2025年沪科版八年级数学上册全册教学设计

沪科版八年级上册数学全册教学设计

（配2025年秋改版教材）

11.1平面内点的坐标

第1课时平面直角坐标系的概念

。素养目标

1.通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平

面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；

让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系.

2.在给定的平面直角坐标系中，会按要求描点、连线，识别图形，计

算面积.

3.培养学生自主探究与合作交流的学习习惯.

重点：正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描

点.

难点：坐标平面内图形面积的准确计算及割补法的运用.

@教学过程

一、情境导入

我们已经学过了数轴，知道数轴上的点与实数一一对应，在建立

了数轴之后，我们就可以确定直线上点的位置，如图.

ACBD

।।।।।।।।1।।1।।।»

-7-6-5-4-3-2-101234567

那么，如何确定平面内点的位置呢？

二、合作探究

探究点一：有序数对与平面直角坐标系

■I如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位

的位置吗？

6|_|

5[__ILMJ1II11_IL_I1_||_

4|II11II11II11II_

(仃),_____,,_____,,_____,,_____,,_____,,_____,,___________

3|__||__J|||Il/h^EllI|__||_

21||I|||||___III|||

1|||||||||||||||_

12345678

例）

解析：根据生活经验可知，小明同学的座位在第2列第5行；小

红同学的座位在第5列第3行.另外，图示中标出了数，我们可以在

平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴记作工轴或

横轴，取向右为正方向；竖直的数轴记作y轴或纵轴，取向上为正方

向；交点记作原点（用字母0表示），这样就建立了平面直角坐标

系，进而可以用数对来简洁表示两位同学的座位位置.

解：可以用有序数对（2,5）表示小明同学的座位位置，用有序

数对（5,3）表示小红同学的座位位置.

―方法总结：数学中，为了确定平面内一个点的位置，我们可以建

立平面直角坐标系，这样平面内的点就可以用一对有序实数来表示

了，这个有序数对叫作该点在平面直角坐标系的坐标，另外需注意，

Ca,b）与（b,a）表示不同的点.

探究点二：在坐标平面内描点作图

郦1在如图所示的直角坐标系中描出下列各点：

A(4,3),5(,D(2,-3).

2

解析：本题关键就是已知点的坐标，如何描出点的位置，以描点

B(-2,3)为例，即在％轴上找到坐标一2,过一2对应的点作入轴

的垂线，再在y轴上找到坐标3,过3对应的点作y轴的垂线，与前

垂线的交点即为5(-2,3),同理可描出其他三个点.

解：如图所示：

傍画在平面直角坐标系中(每个小方格的边长为单位长度1)描出下

列各点，并将各点用线段依次连接起来：A(0,2),B(-1,—2),

C(2,0),D(-2,0),E(1,—2),A(0,2)；观察得到的

图形，你觉得它的形状像什么？

解析：根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可.

解：如图所示，形状像五角星.

方法总结：在直角坐标系中描出点尸(a,b)的方法：先在入轴

上找到数。对应的点在y轴上找到数8对应的点N,再分别由点

“、点N作入轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.

已知坐标平面上的点的坐标，描出对应点的位置，反过来在坐标平面

3

上给一点，找出它对应的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关

键.

探究点三：坐标平面内图形面积的计算

加如图，已知点A(2,-1),5(4,3),C(1,2),^AABC

的面积.

解析：本题宜用补形法.过点A作％轴的平行线，过点。作y轴

的平行线，两条平行线交于点E,过点5分别作入轴、y轴的平行线，

分别交EC的延长线于点Z),交E4的延长线于点尸，然后根据S三角形

ABC~S长方影BDEF-S三南形BDC-S三南形CEA-S三角形BE4即可求出三角形A5C

的面积.

解：如图，过点A作％轴的平行线，过点。作y轴的平行线，

两条平行线交于点E,过点B分别作％轴、y轴的平行线，分别交EC

的延长线于点交助的延长线于点尸.〈A(2,-1),B(4,3),

C(1,2),：.BD=3,CD=1,CE=3,AE=1,AF=2,BF=4.：.S

__1

三角形A3C=S长方形BDEF一S三角形BDC一S三角形CEA一S三角形=BDBF-^DCDB

11

一上CEAE一入卜5尸=12—1.5—1.5-4=5.

22

方法总结：主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积.

已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：

4

方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；

方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形

的面积的差；

方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计

算面积的三角形.

三、板书设计

（定义：原点、坐标轴

平面直角坐标系的概念（坐标平面内的描点作图

（坐标平面内图形面积的计算

@教学反思

通过平面直角坐标系的有关内容的学习，反映平面直角坐标系与

现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人

类历史发展的作用，提高学生参加数学学习的积极性.

11.1平面内点的坐标

第2课时点的坐标特征

。素养目标

1.熟悉各象限内点的坐标特征.

2.根据实际问题建立合理的直角坐标系解决一些简单的实际问题，发

展数形结合思想和运用数学解决问题的能力.

重点：熟悉各象限内点的坐标特征，根据已知点的坐标建立平面直角

坐标系.

难点：正确认识坐标系的形成，建立适当的平面直角坐标系描述图形

的位置.

@教学过程

一、情境导入

5

某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的

同学小慧提一些建议，小明要在电话中告诉小慧空地的形状，为了描

述清楚，他使用了直角坐标系的知识.你知道小明是怎样叙述的吗？

EJD

5^——

J----------------8---------------

二、合作探究

探究点一：各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征

［类型—］已知点的坐标判断点所在的象限

硒I设点M（a,b）为平面直角坐标系内的点.

（1）当Q>0,b<0时，点M在第几象限？

（2）当帅>0时，点"在第几象限？

（3）当。为任意有理数，且8<0时，点"在第几象限？

解析：（1）横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；（2）由

知a,Z?同号，则点M在第一■或第三象限；（3）b<0,则点V

在入轴下方.

解：（1）点M在第四象限.

（2）可能在第一象限（。>0,0>0）或者第三象限（a<0,b

<0）.

（3）可能在第三象限（a<0,b<Q）或者第四象限（。>0,b

<0）或者y轴负半轴上.

方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：（+,+）表示

第一象限内的点，（一，十）表示第二象限内的点，（一，一）表示

第三象限内的点，（+,-）表示第四象限内的点.

［类型二］根据点所在的象限求字母的取值范围

6

倚i的在平面直角坐标系中，点尸(m,m—2)在第一象限内，则根的

取值范围是.

解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐

标为正，可得关于加的一元一次不等式组'解得机>2.故答

jn—2>0.

案为m>2.

―方法总结：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限

内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等

式或不等式组即可求出相应字母的取值范围.

【类型三】坐标轴上点的坐标转征

砸1点A(m+3,m+1)在％轴上，则点A的坐标为()

A.(0,-2)B.(2,0)

C.(4,0)D.(0,-4)

解析：点A(m+3,m+1)在％轴上，根据入轴上点的坐标特

征知m+1=0,求出机的值代入m+3中得出A(2,0).故选B.

方法总结：坐标轴上的点的坐标特点：口轴上的点的纵坐标为0,

y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求

出点的坐标.

【类型四】由点到坐标轴的距离确定点的位置

砸1已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为1.如果过点P作两

坐标轴的垂线，垂足分别在入轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么

点P的坐标是()

A.(2,-1)B.(1,-2)

C.(-2,-1)D.(1,2)

7

解析：由点P到％轴的距离为2,可知点P的纵坐标的绝对值为

2,又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为一2；由点尸到y轴的

距离为1,可知点尸的横坐标的绝对值为1,又因为垂足在入轴的正

半轴上，则横坐标为1.故点尸的坐标是（1,—2）.故选B.

方法总结：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；

②不知道与“点尸到％轴的距离”对应的是纵坐标，与“点尸到y

轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解.若本例题

只已知距离而无附加条件，则点尸的坐标有四个.

探究点二：建立适当的直角坐标系描述图形的位置

［类型—］根据点的坐标确定直角坐标系

硝右图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面

直角坐标系中，白棋①的坐标是（一2,—1）,白棋③的坐标是（一

1,—3）,则黑棋❷的坐标是.

-------0-

——-----

解析：由已知白棋①的坐标是（一2,—1）,白棋③的坐标是（一1,

—3）,可知y轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，

%轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交

点为坐标原点，由此可得黑棋硼勺坐标是（1,-2）.故答案为（1,

-2）.

方法总结：根据点的坐标确定平面直角坐标系时，先将点的坐标

进行上下左右平移得到原点的坐标，过这个点的水平线为％轴、铅直

线为y轴.

［类型二］根据几何图形建立直角坐标系并求点的坐标

8

硒长方形的两条边长分别为4,6,建立适当的直角坐标系，使它

的一个顶点的坐标为(—2,—3).请你写出另外三个顶点的坐标.

解析：以点(—2,-3)向右2个单位长度，向上3个单位长度

建立平面直角坐标系，然后画出长方形，再根据平面直角坐标系写出

各点的坐标即可.

解：按如图所示建立直角坐标系•长方形的一个顶点的坐标为

A(-2,—3)..长方形的另外三个顶点的坐标分别为5(2,—3),

C(2,3),D(-2,3).(答案不唯一)

方法总结：由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关

键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一

旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了.

三、板书设计

上,从LMLf各象限内点的坐标特征

点的坐标特征｛

I建立适当的直角坐标系描述图形的位置

@教学反思

通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满

着探索性与创造性，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，

增强学生的数学应用意识，让学生认识数学与人类生活的密切联系，

提高他们学习数学的兴趣.

11.1平面内点的坐标

第3课时利用方位角和距离表示地理位置

。素养目标

9

1.能够准确理解方位角的概念，熟练掌握利用方位角和距离来表示地

理位置的方法.

2.能够根据给定的方位角和距离在平面上确定具体位置，也能根据实

际地理位置准确说出相应的方位角和距离.

重点：熟练掌握利用方位角和距离确定地理位置的方法，并据此解决

实际问题.

难点：在实际问题中准确地确定方位角和距离，将实际问题转化为数

学问题，并用数学方法解决.

@教学过程

一、情境导入

观察下面的图片，思考：在野外探险时，人们是如何确定自己的

位置和目的地的位置的呢？

二、合作探究

探究点一：利用方位角和距离表示地理位置

【类型一】方位角和距离的直观表示

硒I一家超市的位置如图，则学校在这家超市的什么位置?

解析：用方向定位法确定物体的位置时，一般先考虑方向，然后再确

定距离.

解：学校在超市的南偏西60°方向，且距离超市500m处.

10

方法总结：确定位置的方法有多种，但都需要两个数据.方向定

位法所需的两个数据：一是方位角；二是距离.要避免出现缺少其中

一个数据的错解.

【类型二】利用方位角和距离表示地理位置的理解应用

由如图是小明家和学校所在地的平面位置示意图，点。表示小明

家，点4,B,C,尸分别表示学校、商场、公园和停车场.已知。4

=2km,05=3.5km,0P=4km,点。为0尸的中点.

回答下列问题：

(1)学校、商场、公园和停车场中哪些到小明家的距离相同？

(2)由图可知，公园在小明家南偏东60°方向2km处.请描述

学校、商场、停车场相对于小明家的位置.

解析：(1)要求哪些置到小明家的距离相同，此时不需考虑方

向，只需要比较图上各线段长短；

(2)结合各方位角和距离描述位置即可.

解：(1)因为点。为。尸的中点，所以0。=%尸=2km.所以

。4=0。.又因为05,0A,0尸各不相等，所以学校和公园到小明家

的距离相等.

(2)由图可知，学校在小明家东北方向2km处，商场在小明家

北偏西30°方向3.5km处，停车场在小明家南偏东60°方向4km处.

探究点二：利用经纬度表示地理位置(数学拓展)

砸1A地在地球仪上的位置如图所示，则A地的位置用经纬度可表示

为()

11

1300140°150°160°

东经

A.北纬50°,东经130°B.北纬60°,东经130°

C.北纬50°,东经150°D.北纬50°,东经40°

解析：在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数

据，确定点A在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出A

地的位置.

方法总结：经线可视为竖线，纬线可视为横线，两线相交即确定

了目标位置的经纬度，从而确定了目标位置.

三、板书设计

利用方位角和距离表示地理位置［方位角+距禺表示

I经纬度表示

@教学反思

本节课从生活实例出发，激发了学生的学习兴趣，情感目标部分

落实，但学生从实际情境抽象数学模型及解决复杂问题的能力培养不

足，过程与方法目标待强化.方位角概念通过示意图和实例讲解，学

生掌握较好；学生确定方位角和距离存在困难，教学难点突破不够，

需优化练习设计.

11.2图形在坐标系中的平移

。素养目标

1.理解点的坐标变化与图形移动之间的内在联系.

2.使学生经历图形在坐标系中的平移过程，理解“数形结合”；体会

坐标系中的图形平移的实际应用价值.

12

重点：探究点或图形平移引起的坐标的变化规律.

难点：如何正确理解图形在坐标系中的平移变换.

@教学过程

一、情境导入

同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋

盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移？

二、合作探究

探究点一：平面直角坐标系中点的平移

硒I将点（1,2）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

后得到对应点的坐标是.

解析：向左平移1个单位长度，横坐标减1,向下平移2个单位

长度，纵坐标减2,于是点（1,2）变为（0,0）.故答案为（0,0）.

方法总结：根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减（纵坐标

变化），左减右加（横坐标变化）；②正加负减，即向％（y）轴正方

向平移，横（纵）坐标增加；负方向平移，横（纵）坐标减小.

探究点二：平面直角坐标系中图形的平移

［类型—］已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置

硒如图，将三角形A5C先向下平移5个单位长度，再向左平移3

个单位长度得到三角形AE。，求三角形的顶点坐标，并画出

三角形ABC.

13

解析：按照点的平移规律求出平移后点的坐标，向下平移5个单

位长度，即横坐标不变，纵坐标减5；向左平移3个单位长度，即纵

坐标不变，横坐标减3,再画出图形即可.

解：用箭头表示平移，则有：A(3,5)一(3,0)一AY0,0),

B(0,3)一(0,-2)一5'(—3,-2),C(2,0)一(2,—5)

一。(一1,—5).画出三角形430如上图.

方法总结：画平移后的图形，应先求出平移后各关键点的坐标，

再描点连线即可.

［类型二］由坐标的变化确定平移过程

砸1在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形

A5CD,点4的坐标是(0,2).现将这张胶片平移，使点A落在点

(5,-1)处，则此平移可以是()

占

*CD

0

A.先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度

B.先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度

C.先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度

14

解析：由点4（0,2）变化到点4（5,-1）知横纵坐标的变化

规律，可得出平移方向与距离，即由横坐标加5,纵坐标减3,得出

此平移可以是先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度.

故答案为B.

方法总结：①可用排除法，对照备选选项，逐一分析，选择出正

确答案.②由坐标定平移口诀：坐标变化定平移，横变纵定左右移，

横坐标变大向右移，纵变横定上下移，纵坐标变大向上移，横变纵变

两次移.③左右（上下）平移的距离，就是平移前后两点横（纵）坐

标差的绝对值.

三、板书设计

图形在坐

标系中的

纵坐标不变

沿%轴

横坐标加上一个正数口向右平移

平移

横坐标减去一个正数口向左平移

干核V

、n.（横坐标不变

沿轴］

二y二《纵坐标加上一个正数口向上平移

平移I

I（纵坐标减去一个正数口向下平移

@教学反思

本节课的教学过程中，无论是从情境中引入，还是对新知的探究

及拓展，始终在努力调动学生学习的积极性.通过探究归纳出点或图

形的平移引起的点的坐标的变化规律，积累数学活动经验，提高学生

科学思维素养；体验数学活动充满探索性与创造性，激发学生学习数

学的兴趣，使学生经历数学思维过程获得成功体验.

12.1函数

第1课时函数及其相关概念

15

。素养目标

1.联系学生的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解

常量、变量，知道自变量与函数.

2.探究变量的发现和函数概念的形成，提高学生分析、解决问题的能

力.

3.引导学生探索实际问题中的数量关系，建立函数模型.

重点：函数概念的形成过程.

难点：正确理解函数的概念.

@教学过程

一、情境导入

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.

如图是某地一天内的气温变化图.

从图中我们可以看到，随着时间才（时）的变化，相应地气温T

（℃）也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？

二、合作探究

探究点一：变量与常量

硒I写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：

（1）分针旋转一周内，旋转的角度〃（度）与旋转所需要的时

间/（分）之间的关系式〃=6%

（2）一辆汽车以40千米冏■的速度向前匀速直线行驶时，汽车

行驶的路程s（千米）与行驶时间彳（时）之间的关系式s=4（k.

16

解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；

数值始终不变的量称为常量，即可答题.

解：(1)常量：6,变量：n,t.

(2)常量：40,变量：s,力

方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变

的，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量.

探究点二：函数的相关概念

【类型一】识别函数

由下列关系式中，哪些y是％的函数，哪些不是？

(1)y=x；(2)y=x2+z；(3)y2=x；(4)y=±Vx.

解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是

否只有两个变量，其次看每一个％的值是否对应唯一确定的y值.

解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个工值对应唯一的一

个y值，故y是％的函数.

(2)此关系式中有三个变量，因此y不是％的函数.

(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的％值

(%>0)对应的都有2个y值，如当％=4时，y=±2,故y不是工

的函数.

(4)对于每个确定的％值(x>0)对应的都有2个y值，如当工

=9时，y=±3,故y不是x的函数.

方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量工

和》对于每一个确定的无值，y值都有且只有一个值与之对应，当工

取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个％的值对

17

应着两个不同的y值，那么y一定不是X的函数.根据这一点，我们

可以判定一个关系式是否表示函数.

【类型二】判断函数关系

砸1判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（）

A.x,y是变量，y=±2y[x

B.人的身高与年龄

C.三角形的底边长与面积

D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间

解析：选项A中根据％每取一个值y有两个值与其对应，故不存

在函数关系，故此选项错误；

选项B中人的年龄变但身高不一定变，故人的身高与年龄不存

在函数关系，故此选项错误；

选项C中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，故

此选项错误；

选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间，存在函数关系，

故此选项正确.故选D.

方法总结：判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，

再看一个变量是否随着另一个变量的变化而变化，最后看给定一个自

变量的值，另一个变量是否有唯一的值与它对应.

【类型三】求函数值

根据下图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量％的值为|,

则输出的结果是（）

18

输入X的值

7913

--CD-

A.242

-

解析：根据输入2的数所处的范围，应将％=|代入＞=一次+2,即

可求得y的值则将无=|代入y=—%+2,得y

=--+2=-.故选C.

22

方法总结：（1）当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式

的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.（2）函数表达

式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求

另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量

的值.

三、板书设计

函数及其相关概念

常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的

量为变量，数值始终不变的量称之为常量.

函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,.

并且对于%在它允许取值范围内的每个确定的值，y都有唯一确定的值

与其对应，那么我们就说%是自变量，y是％的函数

@教学反思

变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中

出现的一些变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用

了这两个量的描述之后更加鲜明.函数的概念是学好本章的基础，教

19

学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知

水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来.

12.1函数

第2课时函数的表示方法

。素养目标

1.经历函数图象的形成过程，感受函数与图象的对应关系.

2.掌握函数图象的基本画法，学会观察图象，理解其内涵.

3.进一步渗透数形结合思想，认识函数图象的应用价值.

重点：认识”实际问题一函数关系式一函数图象”的转化，学会用图

象法来研究函数问题.

难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系.

@教学过程

一、情境导入

汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为skm,行驶时间为彳h.

先填写下表：

以112345?

s/km

在以上这个过程中，变化的量是,不变化的量一

是.试用含t的式子表示s.

二、合作探究

探究点一：自变量的取值范围

硒I函数丁=在现中，自变量％的取值范围是（）

X—1

A.%>—2旦xW1B.x22且xW1

C・％2—2且%D.xWl

20

解析：根据算术平方根的性质和分式的意义，被开方数大于等于

0,分母不为0,列不等式组可求得自变量％的取值范围.根据题意得

%+2>0

■一'解得％2—2且故选C.

—1H0,

方法总结：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：①当函

数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时,

考虑分式的分母不能为0;③当函数表达式有算术平方根的表达式时,

考虑被开方数为非负数.在实际问题中，自变量的取值还要使实际问

题有意义.

探究点二：列表法和解析法

【类型一】列表法

由一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小

球滚动的距离s(m)与时间/(s)的数据如下表：

时间t(s)1234

距离s(m)一281832

写出用力表示s的函数表达式：，

解析：观察表中给出的彳与s的对应值，再进行分析，归纳得出

函数表达式.1=1时，5=2XI2；t=2时，s=2X22；t=3时，5=2X32；

/=4时，s=2X42；…，所以s与彳的函数表达式为s=2p,其中/NO.

故答案为5=2?.

-方法总结：本题以列表法表示时间才与距离s之间的关系，认真

观察分析S随t的变化而变化的规律是列出函数表达式的关键.

【类型二】解析法

21

砸1一根弹簧原长12cm,它所挂的质量不超过10kg,并且挂重1kg

就伸长1.5cm,写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重工(kg)之间的

函数关系式是()

A.y=1.5(x+12)(0<x<10)

B.y=1.5x+12(OWxWlO)

C.y=1.5x+12(%20)

D.y=1.5(x-12)(04W10)

解析：设挂重为人,则弹簧伸长为1.5%,挂重后弹簧长度y(cm)与

挂重工(kg)之间的函数关系式是y=1.5%+12(OWxWlO).故选

B.

~~方法总结：关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形

式.在实际问题中求函数表达式时，要特别注意自变量的取值范围.

探究点三：函数的图象

［类型一］根据函数的定义判断函数图象

加下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是％的函数的是

()

解析：B图象上对于X的任意取值有两个值对应，所以B不是函

数.其他图象对于％的任意取值都有唯一确定的值和它对应.故选B.

^方法总结：由图象判断y是否为％的函数的关键是一个二所对应

的y是否唯一，当％的值确定时，y的值也是唯一确定，此时，y是工

的函数.

【类型二】根据实际情景描述函数图象

22

由小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行

车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，与修车前

相比，他加快了速度匀速行驶.下面是行驶路程s（米）关于时间乂分

钟）的函数图象，那么大致符合小明行驶情况的图象是（）

解析：根据题意，在修车前，S随才的增加而增加.这段时间，图

象从左下到右上，呈上升趋势；修车时，时间才增加，但S不变，此

时，图象是平行于横轴的；车修好后，小明加快速度，此时图象比修

车前的图象更陡一些，仍呈上升趋势，综上所述，应选C.

方法总结：以上例题中的图象有生动的实际背景，必须仔细观察

折线的有关特征，联系实际问题的背景知识，解答题目中的问题.在

观察图象时，一定要搞清楚横轴与纵轴表示的量的实际意义.

探究点四：画函数图象

硒在下列式子中，对于％的每一个确定的值，y有唯一的对应值，

即y是％的函数，画出函数y=%+0.5的图象.

解析：利用题目所给的表达式，根据自变量和函数的关系列出表

格，找到它们的有序数对，建立平面直角坐标系，在坐标中描出对应

点的坐标，然后用平滑的曲线连接，问题可解.

解：列表：

x…―1012

y・・・-0.50.51.52.5・・・

描点、连线，图象如图所示.

23

方法总结：由函数表达式画函数图象，一般按下列步骤进行：①

列表：根据函数的表达式列出函数对应值表；②描点：用这些对应值

作为点的坐标，在坐标平面内描点；③连线：把这些点用平滑曲线连

接起来，可得函数图象.

探究点五：从函数的图象中获取信息

硒1某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学

校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车

回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间工

（分钟）之间的函数关系.下列说法错误的是（）

A.小强从家到公共汽车站步行了2千米

B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟

C.公共汽车的平均速度是30千米/时

D.小强乘公共汽车用了20分钟

解析：根据题意和图象可知小强从家到公共汽车站步行了2千

米，选项A正确；根据题意和图象可知小强在公共汽车站等小明用

了10分钟，选项B正确；公交车的速度为154-|=30（千米/时），

选项C正确；小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，选项D

错误.故选D.

24

方法总结：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函

数图象横纵坐标表示的实际意义，理解问题的过程，就能够通过图象

得到函数问题的相应解决.需注意计算单位长度的统一.

三、板书设计

‘列表法和解析法

自变量的［使含自变量的代数式有意义

3土――取值范围I使实际问题有意义

函数的图象

图象法画函数图象

从函数的图象中获取信息

@教学反思

本节课的教学内容是函数的三种表示方法，函数表示法学生才接

触到，学生感觉有点难.这节课的重点是让学生掌握函数的列表、与

解析法和图象法，难点是理解这三种表示方法的优缺点.就此问题，

通过让学生对几个例子比较、讨论、总结、归纳各种方法的优点来解

决，这样学生就能很好地区分这三种表示方法，并能对不同的问题选

择恰当的方法.

12.2一次函数

第1课时正比例函数的图象和性质

。素养目标

25

1.学习正比例函数及其图象画法、性质.

2.培养学生的观察能力、数形结合思想、探索规律能力.

重点：理解和掌握正比例函数的图象和性质.

难点：理解IkI与函数图象的关联.

@教学过程

一、情境导入

生活中，我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈,

表示时间过了Imin；旋转两圈，表示时间过了2min.......

那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？

二、合作探究

探究点一：一次函数与正比例函数

[类型—]一次函数与正比例函数的识别

硒1下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(1)y=—%—4；(2)y=5x2—6；

(3)y=2.7ix；(4)丁=一|;

(5)y=|；(6)y=8x2+x(1—8x).

解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为(左W0,

鼠b是常数)的形式，如果%的次数是1,则是一次函数，否则不是

一次函数；在一次函数中，如果常数项8=0,那么它是正比例函数.

解：(1)是一次函数，不是正比例函数.

(2)不是一次函数，也不是正比例函数.

(3)是一次函数，也是正比例函数.

(4)是一次函数，也是正比例函数.

26

(5)不是一次函数，也不是正比例函数.

(6)是一次函数，也是正比例函数.

方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一

次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次

整式，一次项系数不为零，常数项为零.

【类型二】根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值

侬已知函数丁=Cm—5)xm2-24+m+l.

(1)若它是一次函数，求机的值；

(2)若它是正比例函数，求机的值.

解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义工的指

数m?—24=1,且一次项系数加一5W0；(2)要使函数是正比例函

数，除了满足上述条件外，还需加上机+1=0这个条件.

解：(1)因为y=Cm—5)%疗—24+机+1是一次函数，所以相

=±5且机W5,所以机=一5.所以当相=一5时，函数y=(m-5)

%苏-24+机+i是一次函数.

(2)因为y=Cm—5)%病一24十加十1是一次函数，所以加2一

24=1且m~5^0且加+1=0.所以m=±5且m彳5且m=—1,这

样的加不存在，所以函数丁=(加-5)24+加+i不可能为正比

例函数.

方法总结：函数是一次函数，则一W0,且自变量的次数为1.当

8=0时，一次函数为正比例函数.

探究点二：正比例函数的图象和性质

［类型—］正比例函数的图象

27

砸1已知正比例函数丁=丘（左WO）,当％=—1时，y=~2,则它的

图象大致是（）

解析：将％=—1,y=-2代入正比例函数（左WO）中，求

出左的值为2,即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象，

故选C.

方法总结：本题考查了正比例函数的图象，知道正比例函数的图

象是过原点的直线，且当上＞0时，图象过第一、三象限；当左＜0时,

图象过第二、四象限.

【类型二】两点法画正比例函数的图象

画出函数y=—2%的图象.

解析：当％=0时，y=0；当％=1时，＞=-2.经过原点0（0,

0）和点4（1,-2）作直线，则这条直线就是函数y=—2%的图象.

解：如图所示.

方法总结：作函数图象的一般步骤:列表，描点，连线，正比例

函数的图象是经过原点的直线，只需再另外找一点就可作出图象.

【类型三】正比例函数的性质

师如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是①y=ax,②y

=bx,③?二以，回答下列问题：

28

（1）若直线y=ox上有两点（为，”），（％2,>2）,且％i>%2,

则yiy2；

（2）若直线y=CX上有两点（％3，y3），（为4，%），且X3>X4,

贝!1,3V4；

（3）用表示a,b,C的不等关系是.

解析：由图可知c<O<a<b,由正比例函数的性质可知y=a%,

y=bx的函数值y随％的增大而增大.y=cx的函数值y随％的增大而

减小.故州>〉2,”<丁4,c<a<b.

方法总结：正比例函数丁=依（左W0）的函数值y随％的变化情

况由上的符号决定.左〉0时，y随工的增大而增大；左<0时，y随工

的增大而减小.IkI越大，直线越陡.

三、板书设计

正比例函数的图象和性质

定义：一般地，形如y=/c%+b（k、b为常数，且kHO）的函数

叫作一次函数.形如y=/c%（々为常数，且kHO）的函数叫作正比例

函数.k叫作正比例系数.它是一次函数的特殊形式.

图象：经过原点的直线

性质：当k>0时，y随％的增大而增大；

当kVO时，y随％的增大而减小；

IkI越大，y随％的变化速度越快.（图象越陡）

@教学反思

本节内容第一次涉及一个具体的函数的学习和研究，要让学生体

会研究函数的方法步骤和知识结构，因此，本课的教与学的活动，要

29

学生有比较清醒的方案意识.教学中随着一环扣一环的提问、练习、

点拨，突出教学目标.通过观察一比较一交流一归纳，利用图象和表

达式的统一化抽象为具体，降低了难度，突破了正比例函数的性质这

一难点.让学生进行课堂小结，不仅使学生从总体上把握知识，强化

知识的理解和记忆，还培养了学生良好的个性和思维品质.

12.2一次函数

第2课时一次函数的图象和性质

。素养目标

1.通过让学生类比对正比例函数性质的探究，画出一次函数的图象，

归纳出一次函数的性质，提高他们的类比、概括能力.

2.通过让学生积极思考、讨论来活跃课堂气氛，激发学生学习数学的

兴趣，形成合作交流意识.

重点：掌握一次函数的性质，能根据左与》的值说出函数的有关性质.

难点：会用描点法和平移的方法画一次函数图象，理解和掌握截距的

概念.

@教学过程

一、情境导入

问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km

气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高％km时，他们所处位置的

气温是试用表达式表示y与X的关系.当向上登高0.5km时，他

们所在位置气温为多少？

分析：从大本营向上登高，当海拔每升高1km时，气温从15℃

就减少6℃,那么海拔增加％km时，气温从15℃减少6x℃.因此y

与％的函数关系式为y=15—6%G20).当然，这个函数也可表示为

y=-6x+15(%20).

30

当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置气温就

是％=0.5时函数y=—6%+15的值，即y=—6X0.5+15=12(℃).

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又

具备什么特征？我们这节课将学习这些问题.

二、合作探究

探究点一：一次函数的图象

［类型一］画一次函数的图象

硒I作出一次函数y=%+l的图象，并根据图象回答下列问题:

(1)当％=3时，y=；当丁=一|时，％=；

(2)图象与％轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标

是;

(3)当y>0时，％.

解析：作y=%+l的图象，取(0,1),(-2,0)两点，已

知工代入表达式求y,已知y代入表达式求人.列表如下：

x0~2

1

y=/+i10

描点、连线，y=|x+l的图象如下图：

(1)当％=3时，y=2.5；当丁=一］时，x=—5；

(2)图象与入轴的交点坐标是(一2,0),与y轴的交点坐标

是(0,1)；

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(3)当y>0时，x>~2.

方法总结：一次函数的图象-=依+〃是与坐标轴相交的直线,

只需描出点(就可以作出图象.

0,b),(-pk0)

［类型二］一次函数图象的平移

由(1)将正比例函数y=—6%的图象向上平移3个单位长度，则

平移后所得图象对应的函数表达式为，其截距是.

(2)将直线y=2x向右平移1个单位长度后所得图象对应的函

数表达式为()

A.y=2%1B.y—2x2

C.y=2x+1D.y=2%+2

解析：(1)y=—6%的图象向上平移3个单位长度可得到y=—

6x+3.截距为3；(2)y=2%的图象向右平移1个单位长度后所得图

象对应的函数表达式为y=2(%—1),即>=2%—2.故选B.

方法总结：(1)上下平移：一次函数丁=依+)的图象可以看作

由直线沿y轴平移IbI个单位长度得到的(当。>0,向上平

移；当8<0,向下平移)；(2)左右平移：直线向左平移

m(m>0)个单位长度得到直线>=左(x+m)+b,向右平移机Cm

>0)个单位长度得到直线>=左(%—m)+Z?.

探究点二：一次函数的性质

［类型—］一次函数图象的性质

例画已知一次函数y=(6+3m)%+(〃-4).

(1)加为何值时，y随％的增大而减小？

(2)m、〃为何值时，函数图象与y轴的交点在入轴的下方？

32

(3)m、〃为何值时，函数图象过原点？

解析：(1)因为左＜0时，y随工的增大而减小，故6+3机＜0；

(2)要使直线与y轴的交点在入轴的下方，必有6+3加W0,同时“

-4＜0；(3)直线过原点是正比例函数的特征，即6+3加W0且“

—4=0.

解：(1)依题意得6+3机＜0,即机＜—2.故当机＜—2时，y

随％的增大而减小.

6-4-3777¥0

(2)依题意得'解得〃V4且加W—2.故当机W—2

jt—4＜0,

且〃＜4时，函数图象与y轴的交点在％轴的下方.

(3)依题意得［6