识之间的联系，同时逐步学会用转化的思想将新问题转化成能够解决的问题，从而达到解决新问题的目的，培养学生的应用意识和推能力环节四：典例精析教师活动4：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.学生活动4：师生共同总结活动意图说明：让学生归纳，体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想.板书设计一、将军饮马问题二、造桥选址问题课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.某开发商的经适房的三个居民小区A、B、C在同一条直线上，位置如图所示，其中小区B到小区A、C的距离分别是70m和150m，小区A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在()A.小区A B.小区BC.小区C D.AC的中点2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为。4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是。选做题：5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？【综合拓展类作业】6.如图(1)是示意图，游船从湖岸l₁的码头D将游客送往亭子M停留观赏，然后将游客送往湖岸l₂的码头C，最后再回到码头D.请在图(2)中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。课堂总结作业设计【知识技能类作业】必做题：1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（）A．3 B．23 C．4.5 2.如图，等边中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．12选做题：3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；(2)△ABC的面积是______；(3)在直线l上找一点P，使得PA+PB最短.【综合拓展类作业】4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定