2024-2025学年上海市黄浦区八年级下学期数学期末试卷（含详解）

2024学年第二学期期末试卷八年级数学

时间90分钟满分100分

一.选择题（共6小题）

1.直线y=3x—6的截距是（）

A.6B.-6C.3D.2

2.下列方程中，没有实数解的是（）

r21

A.%2-2=0B.—=——C.x2+y2=0D.，4-x•y/x-6=0

x-1x-1

3.下列事件中，随机事件的是（）

A.直线y=x—3与直线y=3x—l有公共点

B.从只装有5个白球的袋子里摸出1个红球

C.任意画一个三角形，其内角和是180度

D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

4.下列关于向量的说法中，正确的是（）

A.若同=网，那么或&

B.若心B均为单位向量，那么同=同

C.如果々是单位向量，那么。=1

D.若分=比，则A,8,C,。构成平行四边形

5.已知四边形A3CD中，对角线AC与相交于点。，AC1BD,=再添加一个条件使四边形

ABCD是菱形，添加条件不正确的是（）

A.AB=ADB.AB//CDC.OB=ODD.AD=CD

6.把一张矩形纸片A3CD沿对角线AC折叠，点8对应点为点E,边EC交边AO于点G.连接ED（如图所示）.当

BC=0AB时，下列结论中，不无确的是（）

A.^AEG=ACDGB.ED//AC

C.AG=4GDD.=4s△人而

二.填空题（共12小题）

7.将直线y=x-2沿>轴方向向下平移3个单位,平移后直线表达式是

8.已知一次函数y=(l—3m)x+2,y值随x的值的增大而增大,那么根的取值范围是

9.方程。6-x=x的实数解是

10.如果关于x的方程6=x+2有解,那么a的取值范围为.

a-V-丫2_1-v*

11.用换元法解方程—+--=2时,若设一二=y,则原方程可化为关于y的整式方程为___.

X"-1XX—1

12.我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高，广各几何？”大意是说：己

知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺,那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为x尺，高为丁尺,那么

可列方程组是.

13.如果一个多边形的内角和是1080。，那么这个多边形的边数是.

14.在1x3的正方形网格格点上放三枚棋子,按图所示的位置已放置了两枚棋子,若第三枚棋子随机放在其它格点上,则

以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是.

15.如图，在梯形ABCD中，连接AC、应)，已知梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,那么

AADC的面积.

16.如图，平行四边形ABCD中，ZABC=60°,AB=3,AD=6,点瓦厂分别是边3C,AZ)边的中点，点M是AE与

BF的交点，点N是CF与DE的交点,则四边形ENFM的周长是.

17.如图，正方形ABC。和正方形所CG的边长分别为9和3,点E,G分别在边3C,上，尸为AE的中点，连接

PG,则PG的长为.

18.新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等四边形叫做“等对角四边形”.在“等对角四边形"ABCD^P,

ZDAB=60°,ZABC=90°,AB=5,AD=7,对角线AC的长.

三.简答题（共4小题）

12x

19.请阅读下列材料回答问题：在解分式方程一-———=1时，小明的解法如下：

x+1x~-1

解：（第①步）去分母得：x-l-2x=l.

（第②步）解这个整式方程，得：x=-2.

（第③步）检验：把％=-2代入1,得d-170.

（第④步）所以,原方程的根是x=-2.

（1）你认为小明在第步出现了错误，（只填序号）

（2）针对小明解分式方程出现的错误,请你提出一条解分式方程时的注意事项.

（3）写出上述分式方程的正确解法.

3x-y=4①

20.解方程组：八，，

[9x-+6xy+y2=4（2）

21.在平行四边形ABCD中，点M为对角线AC上的一点，点N为边3c上的一点，且点A和点N关于直线的0对称.

图1图2

（1）请用尺规作图的方法在图1中确定点MN的位置，并在图中求作：M+AD-NC（不写作法，保留作图痕迹，

写出结论）；

（2）如图2所示，若NABC=60°,AB=4,则\AB+BN\=—.

22.某机械加工厂计划在一定时间内组装200个机器人,后因接到大型展会订单,不但需要增产20%,而且要提前4天

交货.经生产部测算，每天需要多组装5个.问原计划每天组装多少个机器人？

四.解答题（共4小题）

23.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点、。，点E是的中点，连接AE交于点/，延长AE到点尸，使

FP=AF,连接CF,CP,DP.

（1）求证：四边形CFDP平行四边形.

（2）若四边形CFDP是矩形，且=求A3的长度.

24.某款三明治机制作三明治的工作原理如下:

①预热阶段：开机1分钟空烧预热至60℃,机器温度y与时间》成正比例函数关系.

②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180℃后保持恒温状态,机器温度y与时间x成一次函数关系.

③断电阶段：操作完成后进行断电降温,机器温度y与时间x成反比例关系.如图所示为某次制作三明治时机器温度y

(℃)与时间x(min)的函数图象,请结合图象回答下列问题:

(1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式.

(2)求三明治机工作温度在100。(7及其以上持续的时间.

25.在平面直角坐标系中，已知直线/:y=依-4经过点4(6,0),动点P的坐标为(m,-m+2).

(1)当直线/经过点P时，求点P的坐标.

(2)过点尸作y轴的垂线交直线/于点。，垂足为点当以为顶点的四边形为平行四边形时,求机的

值.

26.如图，已知梯形ABC。，AD//BC,NC=45°,点E,尸分别是边和上的动点(点E不与点8重合，点尸

不与点。重合)，且NBAF=90°,AE=AF=AB,联结E尸.

(1)若D尸=2,则点/到A。的距离是.

(2)判断△CEE的形状并加以证明.

(3)若所=4,设。E=x,A3=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域.

2024学年第二学期期末试卷八年级数学

时间90分钟满分100分

一.选择题（共6小题）

1.直线y=3x—6的截距是（）

A.6B.-6C.3D.2

【答案】B

【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题,求函数值等知识点,熟练掌握一次函数图象及数形结合思

想是解题的关键.

把x=0代入一次函数的解析式求出y的值即可.

【详解】解：令尤=0,则y=3x—6=3x0—6=-6.

..•直线y=3x—6的截距是—6.

故选：B.

2.下列方程中,没有实数解的是（）

A.X2-2=0B.工=--C.£+/=（）D.J4——6=0

X—1X—1

【答案】D

【分析】本题考查了方程实数解存在性判断,涉及一元二次方程,分式方程,根式方程,分别求出方程的解判断即可得

解,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：A,=，x2=2,解得x=土后，均为实数，故A有实数解,不符合题意.

B,两边同乘得f=1,解得％=±1,因X=1使分母为0,舍去,故唯一解为x=—1,B有实数解,不符合题意.

C,x2+y2=Q,平方和为0当且仅当％=0且y=0,存在实数解（0,0）,故C有解,不符合题意.

D,，=.而不=0,根号内需非负：4-x>0（即x<4）且］—6»0（即x»6）,两条件无交集，故无实数x满

足,D无解，故D符合题意.

故选：D.

3.下列事件中，随机事件的是（）

A.直线y=x—3与直线y=3九一1有公共点

B.从只装有5个白球的袋子里摸出1个红球

C.任意画一个三角形，其内角和是180度

D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

【答案】D

【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件,逐一分析各选项即可,熟练掌

握随机事件的定义是解此题的关键.

【详解】解：A,直线y=x-3与y=3九-1的一次项系数分别为1和3,不相等,两直线必相交,属于必然事件,故不符

合题意.

B,袋中只有白球,摸出红球不可能发生,属于不可能事件,故不符合题意.

C,三角形内角和恒为180°,属于必然事件,故不符合题意.

D,掷硬币可能出现正面或反面,结果不确定,属于随机事件,故符合题意.

故选：D.

4.下列关于向量的说法中,正确的是()

A.若同=同，那么力=5或万=—B

B.若乙，方均为单位向量，那么向明

C.如果己是单位向量，那么。=1

D.若羽=反，则C,。构成平行四边形

【答案】B

【分析】本题考查向量的基本概念,包括模长,单位向量及平行四边形的判定,需逐一分析各选项的正确性,熟练掌握向

量的基本概念是解此题的关键.

【详解】解：A,若两向量模长相等,它们的方向未必相同或相反，例如，向量4=(1,0)与B=(0,1)的模均为1,但既不相

等也不相反，故A错误.

B,单位向量的定义是模长为1的向量,因此无论方向如何，G和方的模均为1,必然相等，故B正确.

C,单位向量的模长为1,但向量本身是既有大小又有方向的量,不能直接等于标量1,正确表述应为I01=1,故C错误.

D,若初=友，说明与。C平行且长度相等,但若四点共线(如AQO),B(l,0),D(2,0),C(3,0))，则无法构成

平行四边形，故D错误.

故选：B.

5.已知四边形ABCD中,对角线AC与3D相交于点。AC1BD,=再添加一个条件使四边形

ABCD是菱形，添加条件不巧确的是()

A.AB=ADB.AB//CDC.OB=ODD.AD=CD

【答案】D

【分析】本题考查了证明四边形是菱形,全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质,证明

△AOB^ACOB(ASA),得出Q4=OC,从而可得5。垂直平分AC,由线段垂直平分线的性质可得AB=BC,

A£>=CD,再结合各选项逐项分析即可得解,熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键.

【详解】解：如图：

D

B

ACJ-BD.

：.ZAOB=NCOB=90。.

在VAQB和ZkCOB中.

ZAOB=ZCOB=90°

<OB=OB

ZABO=ZCBO

：.△AOBRCOB（ASA）.

OA=OC.

：.BD垂直平分AC.

AB=BC,AD=CD.

A,：AB=AD.

：.AB=BC=CD=AD.

四边形ABCD是菱形,故不符合题意.

B,VAB//CD.

：.ZABO=Z.CDO=ZCBO.

BC=CD.

：.AB=BC=CD=AD.

四边形ABCD是菱形,故不符合题意.

C,:OB=OD,OA^OC.

四边形ABCD为平行四边形.

AC.LBD.

四边形ABCD是菱形,故不符合题意.

D,添加AD=CD不能说明四边形ABCD是菱形,故符合题意.

故选：D.

6.把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点8的对应点为点瓦边EC交边AD于点G.连接ED（如图所示）.当

BC=7LW时，下列结论中，不正确的是（）

A.^AEG=^CDGB.ED//AC

C.AG=4GDD.SABC=△4s△/AIZFSCr

【答案】C

【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到

△AEGACDG.先由折叠的性质及矩形的性质可得△AEGZACDG(AAS),从而判断出选项A,由全等的性质可得

AG=CG,EG=OG,由等腰三角形的性质可得ZGAC=ZGCA,ZGED=NGDE,再由平行线的判定即可判断选

项B,设A3=CD=/,G。=x,则=",AG=CG=&-x,RtACDG中，CD?+DG2=CG2,列出方程求解,

即可判断出选项C,由折叠性质可得S.ABC=S/EC，再由&G=3GD,可得CG=3GE,再判断选项D.

【详解】解：•.•矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E.

:.AB=CD=AE,NB=ZAEC=NCDG=90。.

在△AEG和ACDG中.

ZAEG=ZCDG

<NAGE=NCGD.

AE=CD

.-.AAEG^ACDG(AAS).

故A正确,不符合题意.

.△AEG珏CDG(AAS).

:.AG=CG,EG=DG.

ZGAC=ZGCA,ZGED=ZGDE.

\-ZAGC=ZEGD.

ZGAC=ZGCA=ZGED=ZGDE.

:.ED//AC.

故B正确,不符合题意.

设45=。=/,6。=%,则AD=®AG=CG=也-x.

•rRtACDG中，CD?+DG-=CG2.

t+—x).

也

解得：x=—t.

4

:.GD=—t.

4

.Ac_r^2372

..ACT—7zt----1-----1•

44

\AG=3GD.

故C不正确，符合题意.

矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E.

・6=6

一乙ABC-°AAEC-

QAG=3GD.

\CG=3GE.

■v=46

一0AABC—ZAAEG

故D正确,不符合题意.

故选：C

二.填空题(共12小题)

7.将直线y=x-2沿＞轴方向向下平移3个单位,平移后的直线表达式是.

【答案】y=x-5

【分析】本题考查一次函数图象的平移.根据直线的平移规则：上加下减，即可得解.

【详解】解：将直线y=x-2沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是y=x—2—3=X—5.

故答案为：y=x—5.

8,已知一次函数y=(l-3m)x+2,y的值随x的值的增大而增大,那么m的取值范围是.

【答案】

【分析】本题考查一次函数的性质.根据一次函数y=依+。，当无＞0时,y的值随尤的值的增大而增大，当上＜0时,y的

值随x的值的增大而减小解答即可.

【详解】解：•••一次函数y=(l—3〃z)x+2,y的值随尤的值的增大而增大.

1-3m＞0.

解得：m＜1.

故答案为：

9.方程y/6-x=x的实数解是.

【答案】尤=2

【分析】此题主要考查了解无理方程,熟练掌握无理方程的解法是解决问题的关键.

将方程=x的两边同时平方得6-x=x2,再解此方程得尤=2,x=-3,然后再进行检验即可得出答案.

【详解】解：将方程后7=x两边同时平方，得：6-x=x2.

整理得：X2+x—6=0.

解得：x=2fx=—3.

当％=2时，左边=，6—2=2,右边=2.

・・・％=2是该方程的解.

当％=-3时,左边="_(-3)=3,右边=-3.

/.x=-3为增根,不是该方程的解.

方程46-x=x的实数解是x=2.

故答案为：尤=2.

10.如果关于x的方程tzx=x+2有解，那么a的取值范围为.

【答案】awl

【分析】此题考查的是一元一次方程的解法.移项合并同类项，当x的系数不等于。时,方程有解,据此即可求解.

【详解】解:移项合并同类项得(a—1)%=2.

•・•关于元的方程依=x+2有解.

a—1w0.

即QW1.

故答案为：awl.

Q-V-丫2_1丫

11.用换元法解方程+--=2时,若设方二=y,则原方程可化为关于y的整式方程为.

X—1Xx—1

【答案】3/-2y+l=0

X

【分析】本题考查了整体换元法,去分母将分式方程化为整式方程.将原分式方程中的—-全部换为儿最后再去分

X-1

母化为整式方程即可.

XX2-11

【详解】解：设=二=y，则设——=-.

-1xy

Y|

把工、代入原方程得：3>7=2.

方程两边同时乘以y整理得：3y~—2y+1=0.

故答案为：3/-2y+l=0.

12.我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高，广各几何？”大意是说：己

知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺,那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为x尺，高为>尺,那么

可列方程组是

x+6.8=y

【答案】《

x2+y2=102

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键.

设长方形门的宽X尺,则高是y尺,根据勾股定理即可列方程求解.

【详解】解：设长方形门的宽x尺，高是>尺,根据题意得：

x+6.8=y

x2+y2=102'

x+6.8=y

故答案为：

x2+y2=102'

13.如果一个多边形的内角和是1080°,那么这个多边形的边数是.

【答案】8

【分析】本题考查了多边形内角和,设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和建立方程即可求解.

【详解】解：设这个多边形的边数为加

由题意得：（77-2）x180°=1080°.

解得:n=8.

故答案为：8.

14.在1x3的正方形网格格点上放三枚棋子,按图所示的位置已放置了两枚棋子,若第三枚棋子随机放在其它格点上,则

以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是

【答案】工

3

【分析】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.由题可知共有6种

等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况,然后直接利用概率公式求解即可

求得答案.

【详解】解：:•共有6种等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况.

42

以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为：一=—.

63

……2

故答案为：一.

3

15.如图，在梯形A3CD中，连接AC、3。，已知梯形ABCD的面积为17,△加C的面积为12,那么

AADC的面积.

【答案】5

【分析】本题考查平行线之间的距离相等,涉及梯形面积公式,三角形面积公式等知识,过点。作DE,BC,过点C作

CFA.AD,如图所示,根据题意,表示出梯形ABCD面积与△班）C,数形结合即可得到AADC的面积.熟记平行线之

间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键.

【详解】解：过点。作。过点。作5J.AD,如图所示：

在梯形ABCD中，4£)〃5。，则。E=CF\

•.•梯形ABCD的面积为17.

S梯形ABCO=+BC\DE=17.

•••ABDC的面积为12.

:.S△BRLrDn=-2BC-DE=12.

.■.n=-BCDE+-ADDE=12+-ADCF=12+S.

222△Anr

解得LDC=17—12=5.

故答案为：5.

16.如图，平行四边形ABC。中，ZABC=6Q°,AB=3,AD=6,点瓦/分别是边5C,AD边的中点，点M是AE与

BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是.

【答案】3+373

【分析】连接所，点2尸分别是边3C,边的中点，可知3£=”=至=3,可证四边形ABEF为菱形，根据菱

113

形的性质可知AELB广，且AE与防互相平分，ZABC=60°,AABE为等边三角形，ME^-AE^-AB=-,

222

EF=4,由勾股定理求MF,根据菱形的性质可证四边形用小加为矩形,再求四边形瓦㈤心的周长.

【详解】解:连接班.

:点瓦厂分别是边3C,AD边的中点，A5=3,AD=6.

:.BE=AF=AB=3.

'：AF//BE.

四边形为菱形.

EF=3.

AE，5F,且AE与BF互相平分.

同理可得：四边形跳CD为菱形.

•*.CFIDE.

ZABC=6Q°.

/.AABE为等边三角形.

1]3

ME=-AE=-AB=-.

222

2

在RtAMEF中，由勾股定理,得MF=飞EF?一ME?=^3-=孚.

:四边形所为菱形，四边形所CD为菱形.

ZBFE=-ZAFE,NCFE=-ZDFE.

22

:ZAFE+ZDFE^18Q0.

：.ZBFE+Z.CFE=9Q°.

又尸，CF±DE.

...四边形石为矩形.

.••四边形应VFM的周长=2(ME+VF)=3+.

故答案为：3+373.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理,矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是

解题的关键.

17.如图，正方形ABCD和正方形所CG的边长分别为9和3,点E,G分别在边3C,。上，尸为AE的中点，连接

PG,则尸G的长为

【答案】375

【分析】本题考查正方形的性质,勾股定理解三角形等知识点,牢记性质和定理内容,并结合图形灵活应用是解题关

键.

连接AC,根据正方形的性质可得A,E,C三点共线,连接FG交AC于点M,由正方形的性质求和勾股定理可求得EC

和FG,AC的长度，从而求得AE,因尸为AE的中点，可得PE和AP,再由正方形的性质可得GM和石心，在

Rt^PGM中，求解即可.

【详解】解：如下图，连接AC,连接FG与AC交于点M

：四边形ABCD和四边形EFCG是正方形,且点尸，G分别在边BC,CD上

C三点共线，ZABC=90°,ZEFC=90°,ECLFG,EC=FG.

在RtZkABC中，ZABC=9Q°,AB=BC=9.

由勾股定理得：AC=7AB2+BC2=A/92+92=972

在RtZXEFC中，ZEFC=90°,EF=FC=3

由勾股定理得：EC=[EF?+FC?=J32+32=3我

:•AE=AC-EC=6五

又是AE的中点，"是EC的中点

1119/—

PM=-AE+-EC=-AC=-42

2222

又,：GM=LFG=LEC=＞叵

222

在RtAPGM中，由勾股定理得：PG2=PM2+GM2

18.新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形".在''等对角四边形"ABCD中,

ZDAB=60°,ZABC=90°,AB=5,AD=7,对角线AC的长.

【答案】2厉或旧

【分析】根据“等对角四边形”定义，分两种情况作图：当NAT)C=NABC=90。时，当NBCD=NA4B=60°时，结

合矩形性质，勾股定理及解直角三角形求解即可得到答案.

【详解】解：当NAZ)C=/ABC=90。时，延长AD,3c相交于点E,如图所示：

ZDAB=60°,ZABC=90°.

:.ZE=90°—ZDAB=90°-60°=30°.

:.AE=2AB=10,CE=2CD.

.■.DE=AE-AZ)=10-7=3.

在RtACDE中,由勾股定理得CE2=DE2+CD2.

4CD2=9+m.

•*.CD=6.

•>-AC=VA£>2+CD2=卜2+=2A/13.

当ZBCD=ZDAB=60°时，过点D*DM，AB于点M,DN±BC于点N，如图所示:

图2

则/AMD=90°,四边形BNDM是矩形.

ZDAB=60°,ZABC=90°.

ZADM=90°-ZDAB=90°-60°=30°.

•••DM=y/AD2-AM2=卜—空=1V3.

737r-

：.DN=BM=AB-AM=5——=-,BN=DM=->J3.

222

3

CN=DN=^=—-

tan60°y/32

BC=BN+CN=—6—6=46.

22

；•AC=ylAB2+BC2=J52+（4^）2=V73.

综上所述,AC的长为2或773.

【点睛】本题考查了新定义“等对角四边形”，矩形的判定与性质，勾股定理,解直角三角形等知识，熟练掌握新定义“等对角

四边形”，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键.

三.简答题（共4小题）

12x

19.请阅读下列材料回答问题：在解分式方程一-———=1时，小明的解法如下：

%+1x~-1

解：（第①步）去分母得：x-l-2x=l.

（第②步）解这个整式方程，得：%=—2.

（第③步）检验：把x=—2代入X?-1,得x2-1H0.

（第④步）所以,原方程的根是x=—2.

（1）你认为小明在第步出现了错误，（只填序号）

（2）针对小明解分式方程出现的错误，请你提出一条解分式方程时的注意事项.

（3）写出上述分式方程的正确解法.

【答案】（1）①（2）去分母时,常数项1也要乘以最简公分母

（3）原方程的解为x=0,正确解法见解析

【分析】本题考查了解分式方程,解题关键是掌握分式方程的解法.

（1）根据分式方程的解法,逐一分析,再作出判断.

（2）根据去分母求解.

（3）根据分式方程的解法的一般步骤求解.

【小问1详解】

解：小明在第①步出现了错误.

故答案为：①.

【小问2详解】

提出一条解分式方程时注意事项：去分母时,常数项1也要乘以最简公分母.

故答案为：去分母时,常数项1也要乘以最简公分母.

【小问3详解】

原方程去分母得：X—1—2X=X2-1-

整理得：x2+x-0-

解得：

=-1,x2=0.

经检验：x=-1是原方程的增根舍去.

故原方程的解为尤=0.

3x-y=4①

20.解方程组：八，/2.不

\9x-+6xy+y2=4②

1

x=l%二一

【答案】J或r3

。=一3

3x-y=4、[3x-y=4

【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得（3九+y）2=4则原方程组为＜c或〈c八分别解二元

[3x+y=23x+y=-2

一次方程组,即可求解.

3x-y=4①

【详解】解:

9x2+6xy+/=4②

由②得（3x+y）2=4

/.3x+y=±2

3x-y=43x-y=4

・・・原方程组为《或＜

3x+y=23x+y=—2

1

x=lx=一

解得:或J3

。=—3

21.在平行四边形ABCD中，点M为对角线AC上的一点，点N为边5c上的一点，且点A和点N关于直线邸1对称.

（1）请用尺规作图的方法在图1中确定点MN的位置，并在图中求作：NA+AD-NC（不写作法，保留作图痕迹,

写出结论）；

（2）如图2所示，若NABC=60°,AB=4,则|荏+丽卜.

【答案】（1）见解析（2）4

【分析】（1）作/A5C的平分线交AC于点M作期的垂线交3c于点N,则点M和点N即为所求作的点，由

丽+通—标=而—而=①可知，向量而即为所求作的向量.

（2）连接AN,证明AABN是等边三角形得AN=AB=4,然后根据|通+丽|=|网即可求解.

【小问1详解】

如图，点M和点N即为所求作的点，向量丽即为所求作的向量.

【小问2详解】

图1

如图，连接AN,BM

图2

:点A和点N关于直线BM对称.

：.BN=AB.

•：ZABC=6Q°.

AABN是等边三角形.

：.AN=AB^4.

：.|AB+®V|=|W|=4.

【点睛】本题考查了尺柜作图,轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，向量的运算等知识,熟练掌握向量的知识是解

答本题的关键.

22.某机械加工厂计划在一定时间内组装200个机器人,后因接到大型展会订单,不但需要增产20%,而且要提前4天

交货.经生产部测算，每天需要多组装5个.问原计划每天组装多少个机器人？

【答案】原计划每天组装10个机器人

【分析】本题考查了分式的实际应用,解题关键是找准等量关系.

设原计划每天组装无个机器人，则实际每天需组装（x+5）个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根.

【详解】解:设原计划每天组装x个机器人，则实际每天需组装（1+5）个机器人.

根据题意得：迎-200x（1+2。％）-

xx+5

解得：.«1=10,x2=-25.

经检验，x,=10,x2=-25均为所列方程的解，%=10符合题意，x2=-25不符合题意,舍去.

答：原计划每天组装10个机器人.

四.解答题（共4小题）

23.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点、。，点E是的中点，连接AE交BD于点/，延长AE到点尸，使

FP=AF,连接CF,CP,DP.

（1）求证：四边形CEDP是平行四边形.

（2）若四边形CEDP是矩形，且AD=逝，求的长度.

【答案】（1）见解析（2）的长度为1

【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线,利用ASA证明ADEF冬ACEP,根据全等三角形的性质

得到跖=£P,结合DE=CE,即可判定四边形CFDP是平行四边形.

（2）根据矩形的性质得到历=DE=PE=CE=LCD,EP=CD，根据勾股定理求解即可.

2

【小问1详解】

解：：四边形ABCD是矩形.

**.AO=CO.

,/FP=AF.

O尸是△ACP的中位线.

OF//CP.

：.ZFDE=ZPCE.

:点E是CD的中点.

/.DE=CE.

在ADER和中.

NFDE=ZPCE

•/<DE=CE

ZDEF=ZCEP

：.ADEF^ACEP（ASA）.

：-EF=EP.

又•：DE=CE.

.••四边形CEDP是平行四边形.

【小问2详解】

解：：四边形ABCD是矩形.

CD=AB,ZADE=90°.

­-AD~+DE~=AE2-

若四边形CEDP是矩形，则

EF=DE=PE=CE=-CD,FP=CD.

2

；AF=FP.

3

AE=AF+EF=-CD.

2

/.AD2+^CD^■

•*.AD2=2CD2.

；•4£>=应。。或AD=—应8(舍去)・

AD=V2.

CD=AB=1.

【点睛】此题考查了矩形的性质,三角形中位线的性质,平行四边的判定,勾股定理,全等三角形的判定与性质,利用矩

形的性质证明△£>£产2ACEP是解题的关键.

24.某款三明治机制作三明治的工作原理如下：

①预热阶段：开机1分钟空烧预热至60℃,机器温度y与时间x成正比例函数关系.

②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180℃后保持恒温状态,机器温度y与时间x成一次函数关系.

③断电阶段：操作完成后进行断电降温,机器温度y与时间x成反比例关系.如图所示为某次制作三明治时机器温度y

(℃)与时间x(min)的函数图象,请结合图象回答下列问题：

出℃

,en5(4,180)C

(1)当时，求机器温度y与时间X的函数关系式.

(2)求三明治机工作温度在100。(7及其以上持续的时间.

【答案】(I)当1WXW4时，机器温度y与时间X的函数关系式为y=40x+2。

(2)三明治机工作温度在100。(7及其以上持续8.8分钟

【分析】本题考查一次函数解应用题,反比例函数解应用题,读懂题意,利用待定系数法确定函数关系式是解决问题的关

键.

(1)由待定系数法列方程组求解即可得到答案.

(2)由(1)可知，当y=100时,求出此时对应的时间，再由待定系数法求出反比例函数关系式，当y=100时，求出此时对

应的时间,作差即可得到答案.

【小问1详解】

解:设机器温度y与时间》函数关系式为y="+".

将4(1,60)、5(4,18。)代入得1-Mg/

%=40

解得〈

p=20

.••当时，机器温度y与时间x的函数关系式为y=40x+20.

【小问2详解】

解：当y=100时，得100=40x+20,解得x=2.

k

设断电阶段机器温度y与时间犬的函数关系式为y=—.

X

将C(6,180)代入y=£得180=9，

解得上=1080.

.♦•断电阶段机器温度>与时间X的函数关系式为y=—(x>6).

当y=100时，得W§2=1OO.

x

解得x=10.8.

经检验x=10.8是原方程的解.

则10.8—2=8.8(分钟).

答：三明治机工作温度在100。。及其以上持续8.8分钟.

25.在平面直角坐标系中，已知直线/:y=H-4经过点4(6,0),动点P的坐标为(m,-m+2).

(1)当直线l经过点p时,求点P的坐标.

(2)过点尸作y轴的垂线4交直线/于点。，垂足为点当以O,A,P,。为顶点的四边形为平行四边形时,求机的

值.

【答案】(1)P的坐标为(3.6,—1.6)

6-

(2)=g或6

【分析】本题考查了一次函数与平行四边形的存在性问题,涉及待定系数法求函数解析式,平行四边形的性质，熟练掌握

知识点是解题的关键.

(1)先由待定系数法求直线I解析式,再把-7〃+2)代入即可求解.

23

(2)可得yQ=yP=-m+2将yQ=yp=-m+2代入y=-%-4,求得xQ=--m+9,则

3

PQ=--m+9-m-|m+9,由平行四边形得到PQ=0A=6,则-|m+9=6,解方程即可.

【小问1详解】

解：将点将4(6,0)代入解析式得：6左—4=0.

“2

解传：k=—.

3

・,・直线/的表达式为：y——%—4