2024-2025学年华东师大版九年级数学下学期期末必刷常考题之切线

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期末必刷常考题之切

线

一.选择题（共7小题）

1.（2025•平房区二模）如图，在△ABC中，AC^BC,以AB上一点。为圆心，04为半径的圆与BC相

切于点C,若BC=4b，则。。的半径为（）

A.4B.3C.3V3D.2百

2.（2025•洛阳二模）如图，A8为。。的直径，PB,PC分别与相切于点8,C,过点C作的垂线,

垂足为E,交O。于点D若CD=PB=2陋,则。。的半径长为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2025•海口一模）如图，△ABC是。。的内接三角形，ZA=116°,过点C作。O的切线CQ交8。

的延长线于点。，则的度数为（）

4.（2025•东莞市二模）如图，AB.AC,2。是O。的切线，切点分别是P、C、D.若42=10,AC=6,

则BD的长是（）

c

A.3B.4C.5D.6

5.（2025•瓯海区二模）如图，A8是。。的切线，C为切点，连接A。并延长交。。于点。，连接CD若

6.（2025•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB=AC,tanB=2.以AB为直径画半圆O,交BC于点D

过点。作半圆。的切线交AC于点E,若。E=4,则AB的长为（）

A.8B.4V5C.4A/6D.10

7.（2024秋•太和县期末）如图，OO是四边形ABC。的内切圆，若AZ）=10,BC=12,则四边形ABC。

填空题（共5小题）

8.（2025•南岗区模拟）如图，AB与。。相切于点A,连接OA,点C在上，连接BC并延长BC交。。

于点。，连接。。，若NAOC=80°，ZDOC=40°，则N8=度.

9.（2025•沛县二模）如图，A8是。。的直径，阴切于点A,线段P。交。。于点C,连接3c.若/尸=

10.（2025春•大足区期中）如图，ZVIBC内接于OO,孙是OO的切线，A为切点，PC交。。与点。.若

PD=4,贝UPC,AC=

11.（2025•温岭市二模）如图，RtAABC,/A8C=90°,点。在8c上，以点O为圆心08为半径的。。

与AC相切于点。，连结A。，若乙4。2=70°,则NC的度数为

12.（2025•文成县二模）如图，A8是半圆。的直径，C为AB延长线上一点，。与半圆相切于点。，若

三.解答题（共3小题）

13.(2025•庐江县二模)如图，为。。的直径，BC为。。的切线，连接AC交。。于点。，DH±AB

于点H,E是劭的中点，连接AE并延长交8C于点R交DH,于点M,N.

(1)求证：DM=DN；

(2)AO=4,BD=3,求EF的长.

A

14.(2024秋•海港区期末)如图，AB为半圆。的直径，点尸在半圆上，连接。孔点尸在A8的延长线

上，PC与半圆相切于点C,与。尸的延长线相交于点。.连接AC与。F相交于点E,OD±AB.

(1)求证：DC=DE；

(2)若。4=2。£,DF=2,求尸。的长.

D

15.(2025•阳新县模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,。在AB上，以。为圆心，03为半径的圆与AC

相切于点尸，交于点。，交A8于点G,过。作。EJ_AC,垂足为E.

(1)与。。有什么位置关系，请写出你的结论并证明；

(2)若。。的半径长为3,AF=4,求CE的长.

E

Rn

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期末必刷常考题之切

线

参考答案与试题解析

一.选择题（共7小题）

题号1234567

答案ABBBCDD

一.选择题（共7小题）

1.（2025•平房区二模）如图，在△ABC中，AC=BC,以A8上一点。为圆心，0A为半径的圆与BC相

切于点C,若8。=4值，则。。的半径为（）

A.4B.3C.3V3D.2百

【考点】切线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】A

【分析】连接OC,根据切线的性质得到0CL2C,根据圆周角定理得到NBOC=2/A,求出NB=30°,

再根据正切的定义计算即可.

【解答】解：如图，连接OC,

是。。的切线，

：.OC±BC,

：.ZBOC+ZA=9Q°,

\'AC=BC,

：.ZA=ZB,

由圆周角定理得：/BOC=2/A,

：.ZB=30°,

；.OC=BC・tanB=4V5X苧=4,

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

2.（2025•洛阳二模）如图，为。。的直径，PB,PC分别与相切于点8,C,过点C作AB的垂线，

垂足为E,交。。于点D若CD=PB=2网,则。。的半径长为（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】B

【分析】连接OD、BD,根据切线的性质得到PC=PB=25根据平行四边形的性质求出

BD,根据勾股定理求出8E,再根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，连接O。、BD,

,:PB,尸C分别与。。相切于点8,C,

:.PC=PB=2W，ABLPB,

'JABLCD,

：.CD//PB,

,:CD=PB,

四边形CPBD为平行四边形，

：.BD=PC=243,

"CABLCD,

1

：.DE=专CD=V3,

由勾股定理得：BE=7BD2-DE?=J（2百尸-（百¥=3,

在RtZVDOE1中，OD2=OE2+DE，即。。2=（3-。。）2+（V3）2,

解得：OD=2,

故选：B.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

3.（2025•海口一模）如图，△A8C是。。的内接三角形，ZA=116°,过点C作。。的切线CO交8。

的延长线于点。，则的度数为（）

A.36°B.38°C.40°D.42°

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】与圆有关的位置关系；运算能力.

【答案】B

【分析】连接OC,设DB交O。于点连接CM,切线的性质，得到/08=90°,圆内接四边形

的性质结合等边对等角，求出NOMC,Z0CM的度数，再根据角的和差关系和三角形的外角的性质，

进行求解即可.

【解答】解：连接OC,设。B交。。于点连接CM,贝U：OC=OM,

A

D\OMD

由题意可得：/0CD=9U°,

VZA=116°,

：.ZOMC=180°-116°=64°,

・・•OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC=64°,

：.ZMCD=ZOCD-ZOCM=90°-64°=26°,

ZBMC=ZMCD+ZD,

：.ZD=64°-26°=38°.

故选：B.

【点评】本题考查切线的性质，圆内接四边形的性质，正确进行计算是解题关键.

4.（2025•东莞市二模）如图，AB,AC,8。是。。的切线，切点分别是尸、。、D.若A5=10,AC=6,

则BD的长是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】切线长定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】B

【分析】由于AB、AC,3。是。。的切线，贝IJAC=AP,BP=BD,求出5P的长即可求出的长.

【解答】解：〈AC、AP为。0的切线，

.\AC=AP=6,

,：BP,8。为。。的切线，

：.BP=BD,

:.BD=PB=AB-AP=10-6=4.

故选：B.

【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键.

5.（2025•瓯海区二模）如图，A8是O。的切线，C为切点，连接AO并延长交。。于点。，连接CZX若

NA=24°,则/。的度数为（）

A.24°B.30°C.33D.36°

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】C

【分析】根据切线的性质得到乙4。。=90°,求得NAOC=90°-24°=66°,根据等腰三角形的性质

和三角形外角的性质即可得到结论.

【解答】解：TAB是。。的切线，

AZACO=90°,

VZA=24°,

AZAOC=90°-24°=66°,

"：OC=OD,

：.ZD=ZOCD,

,：ZAOC^ZD+ZOCD,

i

：.ZD=^/-AOC=33",

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

6.（2025•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB^AC,tanB=2.以A8为直径画半圆O,交BC于点、D,

过点D作半圆。的切线交AC于点E,若DE=4,则AB的长为（）

C

E,

AoB

A.8B.4V5C.4A/6D.10

【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】D

【分析】连结AD,如图，先根据切线的性质得到。根据圆周角定理得到NAD8=90°,

再证明为△ABC的中位线得到AC,所以/A£B=90°,接着在RtZXCOE中利用正切的定义

求出CE=2,则利用勾股定理可计算出C£>=2遮，然后再在RtaACD中利用正切的定义求A。，最后

利用勾股定理计算出AC的长即可.

【解答】解：连结0D、AD,如图，

为半圆。的切线，

C.0DLDE,

'：AB为直径，

AZAZ)B=90°,

'：AB=AC,

:.BD=CD,/C=NB,

"：OA^OB,

：.OD为△ABC的中位线，

J.OD//AC,

：.ZAED=9Q°,

在RtZkCDE中，：tanC=器=tanB=2,

1

：.CE=^DE=2f

：.CD=V22+42=2V5,

An

在RtZ\ACZ)中，VtanC==2,

.,.AO=2Cr)=4曲,

.•.AC=J(2通尸+(4逐尸=10,

.•.AB=10.

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角形的性质和解直

角三角形.

7.(2024秋•太和县期末)如图，OO是四边形ABCD的内切圆，若A£)=10,BC=\2,则四边形ABC/)

【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理.

【专题】运算能力.

【答案】D

【分析】设切点分别为E,F,G,H,连接。E,OF,OG,OH,根据四边形ABC。是。。的外切四边

形，得出AE=AH,DH=DG,CG=CF,BE=BF,ffif#AD+BC=AB+CD,再根据A£)=10,BC=12,

即可得出四边形ABCD的周长.

【解答】解：设切点分别为E,F,G,H,连接。£,OF,OG,OH,

BC

•/四边形ABCD是。0的外切四边形，

C.AE^AH,DH=DG,CG=CF,BE=BF,

：.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG=AB+CD,

VAZ）=10,BC=12,

：.四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+DA^44.

故选：D.

【点评】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键.

二.填空题（共5小题）

8.（2025•南岗区模拟）如图，AB与。。相切于点A,连接OA,点C在上，连接BC并延长BC交。。

于点。，连接。。，若NAOC=80°,NOOC=40°,则80度.

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力.

【答案】80.

【分析】由切线的性质得/A=90°,由0c=。。，得NOCD=ND,WZAOC=80°,ZDOC=40°,

则/AOD=120°,2ZD+400=180°,求得N£>=70°,则/2=360°-ZA-ZAOD-ZZ）=80°,

于是得到问题的答案.

【解答】解：与。。相切于点A,

：.AB1OA,

：.ZA=90°,

\'OC=OD,

：.ZOCD=ZD,

VZAOC=80°,ZDOC=40°,且/OCO+/Z）+NQOC=180°,

ZAOD^ZAOC+ZDOC^120°,2ZD+400=180°,

：.ZD=10°,

NB=360°-ZA-ZAOD-ZD=80°,

故答案为：80.

【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°

等知识，推导出并且求得/。=70°是解题的关键.

9.（2025•沛县二模）如图，是。。的直径，加切于点A,线段PO交。。于点C,连接BC.若NP=

46°，则/8=22

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；运算能力.

【答案】22.

【分析】根据切线的性质可得/巩8=90°,进而可得/PO4的度数，然后根据圆周角定理即得答案.

【解答】解：由切线的性质可得：ZPAB=90°,

VZP=46°,

：.ZPOA^90°-46°=44°,

'：AC=AC,

1

：./-B==22°.

故答案为：22.

【点评】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，正确进行计算是解题关键.

10.（2025春•大足区期中）如图，△ABC内接于O。，B4是O。的切线，A为切点，PC交。0与点、D.若

60°,B4=6,PD=4,则PC=6,AC=3+3连.

【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】6,3+3限

【分析】连接。4、OC,过尸点作PHLAC于H点，如图，根据圆周角定理得到NAOC=120°,再利

用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出/OAC=30°,接着根据切线的性质得到/。4尸=90。，

2

则4c=60°,然后根据切割线定理得到尸C=爵=9,接着利用含30度的直角三角形三边的关系得

到A8=3,PH=3V3,最后利用勾股定理计算出CH,从而得到AC的长.

【解答】解：连接OA、OC,过尸点作尸”LAC于H点，如图，

VZAOC=2ZABC=120°,

而OA=OC,

1

ZOAC=X(1280°-120°)=30°,

•・,B4是。。的切线，A为切点，

：.OALPA,

：.ZOAP=90°,

.'.ZB4C=90°-30°=60°,

・・・以为。。的切线，PC为割线，

：.P^=PD'PC,

p/2r2

・,・pc人—一尸。一——4一—a%

在RtZVIPH中，*：ZPAH=60°,

1

：.AH=^PA=3,

：.PH=V3AH=3V3,

在RtAPCH中,CH=<PC2-PH2=旧一(3V3)2=3前,

：.AC=AH+CH=3+6V3.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切割线定理.

H.(2025•温岭市二模)如图，RtAABC,ZABC=90",点。在8C上，以点。为圆心08为半径的。。

与AC相切于点。，连结AO,若乙4。8=70°,则/C的度数为50°

A

【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理.

【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】500.

【分析】连接OD,根据切线性质得到NADO=90,根据全等三角形的性质得到/4。。=乙4。2=70°,

求得/COO=180°-70°-70°=40°,得到/C=90°-40°=50°.

【解答】解:连接O。，

是。。的切线，

乙4。0=90,

ZABC^ZADO^9Q°,

\'OB=OD,AO=AO,

：.RtAABO^RtAADO(HL),

：.ZAOD^ZAOB^10°,

AZCOZ)=180°-70°-70°=40°,

：.ZC=90°-40°=50°,

【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

12.(2025•文成县二模)如图，AB是半圆。的直径，C为AB延长线上一点，CZ)与半圆相切于点。，若

ZC=40°,则/D4c的度数为25。.

A0B

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系.

【答案】25°.

【分析】先根据切线的性质得到/OOC=90。，则利用互余计算出/。0。=50。，然后根据圆周角定

理求解.

【解答】解：与半圆相切于点。，

J.ODLCD,

：.ZODC=90°,

VZC=40°,

：.ZCOD^90°-40°=50°,

1

AZDAC=COD=25°.

故答案为：25；

AOBC

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

三.解答题（共3小题）

13.（2025•庐江县二模）如图，48为。。的直径，BC为。。的切线，连接AC交。。于点。，DHLAB

于点、H,E是皿的中点，连接AE并延长交BC于点凡交DH,DB于点M,N.

（1）求证：DM=DN；

（2）AO=4,BD=3,求EF的长.

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】（1）证明见解答过程；

【分析】(1)根据切线的性质求出/A8C=90°,结合垂直的定义、平行线的判定与性质、圆周角定理

求出ZAND=ZDMF=ZAFB=ZFNB,再根据等腰三角形的判定即可得证；

(2)连接BE,过点N作NGLAB于点G,根据圆周角定理、角平分线的性质定理求出。N=GN,根

4

-，根据勾股定理

据勾股定理求出A3=5,根据三角形面积公式求出DN=NG3BN=BD-DN=I

求出⑷AF=|V10,则NF=A尸-A7V=半，再根据等腰三角形的性质求解即可.

【解答】(1)证明：・・・3。为。。的切线，

AZABC=90°,

：.ZFAB+ZAFB=90°,

9：DHLAB,

：.ZAHD=90°=ZABC,

：.DH//BC,

：.ZDMF=ZAFB,

TAB为OO的直径，

ZADB=90°,

：.ZFAD+ZAND=90°,

・二E是前的中点，

：.BE=DE9

：.ZFAD=ZFAB,

：.ZAND=NAFB,

/AND=ZDMF=ZAFB=/FNB,

：.DM=DN；

(2)解：连接BE,过点N作NGLAB于点G,

,:BE=DE,

：.ZFAD=ZFAB,

\"NG.LAB,ZADB=90°,

：.DN=GN,

：AD=4,BD=3,

111

治--AD--

B222

4

理-NG--

-3

5

-

3

由（1）知/AFB=/FNB,

:,BF=BN=N，

：.AF=7AB2+BF2=1V10,

：.NF=AF-AN=孚，

为。。的直径，

AZA£B=90°,

.1MCV10

..EF=2/VF=-g-.

【点评】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练运用切线的性质、勾股定理、圆

周角定理是解题的关键.

14.(2024秋•海港区期末)如图，48为半圆。的直径，点厂在半圆上，连接OR点尸在A8的延长线

上，PC与半圆相切于点C,与。尸的延长线相交于点连接AC与。尸相交于点E,OD±AB.

(1)求证：DC=DE；

(2)若OA=2OE,DF=2,求PD的长.

【考点】切线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明见解析；

50

(2)——.

3

【分析】(1)连接OC,由切线的性质推出/。8=90°,由余角的性质推出NOCE=NAE。，由对顶

角的性质得到因此推出。C=DE；

(2)设。£=无，由勾股定理得到(2x+2)2=(2+x)2+(2x)2,求出x=4,得到。C=6,0c=8,判

定XPCQsXOCD,推出CO：CD=PC：OC,求出尸。=学，即可得到尸。的长.

【解答】(1)证明：连接OC,

・・,尸。与半圆相切于点C,

・•・半径OCLPC,

：.ZOCD=90°,

：.ZDCE+ZOCE=90°,

ODLAB,

：.ZAOE=90°,

ZAEO+ZOAE=9Q°,

'：OA=OC,

：./OCE=/OAE,

：.ZDCE=AAEO,

ZDEC=ZAEO,

：.ZDCE=ZDEC,

：・DC=DE；

(2)解：设。E=x,

・;OF=OA=2OE=2x,

EF—OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

DE—DF+FE=2+x,

由(1)知：DC=DE=2+x,

\9ZOCD=90°,

：.OD2=CD2+OC2,

：.⑵+2)2(2+x)2+(2x)2

・x=4,

・・Z)C*=2+x=6,OC=2x=8,

VZP+ZPOC=ZCOD+ZPOC=90°,

：.ZP=ZCOD,

9：ZPCO=ZDCO,

:•△PCOSROCD,

••CO：CD=PC：OC9

A8：6=PC：8,

，PC=孝，

3250

:.PD=PC+DC=学+6=专.

D

【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由切线的性质推出

=90°,由余角的性质和对顶角的性质推出/OCE=/Z)EC,由勾股定理列出关于x的方程，判定△PC。

s丛OCD,推出CO：CD=PC：OC.

15.(2025•阳新县模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,。在A8上，以。为圆心，为半径的圆与AC

相切于点R交BC于点D交于点G,过。作。ELAC,垂足为E.

(1)DE与。。有什么位置关系，请写出你的结论并证明；

(2)若。。的半径长为3,AF=4,求CE的长.

【考点】切线的判定.

【专题】综合题.

【答案】见试题解答内容

【分析】由已知可证得0D为圆的半径，所以OE与相切；连接0D,OF,由己知可得

四边形。DEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，此时

CE就不难求得了.

【解答】解：(1)DE与。。相切；

理由如下：

连接0D,

•/OB=OD,

：.ZABC=ZODB；

,：AB^AC,

：.ZABC^ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC；

'：DE±AC,

：.OD±DE,

.••DE与。O相切.

(2)连接。D,OF；

,:DE,AF是O。的切线，

AOF±AC,OD1.DE,

又；Z)E_LAC,

四边形OOEE为矩形，

:.EF=0D=3；

在RtA。朋中，AO?=QF2+AF2,

.,.AO=V32+42=V25=5,

；.AC=AB=AO+BO=8,CE^AC-AF-EF^S-4-3=1,

；.CE=L

答：CE长度为1.

G.

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即

为半径），再证垂直即可.

考点卡片

1.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

2.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+必=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+户=02的变形有：a=Vc2—b2,b=7c2—a?及c=7$+b?.

(4)由于/+/；2=c2>a2,所以。>小同理即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

4.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

5.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常