2025年广东省广州市越秀区某中学中考数学三模试卷

2025年广东省广州市越秀区执信中学中考数学三模试卷

一、单选题（每题3分，共30分）

1.（3分）实数&泌sp；f/7，-2,-3的大小关系是（）

A.--•/?<-3<-2B.-3<-41<-2C.-2<-•/7<-3D.-3<-2<--/7

2.（3分）如图所示几何体的俯视图为（

C.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a2'a3=4<^B.(-ab)3=-a伊

C.2a-3a=-1D.|ii-3|=TT-3

4.（3分）直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°,此时直升飞机与上海

东方明珠底部之间的距离是（）

A.2000米B.2000正米C.4000米D.4000百米

5.（3分）定义运算：/"※〃=机/-2mn-1例如：4X2=4X22-2X4X2-1=-1.若关于x的方程a

Xx=0有实数根，则a的取值范围为（）

A.-IWaWOB.-IWaCOC.或aW-1D.a>0或aW-1

6.（3分）国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一

段时间N95口罩需求量增大（万只）如图所示.因任务需要，现决定再组建一个生产车间，则下列关

于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（）

A日生产量（万只）

5500-------------------------------------------------

5000--------------------•--------------•----------

4500---------------------------------------------♦-

4000-------------•--------------•-----------------

3500-------------------------------------------------

।।1111A

°ABCDEF车间

A.平均数不变，方差变大

B.平均数不变，方差变小

C.平均数不变，方差不变

D.平均数变小，方差不变

7.（3分）已知A、8两地是一条直路，甲从A地到8地，乙从8地到A地，乙先到达目的地，两人之间

的距离s（km）（h）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（）

B.甲骑自行车的速度为606〃?

C.乙骑自行车的速度为90初”〃

D.乙比甲提前工丸到达目的地

3

8.（3分）如图，△ABC与△•DEF是以点。为位似中心的图形（点A,B,C的对应点分别为点。，E,F）.若

△A8C与△DEP的周长之比为1：2,则空（）

0D

A.1B.XC.1D.X

432

9.（3分）二次函数〉=。/+历;+0（aWO）的图象如图所示，则反比例函数丫=包（）

10.（3分）定义在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x,y）,满足依-y="则称点

尸为该函数的倍值点”.

①点（3,4）是一次函数>=尤+1的“2倍值点”；

②若二次函数y=7+b尤+2存在唯一的“2倍值点”，则b=-2；

③反比例函数了=生，总存在二个关于原点对称的“〃倍值点”；

x

④若函数y=-x+2”+3的。倍点”在以点（-2,-3）为圆心，2〃为半径的圆内部

上述说法正确的有（）

A.①B.①④C.①②③D.①③④

二、填空题（每题3分，共18分）

11.（3分）某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为米.

12.（3分）把9元分解因式，结果为.

13.（3分）若x=3是关于x的方程ajc-bx+6=0的解，则2021-6a+2b的值为.

14.（3分）如图，。。的直径为2,以圆上一点A为圆心、如,交圆。于点8,C,则图中阴影部分的

面积为

D

15.（3分）如图，将矩形ABC。对折，折痕为MM将AABE沿AE折叠，使得点8刚好落在MN上的点

16.（3分）如图，△ABC是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在BC边上找一点。修建便民服务中

心，沿EC铺设一条石子小路（宽度忽略不计）.己知AB=AC=80〃z,且AP=C。，当点2到点尸的距

离BP与AD的长度之和最小时m.

17.（4分）计算：|1+24?1~（1"^）【

18.（4分）先化简，再求值：（a+2---azl-）+旦二生，其中/-4°+2=0

a2-2aa2-4a+4a

19.（6分）如图，△ABC中，。是43边上一点.

（1）在边AC上求作一点£使得追=岖.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

ACAB

（2）在（1）的条件下，若△A8C的面积是△&£）£面积的9倍，求。E的长.

20.（8分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一，也是我市初中体育学业水平考试的一个选考项目.下

列图表中的数据是从九年级一班、二班各随机抽取五名学生垫球测试成绩:

测试学生序号①③

④⑤

一班78677

二班487106

解答下列问题:

&泌sp;（l）一班五名学生的测试成绩的众数是，二班五名学生的测试成绩的中位数是.

（2）请你在图中补全二班五名学生的垫球测试成绩的折线统计图.从题中的信息，估计班的

垫球成绩要稳定.

（3）把前三次对应序号下一班学生的垫球测试成绩减去二班学生垫球测试成绩，分别可得到数字3、0、

-1,从这三个数中任意选取两个数组成有序数对（尤，y）,并计算点（尤，y）落在二次函数y=W-l

的图象上的概率.

成绩

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

21.（8分）小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度0A,但手中只有一把刻度模糊的45°直角三

角板，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿D4重合，一直角边与尺上

沿的交点2在尺上的读数即为直尺的宽.

【实践探究】小红受到小星的启发，将39。的按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图

②，求该刻度尺的宽度OA的长；

【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的/D4c放置在刻度尺上，求OC与尺上沿的交点C在尺

上的读数为多少厘米.（结果精确到01厘米）

（参考数据sin39°-0.63,cos39°=0.78,tan39°〜0.81,sin24°~0.41,cos24°-0.91,tan24°0

0.45)

22.(8分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,过点。作。交CA的延长线于点E,垂足为点立

(1)判断。E与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若。。的半径R=3,cosZE=l,求功的长.

2

23.(10分)根据以下素材，探索完成任务.

设计跳长绳方案

素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：

(1)每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同

学2人；

(2)跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，图1

如图1.

素材2：某班进行赛前训练，发现：

(1)当绳子摇至最高处或最低处时，可近

似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同

学之间水平距离为6m,摇绳同学的出手高

度均为如图2；

(2)9名跳绳同学身高如表.

身高(m)1.701.731.751.80

人数2241

素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3）,发

现：

（1）跳绳时，人的跳起高度在05〃及以下

较为舒适；

（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，

此时头顶到地面的高度是身高的」且.

20

问题解决

任务1：确定长绳形状.请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳

摇至最高处时，对应抛物线的解析式.

任务2：确定排列方案.该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，

两边低”的方式对称排列，长绳是否会触碰到最边侧的同学.

任务3：方案优化改进.据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作

出调整.班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时（无线段AB）,而剩余的长绳则

保持形状不变，如图4.请你通过计算说明

24.（12分）已知抛物线y=（尤-f）2+/-5,其中r是实数.

（1）已知三个点（1,0）,（1,-4）,（2,-7）,其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物

线的解析式；

（2）在（1）的条件下，抛物线与无轴交于A（点B在无轴正半轴），与y轴交于点C,抛物线的顶点

的记为G,

①若点。在点8,C之间的抛物线上运动（不与点3,C重合），连接OD交于点E,ZkCOE的面

积分别为Si,&,求红的最大值;

S2

②过点G的直线/与抛物线的另一个交点为P,直线/与直线1，：y=-互交于点R交抛物线于点

4一

过的中点M作跖V_U'于点N.求证：MN=yPQ-

25.（12分）如图1,已知正方形ABC。的边长为2,点E、尸分别是AB、8c边上的动点且满足

(1)求证：AF±DE；

(2)如图2,正方形ABC。的对角线AC、3。相交于点。，线段。3、EP相交于点垂足为点N.求

证：MB'MO^NO2-MN2；

(3)在⑵的条件下，当&ON+DE取最小值时，使得tan/BHF=£，求线段C»的最小值.

2025年广东省广州市越秀区执信中学中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BADCDBDDCA

一、单选题（每题3分，共30分）

1.（3分）实数&"加-2,-3的大小关系是（）

A.-41<-3<-2B.-3<-、/?<-2C.-2<-"<-3D.-3<-2<-V?

【解答】解:V|-2|<|-V7I<|-8|,

-3<--,,/7<-4,

故选：B.

2.（3分）如图所示几何体的俯视图为（）

【解答】解：由题意知，该几何体的俯视图是一个矩形.

故选：A.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a29cr>=a6B.(-ab)3=-a伊

C.2a~3a=~1D.|ir-3|=ir-3

【解答】解：/./=/,则A不符合题意,

（-ab）3=-/次则B不符合题意，

2a-3a--a,则C不符合题意，

|TT-5|=n-3,则。符合题意，

故选：D.

4.（3分）直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°,此时直升飞机与上海

东方明珠底部之间的距离是（）

A.2000米B.2000«米C.4000米D.4000«米

【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是2000_=*_=4000米.

sin301

2

故选：C.

5.（3分）定义运算：加※〃=:如2-2加2-1,例如：4X2=4X22-2X4X2-1=-1.若关于尤的方程。

Xx=0有实数根，则。的取值范围为（）

A.-IWaWOB.-lWa<0C.aNO或aW-1D.a>0或aW-1

【解答】解：由题意可知：。※彳二--2or-7=0,

当。=0时，原来方程变形为-7=0；

当aWO时，

•••关于尤的方程a※尤=3有实数根，

A=4a2+8<7=4a（a+1）28,

解得aW-1或a>0.

故选：D.

6.（3分）国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一

段时间N95口罩需求量增大（万只）如图所示.因任务需要，现决定再组建一个生产车间，则下列关

于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（）

A日生产量（万只）

5500-------------------------------------------------

5000--------------------•--------------•----------

4500---------------------------------------------♦-

4000-------------•--------------•-----------------

3500-------------------------------------------------

।।1111A

°ABCDEF车间

A.平均数不变，方差变大

B.平均数不变，方差变小

C.平均数不变，方差不变

D.平均数变小，方差不变

【解答】解：原数据的平均数为1X(4000X4+4500X2+5000X2)=4500,

6

822

方差为0义[2义(4000-4500)+2X(4500-4500)+4X(5000-4500)]=500000,；

63

新数据的平均数为4000X6+4500x3+5000x2=4500,

3

242

新数据的方差为lx[5X(4000-4500)+3X(4500-4500)+2X(5000-4500)]=1000000(

77

所以新数据的平均数不变，方差变小,

故选：B.

7.（3分）己知A、2两地是一条直路，甲从A地到8地，乙从B地到A地，乙先到达目的地，两人之间

的距离s（km）（/7）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（）

A.两人出发2/z后相遇

B.甲骑自行车的速度为60加〃?

C.乙骑自行车的速度为90AM/Z

D.乙比甲提前工/z到达目的地

3

【解答】解：由图象可知，出发2/7后两人之间的距离为0,故A正确;

甲用3〃行驶了300fow,

甲骑自行车的速度为300+5=60km/h'),故2正确;

乙骑自行车的速度为300+2-60=90(W/i),故C正确;

:乙所用时间为300+90=独(/i),

5

...乙比甲提前5-2=旦(/7)到达目的地，符合题意；

33

故选：D.

8.(3分)如图，△ABC与△£)£F是以点。为位似中心的图形(点A,2,C的对应点分别为点D,E,F).若

△ABC与△OEF的周长之比为1：2,则空()

432

【解答】解：:△ABC与△。£尸是以点。为位似中心的图形，△ABC与的周长之比为1：2,

：.AB//DE,AABCs^DEF,

：.^AOB^ADOE,

.0A=AB=7_

"0DDF5，

故选：D.

9.(3分)二次函数＞=〃/+法+。(〃W0)的图象如图所示，则反比例函数y二包()

XX

A.

C.

【解答】解：由题意，〃<0,c>0,

・•・反比例函数y二包的图象在二，一次函数>=-云+C的图象经过一，二.

X

故选：C.

10.（3分）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点尸G,y）,满足心-丁=小则称点

尸为该函数的“〃倍值点”.

①点（3,4）是一次函数y=%+l的“2倍值点”；

②若二次函数y=/+Zzx+2存在唯一的“2倍值点”，则b=-2；

③反比例函数y=2,总存在二个关于原点对称的。倍值点”；

X

④若函数y=-x+2〃+3的。倍点”在以点（-2,-3）为圆心，2〃为半径的圆内部

上述说法正确的有（）

A.①B.①④C.①②③D.①③④

【解答】解：对于①，由题意，〃为正整数，

'.y=n（x-1）.

又：2（2-1）=4,

.•.点（5,4）是一次函数y=x+l的“3倍值点”.

对于②，由题意，

；.y=2（x-1）.

联立方程组H872,

,y=x2+bx+8

；./+（b-2）x+7=0.

:二次函数y=/+6x+3存在唯一的“2倍值点”，

A=(b-2)3-16=0.

，—=6或-8,②错误.

对于③，联立方程组，y-x，

,y=n（x-l）

（x-1）.

x

nx-nx-3=0.

・・・〃为正整数，

A=层+16及＞4.

...反比例函数丫=生总存在二个的，倍值点”.

X

设其中一点为（尤1,生），另一个点为（X2,生），

X]x2

••XI+%61#0.

•••这两个“〃倍值点”不关于原点对称，故③错误.

对于④，联立方程组[kx+5n+3,

,y=n（x-l）

.fx=4

ly=2n

...函数＞=-x+2n+2的“"倍点”为（3,2n）.

•••点⑵2〃）与点（-2j（5+2）2+（5n+3）2・

又：当（2+2）2+（2n+3）2W（6"）2时,

.,.⑵+34W0.

又〃为正整数，

不合题意，故④错误.

故选：A.

二、填空题（每题3分，共18分）

11.（3分）某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为2.5X05米.

【解答】解：0.000025=2.2X10-5.

故答案为：2.8X105.

12.（3分）把f-9x分解因式，结果为x（x+3）（x-3）.

【解答】解：x3-9尤=无（尤③-9）=无（x+3）（尤-8）.

故答案为：无（尤+3）（x-3）.

13.（3分）若x=3是关于x的方程-加+6=0的解，则2021-6a+2b的值为2025.

【解答】解：由题意可得：9a-3b+7=0,

9a-48=-6,

3a~b=-5,

・••原式=2021-2(3a-b)=2021-3*(-2)=2021+4=2025,

故答案为：2025.

14.（3分）如图，。。的直径为2,以圆上一点A为圆心、如,交圆。于点2,C,则图中阴影部分的

【解答】解：连接OB,OC,过点。作AC的垂线,

在RtAAOM中,

；./AMO=30°,

AZCAB=60°.

■：OA=OC,

：.ZOAM=ZOCM=30°,

：.ZAOC=120°,

.•.ZCOB=360°-2X120°=120°,

S△龄C=S△加B=*~60•兀・（«产兀

S扇形ABC=

3602

„_120>K>l2n

S扇形OBC_360

••・阴影部分的面积为：2L_（2L_2

32426

故答案为：JL-2L.

26

15.（3分）如图，将矩形ABC。对折，折痕为MM将aABE沿AE折叠，使得点8刚好落在MN上的点

【解答】解：如图，连接则四边形CNFG为矩形，

?.GC=FN,

由折叠可知MN为矩形的对称轴，

：.AB=AF,BE=EF,ZAEB=ZAEF,

：.AB=AF=BF,

...△ABB为等边三角形，

?.ZBAF=60°,

：.ZBAE^ZFAE^3Q°,NAEB=/AEF=60°,

在RtZ\ABE中，NBHE=30°Mem

令BE长为x,则AE=2x,

(7X)2-X2=(V4)2)

解得x=l(cm),

；・BE=EF=8cm,

■:FE=FN,GC=FN,

GC=FM=lcm,

在RtZXEFG中，

ZFEG=180°-ZAEB-ZAEF=180°-60°-60°=60,

：.ZEFG=30°,

：.BC=BE+EG+GC=1+A+1=3,

22

故答案为：5..

8

16.（3分）如图，△ABC是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在BC边上找一点。修建便民服务中

心，沿EC铺设一条石子小路（宽度忽略不计）.已知AB=AC=80〃z,且AP=C£>,当点2到点尸的距

【解答】解：过点A作且AC=AM,连接PM,

,JAM//BC,

：.ZMAP=ZACD,

在△AMP和△AC。中，

rAM=AC

"ZMAP=ZACD>

AP=CD

AAA/AP^AACZ)(SAS),

；.MP=AD,ZM^ZCAD,

'：BP+PM^BM,

：.BP+AD^BM,

...当P,M,8三点共线时，取得最小值，

过点A作AT_LBC于点T,

；./ABC=/ACB=30°,AM=AB=AC,

AT」AB=40m,^ABM—ZAMB,

"."AM//BC,ZACD=ZCAM=30°,

ZBAM=ZCAM-^ZBAC=150°,ZABM=ZAMB=15°,

ZDAM=ZDAC+ZCAM=15°+30°=45°,

又・.・AM〃5C,

ZADT=ZDAM=45°,

：.AT=DT=4Qm,

・・・△A。片是等边三角形，

：.ZDAE=60°,AE=AD,

：.ZMAE=15°,

AZCAE=AMAE^ZCAM=45°=ZADT,

过点石作EAUAC于点N,

则NEM4=NA7D=90°,

AATD^AANE(SAS),

:.AN=NE=AT=TD=40m,

：.NC=AC-AN=80-40=40m,

EC^/EN4+NC2=^402+407=4OV2m，

故答案为：40a.

三、解答题

17・(4分)计算：|].-/§|+242i-)°，

5.

【解答】解：|「正|+242+^京(i”历)。

=V3-3+2V6+--r-8

(2W4)(2-V3)

=\^3-l+7V6+2-V7-1

=2日

18.(4分)先化简，再求值：(上坦-----ail—)4•且二生，其中/-40+2=0

a2-2aa2-4a+4a

[解答]解：(得^—产一)-?且这

a-4aa-7a+4a

_[a+4a-lj.a

a(a-2)Q-3)2a-4

■—(a+3)(&-2)-(a-1)a

a(a-2)2

8/2工

=a-4-a+ara

a(a-8)2a-4

=_az2_

a(a-2)2a-

_1

(a-2)7

一一1

2'

a-3a+4

Va2-6〃+2=0,

a6-4a=-2,

19.(6分)如图，/XABC中，。是A3边上一点.

(1)在边AC上求作一点£,使得迪=也.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

ACAB

(2)在(1)的条件下，若△ABC的面积是△AOE面积的9倍，求DE的长.

【解答】解：(1)如图，点E就是所求作的点.

(2)VZA=ZA,ZADE=ZB,

：.AADE^AABC,

20.(8分)垫球是排球队常规训练的重要项目之一，也是我市初中体育学业水平考试的一个选考项目.下

列图表中的数据是从九年级一班、二班各随机抽取五名学生垫球测试成绩:

测试学生序号①②③

④⑤

一班78677

二班487106

解答下列问题：

(1)一班五名学生的测试成绩的众数是7,二班五名学生的测试成绩的中位数是7.

(2)请你在图中补全二班五名学生的垫球测试成绩的折线统计图.从题中的信息，估计一班的垫

球成绩要稳定.

(3)把前三次对应序号下一班学生的垫球测试成绩减去二班学生垫球测试成绩，分别可得到数字3、0、

-1,从这三个数中任意选取两个数组成有序数对(尤，y),并计算点(尤，y)落在二次函数-1

的图象上的概率.

成绩

【解答】解：(1)一班五名学生的测试成绩的众数是7,二班五名学生的测试成绩的中位数是7,

故答案为:5、7；

(2)补全折线图如下：

成绩

由折线图知，一班成绩波动幅度小,

所以一班垫球成绩稳定，

故答案为：一；

（3）三个数中任意选取两个数确定的点（x,y）出现的情况有:

37-1

3(2,0)(3,-6)

0(0,5)(0,-1)

-5(-1,3)(-2,0)

落在二次函数y=7-5的图象上的点有：（0,-1）,6）,

因此点（尤，y）落在二次函数y=x2-1的图象上的概率为2=1.

64

21.（8分）小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度但手中只有一把刻度模糊的45°直角三

角板，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿D4重合，一直角边与尺上

沿的交点8在尺上的读数即为直尺的宽.

【实践探究】小红受到小星的启发，将39。的ND43按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图

②，求该刻度尺的宽度的长；

【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的/D4c放置在刻度尺上，求OC与尺上沿的交点C在尺

上的读数为多少厘米.（结果精确到0.1厘米）

（参考数据sin39°-0.63,cos39°-0.78,tan39°心0.81,sin24°^0.41,cos24°-0.91,tan24°忆

0工.45）援

-----------------------------------------D

图①图②

【解答】解：【实践探究】---OB//AD,

：.ZABO^ZDAB^39°,

在RtZXAOB中，ZAOB=90°，

tanZABO=^-,

OB

.•.40=3X0.81=743（厘米），

即该刻度尺的宽度0A约为2.43厘米.

【问题解决】】,：OB//AD,

；./ACO=/D4C=24°,

在RtZ\AOC中，ZAOB=90°,

tan/ACO=空，

oc

；.OC=4丝仁5.4（厘米），

3.45

即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米.

22.（8分）如图，在等腰AABC中，AB=AC,过点。作。ELA8交CA的延长线于点E,垂足为点R

（1）判断。E与。。的位置关系，并说明理由.

（2）若。。的半径R=3,cosZE=l,求取的长.

理由：连接。。

•：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZB=ZODC,

：.AB//OD,

'：DE±AB,

：.OD±DE,

在O。上，

.♦.DE是。。的切线;

(2)'：DE±AB,cosZ£=X,

2

-EF_8

EA2

-FA_V3

•I,

EA7

JAB//OD,

\/\AEF^/\OED,

.0D=FA=V3

*0EEA-'

：OA=OD=R=8,

-3_V2

'EA+32

，.EA=2限-3,

•.E1—F_，1

EA3

,.EF=Xx(4V3V3-—.

23.(10分)根据以下素材，探索完成任务.

设计跳长绳方案

素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：

(1)每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同

学2人；

(2)跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳,图1

如图1.

素材2：某班进行赛前训练，发现：

(1)当绳子摇至最高处或最低处时，可近

似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同

学之间水平距离为6m,摇绳同学的出手高

度均为1m,如图2；

(2)9名跳绳同学身高如表.

身高(m)1.701.731.751.80

人数2241

素材3：观察跳绳同学的姿态(如图3),发

现：

(1)跳绳时，人的跳起高度在0.5〃z及以下

较为舒适；

(2)当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，

此时头顶到地面的高度是身高的空.

20

问题解决

任务1：确定长绳形状.请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳

摇至最高处时，对应抛物线的解析式.

任务2：确定排列方案.该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，

两边低”的方式对称排列，长绳是否会触碰到最边侧的同学.

任务3：方案优化改进.据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作

出调整.班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时(尤线段A8),而剩余的长绳则

保持形状不变，如图4.请你通过计算说明

【解答】解：任务1：如图建立平面直角坐标系,

图2

设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y=o?+7QWO）,

:经过点（-3,2）

/.9。+2=8,

解得：a=-l,

9

2

，长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y=-1x+4；

任务2：最右侧同学所在的横坐标为：0.45X2=1.8,

当X=6.8时，y=-l-x1.85+2=l.64>

'5

:长绳摇至最高处时，人正屈膝落地尊，

20

•••最右侧同学屈膝后的身高为：2.70X-^-=1.615（加，

V1.615<5.64,

绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；

任务3.当绳子摇至最低处时y=£x2，

:出手高度降低至0.85机，

抛物线下降3.15%，

6

；•下移后的抛物线解析式为：y=^x-0.15-

9

当X=1.2时，y=^X2.82-6.15=0.21-

y

V0.2K7.25,

•••方案能解决同学反映的问题.

24.（12分）已知抛物线y=（x-r）2+t-5,其中/是实数.

（1）已知三个点（1,0）,（1,-4）,（2,-7）,其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物

线的解析式；

（2）在（1）的条件下，抛物线与无轴交于A（点8在无轴正半轴），与y轴交于点C,抛物线的顶点

的记为G,

①若点D在点B,C之间的抛物线上运动（不与点B,C重合），连接OD交BC于点E,ACOE的面

积分别为Si,S2,求红的最大值；

s9

②过点G的直线/与抛物线的另一个交点为P,直线/与直线J：y=-』工交于点R交抛物线于点

4

过P。的中点M作仞VL'于点M求证：MN=j-PQ.

【解答】⑴解：:尸(X-/)2+L5的顶点坐标为a,L8),

,顶点在直线y=x-5上，

当x=l时，y=-5,

当x—2时，y=-3,

・•・顶点为(7,-4),

・•・抛物线为丁=(x-1)6-4=X2-7X-3；

(2)①解：过点石作于点点。作&泌山;，如图1,

△COE的面积为S4,SfJxocXME，

已3

△COE的面积为Si,则

S1=SA0CD-SA0CEax0CXND蒋XOCxME得xOCx(ND-ME)’

S7_fxocx(ND-ME)

••一,

S2-i-XOCXME血

令y=7,贝|x2-2x-6=0,

解得了=-1或x=5,

・・・A(-1,0),2),

当x=0时，y=-3,

：.C(8,-3)；

设直线3C的解析式为&泌sp;y=fcv+/?,0),-6)代入得：

„i.(0=3k+b

[-2=b

解得&泌”1,

lb=-3

・•・直线BC的解析式为y=x-2,

设_E(a,a-3)y=—x,

a

3

设D(/?,/-2b-3),则直线OD的解析式为&泌卯;丫二b-2b-3

yb

即&廊史勖厘三鸟

ba

整理得：b2-3b+7X-^-=0>

a

则詈小2+bT(b£)

4

・・53=ND/E_b-a

S2MEa

故当b=3时，主a有最大值为&泌山;3,

4a4

即&泌印;巴■的最大值是&成山；3；

$25

②证明：连接QN和尸N,过点尸作尸H，/'与点”

设直线PG的解析式为：ypG=kx+b,将&泌s0G(1,

故直线PG的解析式为：yPG=k(x-1)-8；

直线PG与直线&油卯;1':y=-2L交于点F,

4

，将点尸的纵坐标&"加p；v代入yPG=Z（尤-7）-4,

44

得：--（x-5）-4,

4

解得：x=I--7-,

4k

，F（1-今，3），

4k4

点Q的横坐标*仆=4——>

Q4k

1737

f=（6工）-2（卜薪）-3小7,

-4），

:直线PG与抛物线交于P,G两点8-2x-3=A（x-6）-4,

整理得：J?~（2+Z）X+1+左=0,

・・％6+x22+k,

Vx8=l,

，%2=4+%,

即点P的横坐标为XP=1+Z,

•'•y=（1+Z）5-2（1+女）-5=k1-4,

：.P（2+历F-4）,

*.PH=k2-4-（^-）=k31）07./17x