2023年高考数学二轮复习突破：计数原理与概率

第1讲计数原理与概率

［考情分析］1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择

题、填空题为主2二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不

等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用.

考点一排列与组合问题

【核心提炼】

解决排列、组合问题的一般过程

（1）认真审题，弄清楚要做什么事情；

⑵要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元

素.

例1（1）甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A,B,C三个路口协助交警值勤,

他们申请值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A,B,C三个路口都要

有志愿者值勤，则不同的安排方法有（）

A.14种B.11种

C.8种D.5种

答案B

解析由题意得，

以C路口为分类标准：C路口值勤分得人数情况有2种，两个人或一个人，

若C路口值勤分得人数为2,丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A,B路口值勤，此时有

两种安排方法.

若C路口值勤分得人数为1,丙或丁在C路口，具体情况如下.

丙在C路口：

A（丁）8（甲乙）C（丙）；

A（甲丁）8（乙）C（丙）；

4乙丁）2（甲）C（丙）.

丁在C路口：

A（甲乙）3（丙）C（丁）；

4（丙）B（甲乙）C（丁）；

A（甲丙）8（乙）C（丁）；

A（乙）8（甲丙）C（丁）；

A（乙丙）8（甲）C（丁）；

A（甲）8（乙丙）C（丁）.

所以一共有2+3+6=11（种）安排方法.

（2）（2022•衡阳模拟）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四

节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化,

特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分

别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊

蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）

A.192B.240C.120D.288

答案A

解析由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到ASA?=240（种），

当“立春”和“惊蛰”相邻，且“清明”与“惊蛰”也相邻时，有2种排法，即“惊蛰”在

中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起，即2AM=48（种），

所以最终满足题意的排法为240—48=192（种）.

规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先安排；（4）相

邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理；（7）“小集团”排列问题先

整体后局部；（8）正难则反，等价转化.

跟踪演练1（1）2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车

全球征名活动已经完成了初次评审.评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求

索、风火轮、追梦、天行、星火共1。个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围.某同学

为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其

余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（）

A.144种B.336种

C.672种D.1008种

答案A

解析选取的3个名称中含有祝融的共有C8种不同的情况.分析选取的3个名称的不同情况

有A?种，其中祝融是第3个被分析的情况有A3种，故祝融不是第3个被分析的情况有C8（A§

一A》=144（种）.

（2）（2022•广东联考）现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首

钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲

和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（）

A.12B.14C.16D.18

答案B

解析因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，则安排方法分两类：

若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速

滑馆，

有A夕=2（种）;

若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有&=2（种），然后剩下的一个人和甲、乙被

安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有CgA3=6（种），则共有2义6=12（种）.综上，甲和乙

都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12+2=14.

考点二二项式定理

【核心提炼】

1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路

（1）利用通项公式将几+i项写出并化简.

（2）令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出左

（3）代回通项公式即得所求.

2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨

论求解.

例2（1）（2022・新高考全国I）（1一y。十）08的展开式中x2/的系数为（用数字作答）.

答案一28

解析（%+y）8展开式的通项/+1=d代一岁，k=0,1,…，7,8.令人=6,得%H=C既2y6；令

k=5,得小产©X3y5,所以（l—'x+y"的展开式中x2y6的系数为CJa=—28.

（2）已知Q+3"的展开式中第四项的系数为120,所有奇数项的二项式系数之和为512,则实

数”的值为,展开式中的常数项为.

答案145

解析因为G+?）"的展开式的所有项的二项式系数之和为2",且奇数项和偶数项的二项式

系数之和相等，所以2广1=512,解得w=10,

所以展开式中第四项74=,

所以C?OQ3=120,解得4=1,

所以(x+±1。的展开式的通项为

〃+i=C%xi°rg)&=C%xi°-5«,

令10—5左=0,解得左=2,

所以展开式中的常数项为C?0=45.

易错提醒二项式(a+b)"的通项公式或+i=CM"f4(左=0,1,2,…，ri),它表示的是二项式的

展开式的第左+1项，而不是第左项；其中C名是二项式展开式的第左+1项的二项式系数，而

二项式的展开式的第左+1项的系数是字母赛前的常数，要区分二项式系数与系数.

8

跟踪演练2(1)(2022・淄博模拟)若(l—x)8=ao+m(l+x)+a2(l+x)2H——ba8(l+x)，则诙等

于()

A.-448B.-112

C.112D.448

答案C

解析(l-x)8=(x-l)8=[(l+x)-2]8

=。()+。1(1+%)+。2(1+%)?+…+。8(1+x))

〃6=盘义(-2)2=112.

(2)(多选)已知(1-2x)2023=ao+a\x+a奴H-------k〃2023N023,则()

A.展开式中各项系数和为1

B.展开式中所有项的二项式系数和为22。23

C.〃1+。2+。3+…+。2023=-2

cI।^2I|_〃2023八

D.。0十,H^2023=0

答案BCD

解析令X=1得〃o+〃ld-------F〃2023=11,

・・・A错误；

二项式系数和为C%23+C*23+…+◎脍=22%

B正确；

令x=0得〃o=l,

••.。1+。2+~+。2023=12,「.C正确；

令X=g有〃o+段+^H--------1-^2023=0»,D正确.

考点三概率

【核心提炼】

1.古典概型的概率公式

事件A包含的样本点数

"A)=试验的样本点总数.

2.条件概率公式

设A,B为两个随机事件，且尸(A)>0,

则尸那尸筮1

3.全概率公式

设4,A2,■是一组两两互斥的事件,AIUA2U-UA„=S,且尸(4)>0,i=l,2,…,n,

则对任意的事件B=Q,有P(B)=tp(Ai)P(B\Ai).

!=1

例3(1)(2022・新高考全国I)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质

的概率为()

A-6B3C7Dt

答案D

解析从7个整数中随机取2个不同的数，共有C3=21(种)取法，取得的2个数互质的情况

有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},

142

{7,8},共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为五=、

(2)(多选)(2022-临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球,

2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放

入乙箱中，分别以4,A2,4表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱

中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，贝)

A.Ai,A2,4两两互斥

B.P(B|A2)=|

C.P(B)=；

D.B与4相互独立

答案AB

解析Ai,A2,4中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，A正确；

24

-

92

确

P(BA2)--B正

P(B|A)=21

2-0

P(A»9

4

P(Ai)=g,

P(B)=P(A1)-P(B\A1)+P(A2)-P(BIA2)+P(A3)-P(B\A3)

4524344

=9XIO+9X1O+9X1O=9,C错误；

452

又P(AB)=gXm=g,

4416

P(Ai)P(B)=^X-=—,

AP(AiB)#P(Ai).P(B)

...Ai与8不相互独立，D错误.

(3)(2022・益阳调研)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为i

的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者广，

负者称为“负者广，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为

而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为()

.8r16-32-40

A-27B27C-8?D,81

答案D

解析甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1胜3负5胜6胜；1

负4胜5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为43+2义@3义］=患.

规律方法求概率的方法与技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.

(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.

跟踪演练3(1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览

室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来

阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有

且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为()

1439

-B-C-D

A.34

-916

答案D

解析三人挑选四种书，每人有4种选法,

共有43=64种方法,

恰有2人选同一种书的方法有cgaa种，

即36种方法，

故恰有2人选同一种书的概率尸=3卷6=焉9.

(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中

的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被评为

“智答能手”.设甲被评为“智答能手”为事件A,乙被评为“智答能手”为事件8,若P(矶4)

=P(B),则下列结论正确的是()

A.P(A|B)=P(A)

---1

B.⑷=记

C.甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为H

44

D.甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为布

答案ABD

-r,口Cgcl+cg60+202

解析由通意，可付P(A)=R——]-=不

UioIZUJ

CGCj+a56+5614

,(/*=--=120=15'

P(AB}

由尸(阴4)=右：=2(2),

所以尸(AB)=尸(A)尸(2),事件A,3相互独立，

所以尸0|为=馈1=黑臀=尸0),故A正确；尸(3凶)=尸出)=号，

—141

由条件概率的性质得P(Bh4)=1—P(B|A)=1-7?=15,故B正确；

因为事件A,2相互独立，所以A与石，与B,N与方也都相互独立.甲、乙都被评为

91A28

“智答能手”的概率P(AB)=P(A)P(B)=3x1^=^'

no17

所以甲、乙至多有一人被评为“智答能手”的概率为1—尸(48)=1—布=方，故C错误；

甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率尸(79)=尸(7)/(石尸。一()x(1一符=卜上

X

=45)

--------144

所以甲、乙至少有一人被评为“智答能手”的概率为1—P(AB)=l—而=行，故D正确.

专题强化练

一、单项选择题

1.（2022・福州质检）展开式中的常数项为（）

A.-540B.-15

C.15D.135

答案D

解析二项式13x—左）6展开式的通项公式为

%+尸&（3尤广（一点）

3

由6—1左=0,解得k=4,

则八=（—1）4X32XC4=135,

所以［力一七）6展开式中的常数项为135.

2.（2022•荆州联考）某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一

对夫妻.现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则

两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（）

A.80种B.120种

C.130种D.140种

答案D

解析若夫妻中只选一人，

则有CK3A3=12O（种）不同的方案；

若夫妻二人全选，且两人报告顺序相邻，则有CgA3A9=2O种不同的方案，故总计有140种

不同的方案.

3.（2022・惠州模拟）（。一尤）（2+尤）6的展开式中无5的系数是12,则实数a的值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析利用二项式定理展开得（a—x）（2+x）6=

（a-x）（Cg26+Ci25x+C?24x2+Cg23x3+C^2%4+CQx5+C，），

则x5的系数为a&2—C422=12,；.a=6.

4.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）

答案c

解析从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为eg,这3只鞋子中任意两只都不成双，

选取的方法为CIX23,

所以所求概率为尸=/0号.

5.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%

的学生每天玩手机超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中

任意调查一名学生，则他近视的概率为()

.23

A-5B8

2信

答案B

解析令4="玩手机时间超过lh的学生”，

A2="玩手机时间不超过lh的学生”，

B=“任意调查一人，此人近视”，

则O=4UA2,且AI,A2互斥,

P(Ai)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|AI)=0.5,

尸(B)=0.4,

依题意，

P(B)=P(Ai)P(Bh4i)+P(A2)P(B|A2)

=0.2X0.5+0.8XP(B|A2)=0.4,

3

解得P(B|A)=g,

2o

3

所以所求的概率为

6.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节

假日每位员工休假的概率均为小且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一

家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正

常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为()

A1B&

八9n,9

-5-8

C.gD.g

答案D

解析设两家店铺不能都正常营业为事件A,

由题意可知有4人休假的概率为04=近，

有3人休假的概率为31)3降=能

1O1

所以两家店铺不能都正常营业的概率为P(A)=*+*=d，

olo1y

Q

所以两家店铺该节假日都能正常营业的概率为1—P(A)=g.

7.(2022•锦州模拟)定义：两个正整数a,b,若它们除以正整数相所得的余数相等，则称a,

6对于模相同余，记作a=b(mod机)，比如：26=16(mod10).已知〃=C9o+Cb8+C%・82T—

+089满足，z=p(mod7),则p可以是()

A.23B.31

C.32D.19

答案A

解析因为w=C%+Clo-8+C*82+…+C[88°=(l+8)io=(7+2)i。，

lo9910

也即n=C?o-7+Clo-7-24------FC?0-7-2+C18-2,

故〃除以7的余数即为CR2io=l024除以7的余数，1024除以7的余数为2,结合选项知

23除以7的余数也为2,满足题意，其它选项都不满足题意.

8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261

年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三

角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉

三角”的结论正确的是()

A.Cg+C2+Cg+…+C，o=165

B.在第2022行中第1011个数最大

C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3

答案C

解析由c「i+c;?=cr+i可得

a+a+cH-+c?0

=CHCHCHCH-+C?o-1

=c?+c?+cg+…+c%—1

=C?1-1

11X10X9

1=164,故A错误;

3X2X1

第2022行中第1011个数为C用k◎胆,故B错误;

cg+cHcg=cRcHa=a+a=Q,

故C正确；

第34行中第15个数与第16个数之比为

.34X33X-X2134X33X…X20

C9.C纪―14X13义…义1：15X14X13X—X1

=15:20=3:4,故D错误.

二、多项选择题

9.(2022•山东省实验中学诊断)已知(a+6)"的展开式中第五项的二项式系数最大，则"的值

可以为()

A.7B.8C.9D.10

答案ABC

解析若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则5+1=5,解得〃=8；若展开式中第四

I-3

项和第五项的二项式系数最大，则”一=5,解得»=7；若展开式中第五项和第六项的二项

式系数最大，则哥=5,解得“=9.

10.(2022・湖南师大附中模拟)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数,

y表示绿色骰子的点数，设事件4="x+y=7"，事件8="孙为奇数”，事件C="x>3”，

则下列结论正确的是()

A.A与B互斥

B.A与B对立

C.P(B|Q=|

D.A与C相互独立

答案AD

解析事件A包含的基本事件为(1,6),(2,5),

(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种，

1

-

所以尸⑷;公6

事件2包含的基本事件为(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9种,

1

9-

则尸⑻=行4

所以A与8互斥但不对立，故A正确，B错误;

事件C包含的基本事件数为3X6=18,

则P(C)=6X6=2'

P(BC)=6X6=T2,

所以尸(均。=需故C错误；

31

因为0(4°=公=1?

111

尸⑷•尸(。=不义厂记，

则P(AO=P(A)7(0,所以A与C相互独立，故D正确.

11.(2022・襄阳模拟)4,B,C,D,E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()

A.若A,B两人站在一起，则共有24种排法

B.若A,B不相邻，则共有72种排法

C.若A在8左边，则共有60种排法

D.若A不站在最左边，B不站在最右边，则共有78种排法

答案BCD

解析对于A,先将A,3排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排

列，由分步乘法计数原理可知，共有A，Ai=48(种)，

所以A不正确；

对于B,先将A,3之外的3人全排列，产生4个空，再将A,8两元素插空，所以共有

=72(#),所以B正确;

对于C,5人全排列，而其中A在8的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边

的排法有多骏=60(种)，所以C正确；

对于D,对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有At种，另一个是A

不站在最左边也不站在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后8从除最右边的3

个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知，共有A才+AJAJA3

=78(种),所以D正确.

12.甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字

1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个

四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件2为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件

C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)