2023-2025北京初三一模数学汇编：勾股定理章节综合

2023-2025北京初三一模数学汇编

勾股定理章节综合

一、单选题

1.（2024北京石景山初三一模）如图，ZABC=90。，BA=BC,是—ABC内部的射线且NCBM<45°,过

点A作AD_L3M于点。，过点C作于点E,在ZM上取点歹，使得DF=DE,连接EP.

设CE=a,BE=b,EF=c,给出下面三个结论：

①C=&（。-<7）；

@a+c<yjb2+{b—a）2;

③>Va2+b2■

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题

2.（2025北京通州初三一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一

个新图形如图所示，其中四边形是正方形.如果跖=1,四边形ABCD的面积为25,那么G8的长

3.（2025北京石景山初三一模）如图，等边她8C中，CDLA3于点，点E在2C上，CE的垂直平分

线交CD于点P,连接PE.若AB=6,BE=2,则四边形班PD的周长为

4.（2024北京海淀初三一模）如图，在M8C中，ZACB=90°,AB=5,AC=3.点。在射线BC上运

动（不与点8重合）.当80的长为时，AB=AD.

BC

5.(2023北京丰台初三一模)如图，4ABe中，ZA=90°,AB=AC,以点2为圆心，适当长为半径画

弧，分别交54,于点N,再分别以点M,N为圆心，大于;"N的长为半径画弧，两弧交于点

F,作射线所交AC于点。，若点。到BC的距离为1,贝ijAC=.

6.(2023北京石景山初三一模)如图，点0、A、8都在正方形网格的格点上，将△OAB绕点。顺时针旋

转后得到△04®,点A、8的对应点4、笈也在格点上，则旋转角a(0°<a<180°)的度数为

三、解答题

7.(2025北京密云初三一模)如图，在等腰直角三角形A3C中，ZABC=90°,。是线段AC上一点

(C4>2Cr>),连接50,过点C作8。的垂线，交8。延长线于点E,交出延长线于点F.

(1)依题意补全图形；

(2)若NACE=cr,求3c的大小(用含a的式子表示)；

(3)若点G在线段Cb上，且CG=BZ),连接DG,用等式表示DG,CD,A3之间的数量关系并证明.

8.(2023北京大兴初三一模)下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完

成证明.

9.（2023北京平谷初三一模）在平面直角坐标系无。丫中，已知点M（办〃），我们将点M的横纵坐标交换位

置得到点N（%〃7）.给出如下定义：对于平面上的点C,若满足NC=1,则称点C为点M的“对炫点”.

y、几

10-10-

9-9-

8-8-

7-7-

6-6-

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

_____।।।1।।।।।।।।।।­_____IIIIIIIIIIIIIIF

O1234567891011121314xQ1234567891011121314x

-1-

⑴已知点4（2,0）,

①下列各点：2（0,1）,。2（1，1），2（T，2）中为点A的“对炫点”的是;

②点尸是直线y=x+2上一点，若点A是点P的对炫点，求出点尸的坐标；

（2）设点A（a,6）是第一象限内一点，点尸是直线>=无+匕上一点，至少存在一个点P,使得点A的对炫点也

是点尸的对炫点，求。、b的取值范围.

10.(2023北京平谷初三一模)在她BC中，BDA.AC,E为48边中点，连接CE,8。与CE相交于点

F,过E作交BD于点,M,连接CM.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：ZEMF=ZACF；

(3)判断CM、AC的数量关系，并证明.

11.(2023北京顺义初三一模)已知：如图，448c中,AC=BC,NACB=90。，点。在AB边上，点A

关于直线C。的对称点为E,射线BE交直线CD于点F连接AF.

(1)设NACD=。，用含a的代数式表示NCB厂的大小，并求NCEB的度数;

(2)用等式表示线段AF,CF,3R之间的数量关系，并证明.

参考答案

1.B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识.证明

AAS),推出==BE=AD=b,推出初尸=5-%再利用等腰三角形的性质,

可以判定①正确；连接AE,根据AF+£F>AE,可以判定②错误；是—ABC内部的射线且

ZCBM<45°,可得推出从>/,推出2/〉片十加，推出+/,故③正确.

【详解】解：CE1BM,

,\ZADB=ZBEC=90°,vZABC=90°,

:.ZABD+NCBE=9U。,ZC6E+ZC=90°,

:.ZABD=NC,

在△ADB和V5EC中，

/ADB=/C

<ZABD=ZC,

AB=CB

.•.△ADB^AfiEC(AAS),

.，.BD=EC=a,BE=AD=b,

DE=DF=b—a,

EF=c,

'c=①(b-d),故①正确,

连接AE,则AE=J/+3-a)2,

AF+EF>AE,

:.a+c>yjb2+(b-a)2,故②错误，

・・•BM是ZABC内部的射线且4cBM<45°,

:.b>a,

.,方〉。2,

2

/.2b>。2+,

•二后>77方，故③正确.

故选：B.

2.7

【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质和勾股定理是解题的关

键；根据全等三角形的性质可得AE=3尸=3"=GC,AF=CH,^AE=BF=x,则Ab=x+1,根据

勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：•••^AFB^DGC^CHB^ADEA,

：.AE=BF=BH=GC,AF=CH,

■：正方形ABCL）的面积为25,

/.AB=5,

设AE—BF=x,则AF=JV+1,

AF2-IBF2=AB2^

/.（%+l）2+%2=52,

解得：A=3,无2=-4（舍），

:.CH=AF=x+l=4,GC=BF=3,

:.GH=GC+CH=1,

故答案为：7.

3.5+3百/3百+5

【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用等边

三角形的性质可得NACB=60。，AB=BC=AC=6,从而可得BD=3,ZBCD=30°,然后在RtzXBCD

中，利用含30度角的直角三角形可得CD=3石，再利用线段垂直平分线的性质可得：PE=PC,最后利

用四边形的周长公式进行计算，即可解答.根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

【详解】解：:MBC是等边三角形，

：.ZACB=60°,AB=BC=AC=6,

■.■CDLAB,

:.BD=-AB=3,ZBCD=-ZACB=30°,

22

:.CD=y/3BD=3y/3,

QPF是CE的垂直平分线，

:.PE=PC,

•••四边形3EPD的周长=8£>+8E+PE+£>P

=3+2+PC+DP

=3+2+CD

=5+34,

故答案为：5+3A/3.

4.8

【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理.根据等腰三角形的性质，可得比>=23C,再由勾

股定理求出8C的长，即可求解.

【详解】解：：=ZACB=90°,即ACJ_BC,

BD=2BC,

在RtAABC中，AB=5,AC=3,

；•BCAAB?-AC，=4,

/.BD=2BC=8,

即当80的长为8时，AB=AD.

故答案为：8

5.V2+1/1+V2

【分析】作DEL3C,根据角平分线的性质得到AD=OE,证明CE=DE=1,可得CZ>=jF+F=应,从

而可得答案.

【详解】解：过点。作•DELBC于E,如图所示，

:点。到BC的距离为1,5。平分ZABC,

••AD=DE=1,

VZA=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°=ZEDC,

：.CE=DE=1,

CD=V12+12=V2，

AC=AD+CD=y/2+l,

故答案为：V2+1.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出

合适的辅助线是解本题的关键.

6.90

【分析】连通过计算三边03、OBJ班'长度，得到三边满足勾股定理，得到/BOB=90。即为旋

转角a.

【详解】连接BB',

△OBB'中BO2+OB'2=5+5=(V10)2=BB'2

.•.△039为直角三角形，/BOB，=90°为旋转角,

故答案为90.

【点睛】本题考查通过勾股逆定理求目标角度，找准旋转角，找到疑似直角三角形进行边长关系的计算是

解题的关键.

7.(1)图见解析

(2)45。一夕

⑶AB=叵CD+DG，理由见解析

【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知

识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键；

(1)根据题意画出图形解答即可；

(2)根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；

(3)如图2,连接交AC于点延长GD交BC于点证明AABT泾A3CG(SAS),得出

DM=GM,可得ADMG,AGHB、是等腰直角三角形，即可解答.

【详解】(1)解：补全图形，如图1,

(2)M：-.AB=BC,ZAfiC=90°,

.•.ZSAC=404=45°,

ZACE=a,

・；CF1BD,

:.ZBEF=9Q°,

ZBCE-^ZDBC=90°,

.\ZDBC=90°-45°-a=45o-a；

(3)解：AB=4iCD+DG，理由如下：

如图2,连接BG交AC于点M,延长GO交3C于点

c

ZABC=NBEC=90。,

ZABD+ZCBE=ZCBE+ZECB,

,\ZABD=ZECB,

•：AB=BC,BD=CG,

/.△ABP^ABCG(SAS),

/.ZCBG=ABAD=45。，AD=BG,

.\ZABG=ZCBG=ZBAC=45°,

:.AM=BM,ZAMB=90°,

・；AD=BG,

：.AD-AM=BG-BM,即DM=GM,

ZMGD=Z.GDM=45°,

:.ZBHG=90°,

:ACDH、△GHB、△。暇G是等腰直角三角形，

：.CH=DH,BH=GH,DM=GM,

设CH=a,DM=b,

:.CD=^2a，DG=gb,

.AB=BC=CH+BH=CH+GH=2CH+DG=2a+后,

:.AB=4iCD+DG.

8.见解析

【分析】利用面积法，根据大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方形面积求解即可.

91

【详解】证明：方法一：由图可得：(。+。)=4xy0+c2

a1+2ab+b2=2ab+c2

a2+Z?2=c1;

1o

方法二:由图可得：4x-ab+(b-a^=c2,

2ab+a?—2ab+b?=c?

a2-i-b2=c2•

【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用数形结合，得出大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方

形面积是解题的关键.

9.⑴①2,23;②尸（曰,2+孝］或尸卜当,2-日

（2）0<o<2>/2,b>0

【分析】⑴①根据“对炫点”的定义判定即可；②设点P的坐标为（租，机+2）,则将其横纵坐标对换得到

P'（m+2,tn）,则AP=L然后根据两点间距离公式求得相即可；

（2）如图，点A（a,6）的所有对炫点在以8仅4）为圆心半径为1的圆上，点尸（a,a+b）的所有对炫点在与

直线>=尤+6距离为1且互相平行的h4两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆8与4、4两条直线有

交点，然后运用勾股定理和已知条件即可解答.

【详解】（1）解：①已知点4（2,0）,将其横纵坐标对换得到8（0,2）,易得。8=1,032=1

故A的“对炫点”的是2,；

故答案为2，2；

②设点P的坐标为（根，m+2）,则将其横纵坐标对换得到P（m+2,m）,

由题意可得AP^l,即（m+2-2）2+（加-0）2=1,解得：m=.

所以点尸的坐标为¥，2+日或-乎，2-孝］

⑵解：如图，点A（a,b）的所有对炫点在以8伍,力为圆心半径为1的圆上，点P（a,a+b）的所有对炫点

在与直线'=彳+力距离为1且互相平行的4、4两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆8与4、A两条直

线有交点即可

如图1：BC=CD=1,ZEBD=45°,BD±ED

所以BD=BE=2

所以BE=dm+*=2五，即a«2四;

图1

如图2：当时，圆与4、4两条直线无交点，即没有“对炫点”,

:点4(。力)是第一象限内一点，

>0,Z?>0,

0<6Z<272.b>0.

【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、坐标与图形、“对炫点”的定义等知识点，理解“对炫点”的定义

是解答本题的关键.

10.⑴见解析

(2)见解析

(3)AC2+BM2=MC2,见解析

【分析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)根据垂直定义，得出“CF+ND尸C=90。，ZEMF+ZEFM=90°,根据等角的余角相等得出结论;

(3)延长ME到G使EG=EM,连接AG,CG,根据边角边定理证出AAGE/△3ME,

从而证出3M=AG,氏0〃AG,根据勾股定理得出AC2+AG2=GC2,再根据线段垂直平分线的性质得

出CG=Q0,进而得出结论.

【详解】(1)解：补全图形，如图所示：

(2)1■•BDLAC,

ZDCF+ZDFC=90°,

EMA.EF,

ZEMF+ZEFM=90°,

VZEFM=ZDFC,

NEMF=/DCF；

(3)结论：AC2+BM2=AfC2;

延长ME到G使EG=EM,连接AG,CG,

VZGEA=ZMEB,EG=EM,AE=BE,

：.&AGE%BME（SAS）,

BM=AG,

：.ZGAE=ZMBE,

BM//AG,

■：BD1AC,

..NG4c=N3DA=90。，

AC2+AG2=GC2,

VCELEM,EM=EG,

CE垂直平分MG,

CG=CM,

AC2+BM2=MC2.

【点睛