2024-2025学年山东省青岛市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年山东省青岛市高二(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-1,0,1,3},B={x\x>1],则An8=()

A.0B.{3}C.{1,3}D.{0,1,3}

2.函数/(%)=2仇%的定义域是()

A.(0,+oo)B.[0,+8)C.(1,+8)D.[1,+8)

3.二项式(1+%)7展开式的第3项的系数为()

A.21B.35C.42D.70

4.为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2X2列联表

性别晚上白天总计

女30

男30

总计4090

则％2的值最接近()

2

/叫“2_n(ad—bc)

=a+b+c+d)

1叩；X_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'"

A.18B.11C.8D.6

剑=(|氤=(骗，

5.设Q=则a,b,c的大小关系正确的是()

A.,a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

6.已知随机变量X〜B(6,p),随机变量丫=2X+1,且E(y)=5,贝跖=()

123

ABD

3-3-4-

7.已知a>b>l,若Zogg+/。S)。=5，则竽的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

8.已知变量“，y线性相关，其一组样本数据®,%)(i=l,2,…6)满足£乙々=30,用最小二乘法得到的经

验回归方程为y=久-1,若增加一个数据(-2,4)后，得到新的经验回归方程y=2x+a,则此时数据(3,4)

的残差为()

A.-2B.-1C.1D.2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知随机变量X〜N(2,M),若p(x<0)=0.1,贝|()

A.P(XW2)=0.5B.P(X<4)=0.9

C.P(2<X<4)=0.3D.D(2X+2)=4/

10.某学校有4B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去4餐厅，那么第2天

去4餐厅的概率为卷；如果第1天去B餐厅，那么第2天去4餐厅的概率为3贝)

A.他第2天去4餐厅的概率为5

B.他连续两天都去a餐厅的概率为J

C.他连续两天都不去4餐厅的概率为|

D.若他第2天去a餐厅，则他第1天去a餐厅的概率为3

1

11.已知函数/(%)的定义域为R,且/(])w0,若f(X+y)+/(%)/(y)=4盯，则()

A./(-1)=0B./(1)=-2

C.函数/(X-勺是偶函数D.函数f(x+今是减函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知关于x的不等式a久2一久+3>。的解集为(一|,1),贝！Ja=.

Iog2(%—l),x>1

13.若函数/⑺=0,x=l,则用)=.

/(2-%),%<1

2

14.函数/(x)是定义在R上的奇函数，设函数g(x)=("一量普⑴的最大值为M,最小值为则M+a=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=x(x—a)2.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)若x=2是/'(X)的极值点但不是零点，求/'(%)的单调区间.

16.(本小题15分)

某企业调研后，得到研发投入x(万元)与产品收益y(万元)的数据如下：

Xi2345

y912172126

(1)若y与x线性相关，请根据样本相关系数r推断它们的相关程度；

(若0.3<|r|<0.75,则相关程度一般；若网>0.75,则相关程度很强)

(2)求出y关于x的经验回归方程y=bx+a,并预测当研发投入6万元时的产品收益.

参考数据：VI860~43.1

参考公式：「二；6=型二迤p,a=y_版.

［£-1(.一1)2£-式％一/2第13-x)

17.(本小题15分)

已知函数/(X)=—1,^(x)=ex—ax—a3.

(1)求f(x)的零点;

(2)若g(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

18.(本小题17分)

系统中每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1),各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多干一

半的元件正常工作，系统就能正常工作.记续表示“系统中共有k(k6N*)个元作时，系统正常工作的概

率”.

1

(1)若P=5，求04；

(2)若p=|,系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为X,求X的均

值；

1

(3)若p>2，机eN*,证明：P2ni+i>P2m_1.

19.(本小题17分)

已知函数y=f(x)的图象在定义域R上连续不断，/(-%)=/(%)>/(x)+/(2-x)=0,f(%)在区间［0,2］上

单调递减，［。)是/(%)的导数.

(1)证明：f(x)是周期函数；

(2)给定te(0,2),设aeR,证明：存在ke［a—+使得/(k)W/(t)；

(3)若尸(x)=+1)/(0)<=苧，设函数F(x)=3/(x)-/(3x).

(i)求尸⑺的最大值；

(ii)若存在OCR,使得3/Q)—/(3x+e)Wb对VxeR恒成立，求实数b的最小值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：集合B={x|x21},a={—1,0,1,3},则4CB={1,3}.

故选：C.

由交集的概念即可求解.

本题主要考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由题意，可得必久N0,解得久21,

所以函数的定义域为［1,+8）.

故选：D.

根据函数/（久）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，再求出解集即可.

本题考查了利用函数的解析式求定义域，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：所求系数为&x炉=21.

故选：A.

由二项式定理即可求解.

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解:2X2列联表如下:

性别晚上白天总计

女302050

男103040

总计405090

则噜漂碧=11。25,

所以f的值最接近11.

故选：B.

完善2X2列联表，计算*2得解.

本题考查了独立性检验，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：：a=(|)3,b=(|)3,c=(拆2,函数y=必是增函数，|>|,

11

--

33

a>b,且1>a>6,

又©]=(我>L即c>1>a>6,

综上可得，c>a>6,

故选：C.

由题意利用指数函数、基函数的单调性，得出结论.

本题考查实数的大小比较，涉及了指数函数以及基函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为X〜B(6,p),

所以E(X)=6p,

又因为丫=2X+1,

所以E(y)=2E(X)+l=12p+l=5,

解得p=j.

故选：A.

根据二项分布的期望公式及期望的性质求解.

本题主要考查了二项分布的期望公式，考查了期望的性质，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：a>b>1,若Zoga。+109/=I，

1c

贝心小+丽7=2'

2

BP2(logaZ?)—5logab+2=0,

所以，。外力=9或logab=2,即力=，^或b=a2,

因为a>b>1,所以b二，万，

t»cz4-4a+4/—4.

即n可=常3+而"

取等号条件为Q=4,此时力=2.

故选：D.

利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得b=M,然后再利用基本不等式可求得最小值.

本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为数据(如％)(i=1,2,…6)满足2匕々=30,

所以旧数据I=建=5,

6

又因为经验回归方程y=%-1过样本中心点GJ),

所以y=x—1=5—1=4,

增加数据(-2,4)后，％1=弯^=4,%=4x；+4=%

将点(4,4)代入y=2x+a中得，4=8+a,

解得a=-4,

则y—2x—4,

当％=3时，y=2x3—4=2,故残差为4—2=2.

故选：D.

根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差

的定义计算即可.

本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了残差的定义，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：因为X〜N(2,d),所以P(XW2)=0.5,故A正确；

因为X〜NR,/),其P(XW0)=0.1,所以P(XN4)=0.L

所以P(XW4)=1—P(X24)=1—0.1=0.9,故B正确；

因为X〜N(2,o2),所以P(2WXW4)=P(X22)-P(X24)=0.5-0.1=04,故C错误；

由方差性质，D(2X+2)=4D(X)=4/,故D正确.

故选：ABD.

根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解.

本题考查正态分布和方差的性质应用，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：设事件C=”第一天到餐厅4用餐”，Z="第一天到餐厅B用餐”，

设事件。="第二天到餐厅4用餐”，D="第二天到餐厅B用餐”,

由已知得：P(C)=P(C)=|,P(D|C)=|,P(D|C)=1

因为：P(D)=P(D|C)P(G+P(DQP(")=5，故A正确；

因为：P(CD)=P(D|C)P(C)=器故8错误；

因为：P(CD)=P(C)-P(DC)=P(C)-P(D|C)P(C)=白，

故C错误；

因为：P(C|D)=故。正确.

故选：AD.

根据条件概率、全概率公式以及概率的加法公式，由题意设出事件，可得答案.

本题考查全概率公式、条件概率及其性质的应用，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：令工=垓y=o,则有/4+/©)x/(o)=/G)[i+/(o)]=o,

又心)力。，故1+"0)=0,即/(o)=—1,

1

4X-X

2(-

即f(o)+/(，1(1一同=T，由f(0)=T，可得出1)/(-19=0，

11

又f(2)w。，故/(一2)=。，故A正确；

1111

令、=弓则有f(X—今+/«/(-}=4xx(-1),

即/(£-}=-2x,故函数f(x-，是奇函数,

</(%+1-1)=-2(%+1)=-2x-2,即+}=-2x-2,

即函数是减函数，

令x=l,有筋)=-2xl=-2,故B正确、C错误、。正确.

故选：ABD.

对抽象函数采用赋值法，令X=aV=。，结合题意可得/(。)=-L对从令X=y=—3,代入计算

即可得；对B、C、D：令y=—：，可得/(*—：)=—2x,即可得函数f(x—2)及函数/(无+》的性质，代

入x=i,即可得yq).

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

12.【答案】—2

【解析】解：由已知，"0,且一|,1是一元二次方程a/一万+3=0的两根,

由韦达定理，-=-|x1=得a=-2.

a22

故答案为：-2.

结合一元二次不等式的解法以及韦达定理即可求出.

本题主要考查由■元二次不等式的解求参数，属于基础题.

13.【答案】-1

log2(x—l),x>1

【解析】解：函数/(x)=，0,久=1=/(2-1)=/(|)=1。。2(|-1)=1092|=-1-

/(2-%),%<1

故答案为：-1.

根据分段函数的解析式直接计算即可.

本题主要考查函数的值，属于基础题.

14.【答案】2

2?

【解析】解：根据题意，9@)=竺分等=今毕更=考年+1,

D/xz+lxz+lxz+l

因为函数/(x)是定义在R上的奇函数,

所以有=-/(%),

-2x+2x+f(x)—f(x)

=2,

所以g。)+g(r)=i+专算+i+-2：：2厂)=2+2

x+l

所以函数g(x)关于点(0,1)成中心对称图形,

因为函数g(x)的最大值为M,最小值为m,

所以最大值点与最小值点关于点(0,1)成中心对称图形,

所以*M+71)=1,即M+m=2.

故答案为：2.

利用奇函数的性质，可证明函数g(x)关于点(0,1)成中心对称图形，即可求得M+M=2.

本题主要考查函数的奇偶性与对称性，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题.

15.【答案】切线方程：y=柒

单调递增区间为(-8,2),(6,+8),单调递减区间为(2,6).

【解析】(1)当a=1时，/(x)=x(x-I)2,则/(0)=0.

f'(x)=(%—I)2+x-2(x-1)=(x-1)(3%—1).

则/'(0)=1.

所以切线过点(0,0),斜率为1,

所以切线方程为丫=柒

(2)f'(x)=(x—a)2+2x(x—a)=(x—d)(3x—a).

因为久=2是/(x)的极值点，则((2)=0,即(2—a)(6—a)=0,解得a=2或a=6.

又x=2不是零点，

若a=2,则/(2)=2(2—2尸=0,矛盾，舍去;

若a=6,贝行(2)=2(2-6尸=32H0,符合条件.

所以.(%)=(%-6)(3%-6)=3(%-6)(久-2).

令尸(x)>O解得x6(-8,2)U(6,+8)；

令尸(无)<0,解得x6(2,6)

故函数f(x)的单调递增区间为(一8,2),(6,+8),单调递减区间为(2,6).

(1)根据已知条件确定/O),求出/(0)和导数((%),根据k=/'(0)求出切线斜率，从而得到切线方程；

(2)求函数/(X)的导数((%),结合x=2是“X)的极值点但不是零点判断出a值，再根据r(x)>0函数单调

递增，f(%)<0函数单调递减，解不等式求出相应单调区间.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属

于中档题.

16.【答案】y与x的相关程度很强；

y=4.3%+4.1,29.9万元.

【解析】⑴由题意，根据表格中的数据，可得：x=g(l+2+3+4+5)=3,y=1(9+12+17+

21+26)=17,

则£乙(々-x)(y；-y)=(l-3)(9-17)+-+(5-3)(26-17)=43,

-久)2£L(%—y)2=Viox186~43.1,

所以r=/濯式久;x)(y[y)_=篇20.998>0.75,

22

J^=1(xi-x)xf=1(y-y)

可以推断变量y与x的相关程度很强；

(2)由(1)可得x=3,y=17,£?=式阳一刀)(%—y)=43,

又由—%)?=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4—3)2+(5-3)2=10,

所以6=x)/'y)=等=4.3,则a-y—bx—17—4.3x3=4.1,

痘I3"I。

可得y关于x的经验回归方程为y=4.3x+4.1,

令x=6,可得y=4.3x6+4.1=29.9,即预测研发投入6万元时，产品收益是29.9万元.

(1)根据相关系数的性质即可求解；

(2)根据一元线性回归模型的性质即可求解.

本题考查了一元线性回归模型，属于中档题.

17.【答案】1；

(1,+8).

C1

【解析】(1)/(%)=Inx+x2-1的定义域为(0,+8),导函数,(%)=-+2x>0,

/(%)在(0,+8)上单调递增，而/(1)=0,

因此函数/(%)的零点是1.

(2)g(%)=ex-ax-M的定义域为R,导函数“(%)=ex-a,

当a<0时，导函数g'(%)>0,g(%)在R上单调递增，无极值；

当a>0时，由g'〉)>0,得x>Ina；由g'(%)<0,得％<Ina,

g(%)在(仇a,+8)上单调递增，在(-8,仇a)上单调递减，

当久="a时，函数g(%)取得极小值g(仇a)—a—alna—a3,

3

根据题意，g(lna)-a—alna—a<0,即M+ina—1>0,

根据第一问知，函数/(a)=a2+仇口一1在(o,+8)上单调递增,且/(I)=0,

因此不等式小+Zna-1>。的解集为(1,+8),

所以Q的取值范围为(1,+8).

(1)确定函数/(%)的单调性，再求出其零点.

(2)利用导数求出g(x)的极小值并建立不等式，再利用(1)的信息求出。的取值范围即可.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

18.【答案】~

16

1；

证明见解析.

【解析】(1)因为k=4,p=

所以“=C卸4(1-p)0+盘p3(l_p)l=酸&4+C居)4=~

(2)记正常工作的元件个数为y,则y〜B(3,§,

所以E(y)=fcp=3xj=2,又因为X=y-(3-y)=2丫一3,

所以E(X)=E(2Y-3)=2E((Y)-3=1；

⑶证明：令q=1—p<：,

2

则02机+1=皿1Pm-守-p+燃_企加严-一「)十七时】一嘲1Tpm［…)，

所以22机+1=22…-福-ipmqm+l+。叱

所以P2m+1-P2m-1=福_0血严3-<?)>0,

所以P2m+1>

(1)当k=4时，有3个或4个元件正常工作时系统正常工作，利用独立重复试验及互斥事件概率求和公式得

解；

(2)记正常工作的元件个数为丫，根据二项分布的期望公式及期望的性质求解；

(3)由题意可得P2nl+1将P27n+1表达式中部分式子可转化为「2巾-1-C界1Tpmqm-1,移项后由作差比较即判

断二者大小，命题得证.

本题考查概率的应用及数列的递推，属于中档题.

19.【答案】证明见解析；证明见解析；(I)2AA2；(11)2^.

【解析】(1)证明：由题知：/(-%)=/(%)，/(x)+/(2-x)=0,

所以fQ)=-f(2-x)=-/(x-2),

所以/(久+4)=-/(x+2)=/(%),

所以/(©是以4为周期的周期函数.

(2)因为人久)是周期为4的偶函数，且/(切的图象关于点(1,0)中心对称，

先看/⑺在一个周期［-2,2］上的情况：

X[-2,0][0,2]

?

所以/(2)为/(©的最小值，

根据周期性，不妨设aE［—2,2］,显然区间［a—a+长度为2t<4,

若。=0,则/(%)在区间［T,0］上单调递增,在区间［0工］上单调递减,

所以取k=±3有

若aE(0,2],贝!]0<t<a+t<4,

当a-t<2<a+t时，/(久)在区间[t,2]上单调递减，所以取k=2,有/(k)Wf(t),

当a-t<a+tW2时，/(久)在区间[t,a+t]上单调递减，所以取k=a+t,有f(k)Wf(t),

同理可证，a6[—2,0)时，存在ke[a—+使得f(k)W/(t),

综上，对VaeR,存在kG[a-t,a+t],使得/'(£)</(t).

(3)(i)因为F(x+4)=3/(久+4)-f(3x+12)=3/(%)-((3%)=F(x),

JLF(—x)=3/(—%)—/(-3%)=3/(%)